etc
d'ailleurs uz=.Ru^ , ainsi U zrz R V \ et comme R = i , les coefficiens correspondans seront les mêmes dans Z7 et V \ enfin, comme ^ et « ne diffèrent qu'en ce que a est multiplié par l'unité
dans ti et dans u par R , on voit facilement que les coefficiens correspondans, c'est-à-dire ceux qui multiplient les mêmes pé* riodes, sont les mêmes dans T et dans Z7, et partant dans T et dansXi^', On a donc
A—Bz=,Cy etc.==ilf, A'=:B'z=C', etc., ^"=5''=C'', etc. etc.
et partant, T se trouve réduit à la forme
r = iV + v^(/3>, i) + ^'C5>^,5-) + ^'(g;.,^-) 4- etc. ,
oil chacun des coefficiens iV, A, A', etc. 'peut être ramené à la forme
pyp'jp'f etc., étant des nombres entiers donnés.
2". Si Ton prend pour R une racine déterminée de l'équation
X — 1=0 (dont nous supposons avoir déjà la solution), et telle que sa puissance /S soit la plus petite qui soit égale à l'unité , T sera aussi une quantité déterminée dont on pourra tirer t par
l'équation à deux termes t — !r=o. Comme cette équation a /3
racines.
t, Rt, RH Ri ^ y
le choix de la racine que l'on doit employer reste douteux; mais on peut prouver comme il suit que cela est indifférent. On doit se souvenir que , toutes les valeurs des périodes de ^y termes étant supposées connues, la racine [i] n'est déterminée que par la condition d'être une des ^y racines contenues dans (/3^, i), et que parconséquent nous sommes parfaitement maîtres de représenter par a la valeur d'une quelconque des périodes qui composent ifiy, i) ; et si la valeur d'une de ces périodes étant représentée par a , on a / = T, et qu'ensuite ou représente par a la valeur de la période que l'on représentait par b,c,df..,.a,b, deviendra h,c. . ,m, a,
ce qui donnerait alors î = ^ = xR "~\ De même, si l'on veut
représenter par a la valeur de la période qui était auparavant
représentée par c , la valeur de t deviendra rR "~" , et ainsi de suite ; t pourra donc être supposé égal à une quelconque des quantités t, tjR , iR , etc., c'est-à-dire à celle qu'on voudra
des racines de l'équation oc — T'= o , pourvu que nous supposions que l'on prenne pour (y^ i), tantôt l'une, tantôt l'autre des périodes contenues dans (/Sj/, i).
3\ Lorsque la quantité t a été déterminée de cette manière , il faut chercher les jS — i autres qui se déduisent de / , en substituant successivement R% R\ R^, ,,.R à la place de /î, c'està-dire ,
fz=,a + R'b + iî^c . • • -h R^^'^^m , etc.
On connaît déjà la dernière , puisqu'elle devient évidemment = «-f-^ + c.., + 77z== (^(^yj i) , et les autres se détermineront comme il suit.
Si, en suivant les règles dun" 545, on forme le produit t "~V,
comme (i*.) on a formé t , on prouvera d'une manière absolument analogue à la précédente, qu'il peut se ramener à la forme
A^+ ^,(^y, i) +^/(/3>, g) + ^:((iy, r) + etc. = 2",
iV",, ^, , ^/, etc. étant des fonctions rationnelles et entières de R,
et parconséquent T' une quantité connue; d'où l'on tire /'=-;^
De même si le développement du produit t f est supposé égal à T% T" aura une forme semblable, et une fois sa valeur con-
nue , on aura ^"^-^ ; f se déterminera par l'équation /"= -y=r- ,
où T' sera une quantité connue, etc.
Cette méthode cesserait d'être applicable, si l'on pouvait avoir tr=o, ce qui donnerait T^T'zrr T''=etc. =o; mais nous pourrions prouver que cette supposition est inadmissible, si nous n'étions forcés d'abréger. Il existe aussi des artifices particuliers
rrv rriir
par lesquels les fractions -rp^-jn etc. peuvent être converties en
fonctions entières de i?, et des méthodes plus abrégées pour trouver t'y t", etc. lorsqu'on a ct=:i; mais nous ne pouvons nous arrêter à ces détails.
4'. Enfin, dès que l'on connaîtra t, t'y f, etc., on aura surle-champ, par la troisième observation du n°. précédent,
t^if^f-\'eic,z=ifia,
équation qui donnera la valeur de a, et de cette valeur on pourra (n" 546) déduire celle de toutes les périodes de y termes. Les valeurs de b, c, d, etc. peuvent aussi se trouver, comme chacun pourra s'en assurer par une légère attention, au moyen des équations suivantes ;
pb:=R^'"t + R^~' ^/'+ R^ ""^^H- etc. ,
d25— 2 1,2^— 4y , 132/2— 6 „ /3c = xi ^ + /t r+jK i + etc. ,
/3J=:i?^^"'^/ + i2^^V4-etc., etc.
Parmi les nombreuses observations relatives à la reclierche précédente, nous ne nous arrêterons que sur une seule.
On voit facilement que T obtient le plus souvent une valeur imaginaire de la forme P-\-iQ, desorte que la solution de l'équation dépend de la division en /3 parties, i* d'un angle dont la
tangente est ^j a* d'un rapport qui est celui de i à V^C^^" -f- Ç*) >
et il est digne de remarque que la valeur de v/(-P'+ÇO peut toujours s'exprimer rationnellement par des quantités déjà connues, desorte que l'on n'a besoin que de la division de l'angle et de^i'extrtacion d'une racine quarrée (nous ne faisons qu'indiquer cette remarque, que nous ne pouvons détailler ici ), par exemple, pour /3 = 5 on n'a besoin que de la trisection de l'angle, tandis que pour la plupart des équations du troisième degré dont toutes les racines sont réelles, on ne peut éviter d'emplojer la trisection de Tangle et du rapport.
Enfin, comme rien n'empêche que nous ne supposions flt==i, ^=1, et partant /3 = /z— i, il est évident que la solution de l'équation x" — 1=0 peut être réduite à la solution de l'équation à deux termes du degré n — i, x"^' — 7'=o , où T se déterminera par les racines de l'équation x"~^ — 1=0. D'où il résulte, à l'aide de l'observation que nous venons de faire, que la division du cercle en n parties exige:
1°. La division du cercle en n — i parties; 2'. La division en 77 — i parties d'un arc qui peut se construire, lorsque la première division est faite -,
5\ Enfin l'extraction d'une racine quarrée, et l'on peut prouver que cette racine est toujours [/n,
35 1. Il nous reste à examiner de plus près la liaison qui existe entre les racines Q. et les fonctions trigonométriques des
ARITHMETIQUES. 479
angles
P aP 3P (»-~i)P
La méthode que nous avons exposée pour trouver les racines H, laisse de l'incertitude sur celles de ces racines qui répondent à ces difFérens angles, c'est-à-dire, sur celle que l'on doit égaler
à cos — h i sin —, celle que l'on doit ésaler àcos^ — f-/sin — .etc.-
à moins que l'on ne fasse usage des tables de sinus, ainsi que nous l'avons indiqué, ce qui peut ne pas sembler assez direct. Mais cette incertitude disparaît aisément, si l'on fait attention que les cosinus des angles
n ' 71 ^ 71 ' ' ' ' ' zn '
vont continuellement en décroissant, pourvu que l'on tienne compte du signe, et que les sinus sont positifs, tandis que pour les angles
(;i-.i)P (n— a)P (n— 5)P (n+Qp-
71 ' Il ' n 271 '
qui ont mêmes cosinus que les premiers , les oinus sont tous négatifs , quoique de même grandeur que les autres. Ainsi , parmi les racines Q. , les deux qui ont même partie réelle et pour lesquelles cette partie est la plus grande, répondront aux angles
— et ^^ —, savoir, au premier celle ou la quantité imaginaire
est positive, au second celle où elle est négative. Parmi les n — 5 autres racines, les deux qui auront la plus grande partie
réelle répondront aux angles •^^— , ^ ~" ^ ^ et ainsi de suite.
D'ailleurs, aussitôt que l'on connaît la racine à laquelle répond
P l'angîe — , on pourra distinguer les autres, en remarquant que
1 j' • r^-i . zP 5P 4P ^
si on la désigne par [A], aux angles — , — , -^— , etc. repondront évidemment les racines [2Â], [SA], [4^^]? etc. Ainsi dans l'exemple du n° 353, on voit sur-le -champ qu'il n'y a pas d'aulre racine que [11] qui puisse répondre à l'angle y^ P , et à l'angle -j-fP la racine [8]. De même aux angles y^P,\^P, —^P» f|P, etc. répondent les racines [3], [16], [i4]; P] , etc. Dans
Texemple du n* 354, l^. racine [i] répond évidemment à l'angle ~P , \di racine [a] à l'angle rf^f etc. Ainsi de celte manière
les sinus et cosinus des angles — , — , etc. sont entièrement dé-
terminés.
36i. Quant à ce qui regarde les autres fonctions trigonométriques de ces angles , ou pourrait les tirer des valeurs des sinus et cosinus, par les méthodes connues, savoir, les sécantes et les tangentes en divisant resJDectivement l'unité ou les sinus par les cosinus, et les cosécantes et les cotangentes, en divisant le rajon ou les cosinus par les sinus. Mais le plus souvent il sera plus commode d'emplojer les formules suivantes, qui n'exigent que, de simples additions.
Soit 0) un quelconque des angles — , — ^" , et
cosce) + /sinûe) = /?j R sera une des racines fi, et l'on aura
cosa,=:t(iî-|-^)=-^, sma,==^(i?-.^)=-^^,
et partant
seca=Y:^, tanga) = -^^S cosec&)=^rzr» ^°^^==":Rs:rr-
Nous allons donner le moyen de transformer les numérateurs de ces quatre fractions , de manière à les rendre divisibles par les dénominateurs.
!•. Comme on a R:=^R'"^' = R"'^', il en résulte 2JR=/?H-i?»"-^', expression qui est divisible par i+jR% puisque « est un nombre impair j donc
séciy=:/î— ./Î^H-iî^ — /?' + +i?"-' ;
et partant , puisqu'on a sin co = — sin ( 27z — i ) &> , sin ^m =; — sin(2/z — 5)ce), etc., et parconséquent sin&) — sinSoj+sinSo). . . . + sin(2/z — I )<w = G ,
séc CO = cos ct) — cos 3 ût) + cos 5 « .... + cos(2/2— «i ) <w ,
ou enfin, puisque cos<m = cos(2/z — i)û), cos3a=cos(2;z — 5)i), etc.,
séco» = 2 {coscy — cos3&)-{-cos5(W. . . zp cos^n-^" 2) ci>]dtz cos ncû ,
le signe supérieur ou inférieur ayant lieu, suivant que n est
de
de la forme 4«-fi ou 4/z-f-3. Cette formule peut évidemment se présenter comme il suit :
séca)=db{i — 2cos2ct)+2cos4« d=2cos(« — i) &)}.
2\ Substituant de même i — i?"-^* pour 1— i2«, on trouve tangdy=^(i— ./?•-[- i24__/j6 —R^"),
tangû8) = 2(sin2:e) — sin4»4-sin6û) qpsin(7î— i)a)}.
5'. Comme on a
i-f-iî'+jR^ + i?*''-*=o,
on en tire
expression dont les diftérentes parties sont divisibles par 1 — i?*, d'où il résulte
=/z— i+(/z— 2)/2*-|-(7z--3)/î'^. . . .-j-/l»''-45 si l'on multiplie par 2, que Ton retranche le produit
(tz— i) (i^R'-^R^ +iî^"-*)=o,
et que l'on multiplie de nouveau par i2! , on a
d'où résulte sur-le-champ,
cosécû)=^ ((/z— i)sina4-(/z— 3)sin3a>. .... .— (/z— .i)sin(2;z— .i)&)}
= 7, {(«— Osinw-f-C«— 5>in5<» — etc. + 2SiD(/z— 2)2,>} , formule qui peut encore se présenter ainsi
cosécût)=— ^{2sin2aj+4sin4<i)+6sin6û>. . .4-(/z— i)sin(/z— i)i)).
4». En multipliant par i-j-i?* k valeur de -Ar que nous avons donnée plus haut , et en retranchant le produit
('2— .0(i-f-^' + iî^+ /?"r-») = o.
Ppp
48x RECHERCHES
il vi«At
d'où
COt&> = -| (n— 2)suiaei»+(«— 4)«i»4«+("-^0«in^«' — (« — a)sin(2n-- 2«)}
z=z~{tr9--â)è\n2»'\-{nr^4)^m^*^ -|-3sin(n— 3)»-}-sm(n— i)®} ,
formule qui peut encore se présenter ainsi qu'il suit:
cota) = — --{sinaj-i-5sin3ie> \r(n — 2)sin(7z — 2)0)}.
365. De même qu*en supposant ?i — i =^, la fonction Xpeut être décomposée en e facteurs de degré y^ aussitôt que l'on connaît les valeurs des e périodes de / termes (n' 348) , si nous supposons maintenant que Z = o soit une équation du degré tz— i dont les racines soient les sinus, ou toute autre fonction trigo-
nométrique des angles ^, ^^"-^ • > *» fonction Z pourra
se décomposer en e facteurs de degré f.
Soient p^=-ifi 0» V' y f* ®*^' ^^^ périodes de y termes dont ^ est composé, et que Ptjp'x v" > ^^^* contiennent respectivement les racines r^-,.,of
[i], W, \p-\, W, efc.5 M, \h'-\Xc% etc.j [a"], [^T, \c% etc.5 supposons encore que l'angle a^ réponde à la racine [i], et partant les angles
acjù , hcù y etc. 5 a'cù, b'cù, etc. j a'où^ h'o), etc.
»ux racines
M, [b-\, eic.y {a'-\rib'-\, etc.; [a"], [Â"], etc. On verra facilement que ces angles pris ensemble coïncident (^) , quant à leurs fonctions trigonométriques , avec les angles P zP 3P {rt—i)P^
C") Deux angïes coïncident sou3 ce point de vue, quand leur différence est égale à la circonférence ou à un de ses multiples , c'est-à-dire , lorsqu'ils sont congrus suivant la circonférence , si nous voulons prendre rexpresaion de congruence dans un sens plus étendu.
si donc la fonction dont il s'agit est désignée par le signe <p placé devant l'angle, et que l'on fasse
{x — ipcû) (x — rpacù) etc. = JT , {x — (paai) (a;— çZ>'û)) etc. = Y\
{x — (pa"a)) {x — ^b'ùù) etc. = Y", etc. ,
on aura nécessairement
rrr' =^.
Il nous reste à faire voir que tous les coefficiens, dans les fonctions Y, Y' , Y", etc. peuvent être ramenés à la forme A-\-B (/, i)-+-C(/, g)-\-D(if, ^«)....+ i:(/, ^-")-, car alors ils devront être regardés comme connus , dès que l'on connaîtra les valeurs ^Q p , p\ p" j etc. Or nous le prouverons de la manière suivante.
Le n° précédent fait voir que de la même manière que l'on a
les autres fonctions trigonomé triques de 1'a.ngle (w sont réductibles à la forme
et l'on voit sans la moindre difficulté , que la même fonction pour l'angle kcc est alors
A'-\- B' \kcù'\ + C \kùù'\^ 4- B'\k(aJ + etc., "k étant un entier quelconque. Or comme les différons coefficienj de Y sont des fonctions invariables rationnelles et entières de r^(ày <paùû y (^bcùf etc., il est manifeste que si , à la place de ces quantités, on substitue leurs valeurs, les différens coefficiens deviendront des fonctions invariables de [i], [a], [Z>], etc., et partant (n* ^47) réductibles à la forme
il en est de même des coefficiens Y' , Y", etc.
564. Nous ajouterons encore quelques observations à l'égard du problème du n° précédent.
1°. Comme les racines de la période P'=z(^f, a) entrent dans les coefficiens de Y' , de la même manière que les racines de 4a période P eirtrent dans les coefficiens de Y , il snit du n' 547 que Y' .peut se déduire de Y y pourvu que l'on substi-
tue dans T
{f> «')> (/ ^'ë)> {f> ^'è% etc. au lieu c1e(/, i), (/ ^), (/, ^), ^ic.
De la même manière Y" se déduira de J" en substituant
(/ O. (/. ^"ë)> (/. ^^V)> etc. au lieu de(/, i), (/, ^), (/,^»), etc.
Ainsi, dès que la fonction J^ est trouvée, les autres suivent de celle-là sans aucune peine.
2". Soit J"=a;-'"--a^^— +/3:i;-^-»— etc.
Les coefficiens a, /3, 5., etc. seront respectivement la somme des racines de l'équation jr==o, la somme de leurs produits deux à deux, etc. Mais souvent ces coefficiens se déterminent plus commodément par une méthode semblable à celle du n° 549, c'està-dire, en calculant la somme des racines <pca , (paca , (phce , etc., la somme de leurs quarrés, la somme de leurs cubes, etc., et déduisant de là ces coefficiens par le théorème de Newton. Toutes les fois que (p désigne la tangente, sécante, cotangente ou cosécante, on peut encore employer d'autres moyens d'abréviation, mais nous sommes forcés de les passer sous silence.
3". Le cas où/ est un nombre pair mérite une attention particulière 5 alors chacune des périodes P, P', P\ etc. est composée de-^ périodes de 2 termes. Soient (2, i), (2, «,), (2, h,), (2, c), etc. celles qui composent P, les nombres i , «, , Z», , c, , ete. et n — I, n — a,, n — b^, etc. pris ensemble, coïncideront avec la suite 1, a, b, c, etc., ou du moins, ce qui revient au même quant à nos considérations, seront congrus à ceux-ci, suivant le module /z. Mais on a (p(/z— -i>=±(pà), <p{n--a,)œz=:d^(pa,où, etc. en prenant les signes supérieurs, quand <p exprime le cosinus ou la sécante, et les signes inférieurs, quand (p exprime le sinus, la tangente, la cotangente ou la cosécante. Il suit de là que dans les deux premiers cas, les facteurs de T seront égaux deux à :deux, et que parconséquent Y sera un quarré =y% si l'on fait y = (a:— (pûe)) (a;--(pa,û)) (jr— (p^,&)), etc.
Dans les mêmes cas , Y', Y% etc. seront des quarrés, et si l'on suppose que P' soit composé des périodes (2, a/), (2, b/), (^, c;), etc., P'dcs périodes (2, a,"), (2, b,") , (2, c,"), etc..
A ni T H M É T I Q U ïï s. 485
et que l'on fasse
yz^(^x — ^a'ùù) (jc — (pb/a>) (x — :pc/a), etc., y=(x — (piir''co) (x — (pb,"co) (x — (pc,'a>), etc.,
on aura V=iy^, 1^"=^'% etc. , et la fonction Z elle-même sera un quarré (2^0/^2 n" 3 57) dont la racine est égale hyy-y", etc. Au reste, on voit facilement que j", y", etc. se dérivent de y de la même manière que JT', Y', etc. de i^ (I)j et que chaque coefficient dejy peut aussi se ramener à la forme
A + B(f, i) + C(/,^)-fZ)(/,^^), etc.,
puisque les sommes des puissances des racines de l'équation ^^-^r^o sont les moitiés des sommes des puissances des racines de l'équation T'z=zo, et partant réductibles à cette forme.
Dans les quatre autres cas, JT sera le produit des facteurs x^ — (^c*>y f X- — (<pj,ct))% x'' — ((pàiœy, etc. et parconséquent de la forme
x^ — Àjc^-^ -i^fjix^-^ — etc. ;
les coefficiens X, fx, etc. peuvent se déduire de la somme des quarrés, des biquarrés, etc. des racines (pco, (pa^où, <pb,cû, etc., et de même pour les fonctions V, V, etc.
Exemple J. Soit 72=17, y=3, et que (p désigne le cosinus. On a
et il faut parconséquent décomposer \/Z en deux facteurs du quatrième degré / et y, La période F = (8, i) est composée des
périodes
(2, 0, (2, 9), (2, i3), (2, i5), d'où
y:=(x — (pO)) (x — ^9») (x — (pi 5a)) (x — (pi5i)).
Substituons t[>^]H-7[« — ^] pour <pkœ , et désignons indéfiniment par Sn la somme des puissances ?n des racines cpo; , Ç'g*', etc, nous trouverons
5. = U8, O-, i^. = 24-K8, 0; ^3 = K».04-iCB, 1); -^4 = 14-7^(8,0: et déterminant par là les coefficiens dej, à l'aide du théorème de Neivton,
y' se déduit de y en changeant (8, i) en (8, 3) et réciproquement; ainsi substituant les valeurs
(8, ,) = -i+iv/i7. (8,5)=-i-|v/i7, on a
\/^ peut de la même manière être décomposé en quatre facteurs du second degré , qui seront
{x — <p(i)) (:r — (pi5a)), (x — (pg») (jr — (pi Sa»), {oc — <p%'jù) (^cc — ^5(4)), {x — (pio») (jc (pilû)),
et tous les coefïiciens de ces facteurs s'exprimeront au moyen des quatre périodes (4, i), (4 9)> (4» ^)> (4> lo). Or il est évident que le produit des deux premiers facteurs est / , et celui des deux derniers y' ,
Exemple II, Si, toutes choses d'ailleurs égales, (p est supposé désigner le sinus, ensorte qu*on ait
■^ 4""^ T^ I 6 "^ 3i "^ T^25B-^ Sia-*- T^2Q48'*' Aogb*^ 1^65536'
à décomposer en facteurs du huitième degré y Qty, y sera le produit des quatre facteurs du second degré
^a — ((pu))', ^* — (<P9^)% ^'^ — C^'iSo))*, a:' — ((pi5a))'. Or comme on a. . .^/£ûo = — -[A] -|--[/ï — K\, il en résulte
de là , en désignant indéfiniment par S^ la somme des puissances m des racines (pcà, (pgo), cpiSût), (pi5ûe>, on tire
56 = 1-^(8, 0-^(8,3); 58=14-^(8, i)~^(8,o), et partant
y se déduit de y en échangeant entre eux (8, i) et (^,5), desorte que par la substitutioa des valeurs de ces périodes.
ARITHMÉTIQUES. ifif
on a
Ort pourra de la même manière décomposer Z en quatre facteurs , dont les coefficiens s'exprimeront au moyen des valeurs des périodes de quatre termes-, le produit de deux d'entre eux sera y, le produit des autres y',
565. Nous avons ainsi réduit par les recherches précédentes la division du cercle en n parties ^ si n est un nombre premier, à la solution d'autant d'équations qu'il j a de facteurs dans le nombre n — i, et dont le degré est déterminé par la grandeur des facteurs. Ainsi, toutes les fois que n — i est une puissance de 2 , ce qui arrive pour les valeurs de n
3, 5, 17, 257, 65537, etc.,
la division du cercle est réduite à des équations du second degré seulement, et les fonctions trigonométriques des angles
^^ £1!^ etc. peuvent être exprimées par des racines quarrées plus
ou moins compliquées, suivant la grandeur de n; donc, dans ces différens cas, la division du cercle en n parties, ou la description du polygone régulier de n côtés, peut s'exécuter par des constructions géométriques. Par exemple, pour 7Z= 17, on tire facilement des n« 354, 56 1
cos~=-i^+iV\/i7+r«\/(34-2V/i7)-|\/{(i7+3v/J7)-V(34-2V/i7)
'^ -2\/C344-2\/i7)}; les cosinus des multiples de cet angle ont une forme semblable, les sinus ont un radical de plus. Il y a certainement bien lieu de s'étonner que la divisibilité du cercle en 3 et 5 parties a^^ant été connue dès le temps à'Euclîde, on n'ait rien ajouté à ces découvertes dans un intervalle de deux mille ans, et que tousles géomètres, aient annoncé comme certain, qu'excepté ces divisions
et celles qui s'en déduisent (les divisions en 2,1 5, 5. 2, 5. 2 ,
ï5.2^ parties) , on ne pouvait en effectuer aucune par des constructions géométriques.
Au reste on prouve facilement que si un nombre premier n est=2'"-f-i, le nombre m lui-même ne peut avoir d'autres diviseurs que 2 , et qu*il est parconséquent de la forme 2 . En effet si m était divisible par un nombre impair ^ plus grand que l'unité, et qu'on eût ainsi m = (^>), 2'"+i serait divisible par
3 H-i , et partant composé. Toutes les valeurs de n qui ne conduisent qu'à des équations du second degré , sont donc contenues
sous la forme 2 +1; ainsi les cinq nombres 3, 5, 17, 257, 65537 s'en déduisent en faisant v = o, i, 2, Z, ^ ou mz=.i, a,
4 S, 16. Mais la réciproque n'est pas vraie , et la division du cercle n'a lieu géométriquement que pour les nombres premiers compris dans cette formule. A la vérité Fermât, trompé par l'induction , avait affirmé que tous les nombres compris sous cette forme étaient nécessairement premiers; mais Euler a remarqué le premier que cette règle était en défaut dès la supposition y = 5 ou mz=.'^2, qui donne
nombre divisible par 641.
Toutes les fois que n — i renferme des facteurs difPérens de 2, on est toujours conduit à des équations plus élevées, par exemple^ à une ou plusieurs équations du troisième degré , si 3 est une \ ou plusieurs fois facteur*, à des équations du cinquième degré , quand n — i est divisible par 5 , etc., et Kous pouvons démontrer EN toute rigueur QUE CES ÉQUATIONS NE SAURAIENT EN AUCUNE MANIÈRE ETRE EVITEES NI ABAISSÉES , et quoique
les limites de cet Ouvrage ne nous permettent pas de développer
ici la démonstration de cette vérité, nous avons cru devoir en
avertir, pour éviter que quelqu'un ne voulût essayer de réduire
; à des constructions géométriques d'autres divisions que celles
V données par notre théorie, et n'emplojât inutilement son temps
,[ à cette recherclie. . >i
I 566. Si l'on veut diviser le cercle en a parties, a étant un nombre premier et a >» 1 , il est aisé de voir que la construction géométrique n'est possible qu'autant que <2=2. En effet, si rt>2, outre les équations nécessaires pour la division du cercle en «parties^
îl faut encore résoudre ct—i équations du degré a, que l'on ne peut non plus ni éviter, ni abaisser. Ainsi le degré des équations nécessaires se connaîtra généralement par les facteurs premiers du nombre (a--i)/"" (j compris le cas où ct==i).
Enfin si l'on doit diviser le cercle en Nz=:^ah^ ,.. parties, a, b,c, etc. étant des nombres premiers, il suffit de savoir effectuer les divisions en a\ b\ c^'etc. parties (n* 336). Ainsi, pour connaître le degré des équations nécessaires, on doit considérer les facteurs premiers des nombres .
(^-.i>*-\' (Z'-OÔ^'"', C^-Oc^^', etc., ou, ce qui revient au même, les facteurs de leur produit. On remarquera que ce produit indique combien il j a de nombres moindres que N et premiers avec lui (n-» 38). Ainsi la division ne pourra s'exécuter géométriquement que lorsque ce nombre est une puissance de 2J mais quand il renferme d'autres facteurs premiers p, v\ etc. , on ne peut éviteçjç ^ a.ucurie. manière les équations de degré py p', etc. •
Il suit de là généralement que pour que la division géométrique du cercle en N parties soit possible , iV doit être 2 ou uhe puissance de 2, ou bien un nombre premier de la forme 2'"-f-i , ou encore le produit d'une puissance de 2 par un ou plusieurs nombres premiers différons de cette forme ; ou d'une manière plus abrégée, il est nécessaire que N ne renferme aucun diviseur impair qui ne soit de la forme 2'"-|-i, ni plusieurs fois un même diviseur premier de cette forme. . ' :
On trouve de cette manière, au-dessous dé 3oo, les trèrite-huit valeurs suivantes pour le nombre N \
48, 5i, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, ifio, 128, i36, 160, 170,
Qqq
ADDITIONS DE L'AUTEUR
iV" 28. La solution de l'équation indéterminée ao: + ^/= dbi n'a pas été trouvée pour Ta première fois par ^z//^r, comme nous l'avons dit, mais par Bachet de Mezîriac, géomètre du dixseptième siècle, célèbre par l'édition de Diophante qu'il a publiée avec des Commentaires. C'est Lagrange qui lui en a restitué l'honneur, dans ses Additions à V Algèbre d'Euler, p. 525, où il indique en même temps le fond de la méthode. Bachet a publié sa découverte dans la seconde édition de son ouvrage intitulé : Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, 1624*, elle n'existe pas dans la première édition (imprimée à Lyon en 17 12), qui est la seule que j'aie vue, maiè elle y est annoncée.
N'" i5i, 296, 297. i^^^Tzr/r^ a nouvellement exposé sa démonstration dans un excellent ouvrage intitulé : Essai d'une théorie des nombres, p. ^i4 ^^ suit^,, mais cependant de manière à n'y rien changer d'essentiel, ensorte que cette méthode est encore sujette à toutes les objections que nous avons faites n" 297. Il est vrai que le théorème (qui sert de base à une supposition) que dans toute progression arithmétique /, Z+A, /-f-2A, etc., on trouvera des nombres premiers , si k et l n'ont pas de diviseur commun, a été exposé avec plus de détail dans cet ouvrage, p. 12 et suiv. j mais il ne paraît pas encore avoir satisfait à la rigueur géométrique. D'ailleurs, quand même ce théorème serait complètement démontré, il resterait encore l'autre supposition, qu'il existe des nombres premiers de la forme 4^-\-5 , dont un nombre premier donné positif de la foTme 4/2 + 1 est non-résidu quadratique, et j'ignore s'il est possible de démontrer cette proposition sans supposer* le théorème fondamental lui-même. Au reste, nous devons faire remarquer que ce célèbre géomètre
ADDITIONS DE L'AUTEUR
n'a pas fait tacitement cette supposition, et qu'il en convient lui-même, page 221.
^«^ 288 — 295. Ce sujet, qui est présenté ici comme une application particulière des formes ternaires, et qui, sous le rapport de la rigueur et de la généralité , semble ne rien laisser à désirer , a été traité bien plus amplement par Legeiidre , dans la troisième partie dp son ouvrage (*), p. 52i— 400.II s'est servi de principes tout-à-fait difiérens des nôtres-, mais par la route qu'il a suivie, il a rencontré plusieurs difficultés qui l'ont empêché de démontrer rigoureusement les théorèmes principaux. Il a lui-même indiqué avec franchise ces difficultés-, mais, si nous ne sommes dans l'erreur, elles pourraient être levées plus facilement que celle qu'il rappelle encore dans cette recherche (p. 571 , en note à la fin), savoir que dans toute progression arlthméiique , etc.
N' 5o6, yill. Dans la troisième chiliade de déterminans né- ■gatifs , nous en avons trouvé trente-sept irréguliers , parmi lesquels dix-huit ont 2 pour indice d'irrégularité , et les dix-neuf autres l'indice 3.
Idem, X Nous venons de parvenir à résoudre complètement 4a question que nous proposions ici, et nous publierons cette recherche, qui éclaire singulièrement plusieurs parties de l'arithmétique transcendante et del'analjse , lorsque nous aurons occasion de mettre au jour la continuation de cet ouvrage. Nous avons trouvé en même temps, que le coefficient m (n° 3o4, p. 376) est
m = >'7f = 2,3458847616, y étant le même qu'au n" 5o2, et tt toujours la demi-circonférence du cercle dont le rayon est i.
(♦) Les lecteurs ont à peine besoin d'être prévenus de ne pas confondre nos formes ternaires avec ce que Legendre appelle les formes ternaires d'un nombre , car il n'entend par là que la décomposition d'un nombre en trois quarres.
