KK) + {KK') + {KK") = 77Z — I

<■ est- à-dire 3 au nombre de termes de K diminué d'une unité. Par

ARITHMETIQUES. 469

une raison semblable , on aura

Développons maintenant d'après les règles du n' 545, le produifc pp^ en

(m , a'-f- i) -H (m, /S'4- i) -f- (m, ^-f- 1) + etc. ;

on verra facilement que cette expression peut se ramener à la forme

et comme (n* 345) le produit p^p" naît de pp\ en changeant (m, i),

0^f§^)> C"^'ê^O ^^ i^> s)f Q^' ê"")» ("^> 0 respectivement, c'està-dire, p, p' , p" , en p' y p", pf on aura

et de même

pp" = (K'K)p' + (K'K')p + (K'K")p';

d'où résulte sur-le-champ

De plus , comme on aurait pu développer directement z?;»" de môme qu'on a développé pp' , ce qui aurait donné

pp" = {K"K) p -f. {K^K!) yL^'-f {K'K') p\

et que cette expression doit être identique avec la précédente , il s'ensuit qu'on a nécessairement (A'A) = {Ji' K') et (A" A'") = ( ^' A). Si donc nous faisons

(A-'A') = (A' A") = a, (A'A") = (A' A) = (AA') = b , {K'K') = ( A'A ) = (A A") = c, nous aurons

(A A) + (AA') + (AA') = (AA) + Z, + c = 77i — i ,

et a'\-h -\- cz=.vi i

d'où {KK)^a-'i.

Desorte que ces neuf quantités inconnues se réduisent à trois, ou plutôt à deux, à cause de l'équation a -^ b -{' c = m»

Enfin il est clair que le quarré p*^ se développe en

Parmi les différens termes de cette expression , on trouvera (/«, ri) qui se ramène à {piy o)=:m', le reste se réduira évidemment à

d*où l'on tire ... p^:=:zm'\-(a — i) yp -}- ^^ -f- cp'»

Ainsi , par les réductions précédentes , nous avons trouvé les quatre équations

p* = 77Z + (^ — ^)p + ^p' -h ^p" t PP = ^p-h cp' -f- ^z/,

;?/ = cp-\- ap' + Z'/, ;

p'p"^ ap -{- ph' -^ cp' ,

où les trois inconnues a, b, c sont liées par la relation a-\-b-{'Cz=:m (I) ,

et sont certainement des nombres entiers. On tire de là

C=:p X p'p''-=.ap*-\' hpp''\' cpp":=i am + (a'-f- ^*+ c* — a)p -f- {cLb'\-hc'\-ac)p' -{- {ah^bc-^^ic) p".

Mais comme pp'p" est une fonction invariable de p, p\ p", les coefficiens de ces trois périodes doivent être les mêmes (n" 35o), ce qui donne une nouvelle équation

«•+Z>* + c* — a=^ab'\'aC'\'bc (II),

et partant

C =«/7z 4- (ab-^ac-^-bcXp+p'-i-p") =:a' — hc (Ill) ,

à cause de l'équation (I), et de l'équation p-^p'-^p" ^=^ — i.

Quoique C dépende de trois inconnues qui ne sont liées que par deux équations, la condition qui exige que a, b, c soient des entiers , suffit pour les déterminer. Afin de le prouver, nous mettrons l'équation (II) sous la forme

qui devient

4n = (6a — SZ' — 3(?— 2)* -f- 2j (b —cy.,

à cause de 72 = 3/72 4-1=3^4- 3^+ 5c-}- 1 ; ou, en faisant

2a — b — cz=^7i,

II suit de là que le nombre 4'z > c'est-à-dire le quadruple de tout nombre premier de la forme Sm-j-i, peut être représenté par la forme x^4-27J^j et quoique ce résultat puisse se tirer sans difficulté de la théorie générale des formes binaires, il n'en est pas moins étonnant qu'une telle décomposition Soit liée si intimement avec les nombres a, b, c. Or nous démontrerons^ comme il suit, que le nombre 4^ ne peut être décomposé que d'une seule manière en un quarré et le produit d'un autre quarré par 27 (*). Si Ton supposait

/» 4- 27^/^ = 4/2 et /*4-27tt'* = 4«,

on en tirerait

I* (tf—- 2'JUUyr^2j(tu'-{' /'//)' = ! 6/2*

2' («'4- 2juiiy'{- 2 7 (///'— fuy = 16/2*

5° (tu'-{-ifu){tu'—i'i/)=4n(u'''—u^).

La troisième équation prouve que n, qui est un nombre premier, divise l'un des deux nombres tu'-\-fu, tuf — t'w, mais la première et la seconde font voir que chacun de ces nombres est plus petit que 72 j donc celui que 7z divise est nécessairement nul, ce qui donne u'* — 2^*=o, ou u^z=:u'^ et /"=i'*, c'est-à-dire que les deux décompositions sont les mêmes. Si donc nous supposons connue la décomposition du nombre 4^ en un quarré , et le produit d'un autre quarré par 27, décomposition que l'on peut trouver soit par la méthode directe de la Section V, soit par la méthode indirecte des n°^ SaS, 524', si, par exemple, on a 4«=^'4-27A^% lesquarrés(3A — 2)% (b — c)* serontdéterminés, et on aura deux équations aulieu de l'équation II. On voit clairement, non-seulement que le quarré (3^ — 2)* est déterminé , mais que la racine Sk' — 2 l'est aussi j en effet, k devant être un nombre entier, on devra prendre 3A— •2=4"-^ ou s= — M, suivant que M sera, de la forme

(*) Cette proposition peut être démontrée plus directement par les principe? de la Section V.

Sz-f-i ou 5z-|-2 Ç^^). Cela posé, comme on a

A: = 2a — ^«— c= 5fl — iw , on en tire

d'où

et ainsi tous les coefficiens de l'équation cherchée se trouvent déterminés.

Cette formule devient encore plus simple, en substituant pour N'' sa valeur tirée de l'équation

(3Â:— 2)* 4- 27iV^*=: 4^^5=12772+4;

ce qui donne

Cette valeur peut encore se représenter sous la forme

e=(3;f— 2)iV»+A'— .2;£»H-A — Â772+77Z,

qui est d'une application moins facile, mais qui fait voir par elle-même que C est un nombre entier, comme il le faut.

Exemple, Pour 72= 19, on a 4^= 49 + 27 > d'où 3Â: — 25=7, A;=3, C=|(6-f-57)=7 , et l'équation cherchée est

oj^+cr'* — 6x — 7 = 0, comme ci-dessus (n* 35 1).

De même, pour 72 = 7, i3, 3i, 37, 45, 61, 67, on trouvères^ pectivement Â:=ii, — i, 2, — 3,-2, i, — i et

C — i, —I, 8, —II, —8, g, —5.

Au reste , quoique le problème que nous venons de résoudre soit

(*) M ne peut être de la forme 3z , car alors 4^ serait divisible par 3. Quant à Varabiguité de signe qui porte sur 6— c, il est inutile de s'y arrêter, et même cette détermination est impossible par la nature même de la chose , puisqu'elle dépend du choix de la racine g-, de manière que pour quelques racines primitives 6 — c est positif, tandis que pour d'autres il est négatif.

assez

ARITHMETIQUES. 475

assez compliqué, nous n'avons pas voulu le supprimer , tant à cause de i'élégance de la solution, que parceque les artifices qu'il nous a donné occasion d'emplojer peuvent être d'une très-grande utilité dans d'autres problèmes.

359. Les recherches précédentes avaient pour but de trouver les équations auxiliaires*, nous allons maintenant exposer sur leur résolution une propriété digue de remarque. On sait que tous les travaux des plus grands géomètres ont échoué contre la résolution générale des équations qui passent le premier degré, ou pour mieux définir l'objet de la recherche, contre la réduction des équations complètes à des équations à deux termes, et il est à peine douteux si ce problème ne renferme pas quelque chose d'impossible, plutôt qu'il ne surpasse les forces actuelles de l'analjse. (Voyez ce que nous avons dit sur ce sujet dans le Mémoire intitulé Demonstratio nova, etc, p. 22). Il est certain néanmoins qu'il y a une infinité d'équations composées dans chaque degré , qui admettent une telle réduction, et nous espérons faire plaisir aux géomètres, en prouvant que nos équations auxiliaires sont toujours dans ce cas. Mais à cause de l'étendue du sujet, nous ne présenterons que les principes les plus importans qui sont nécessaires pour démontrer cette possibilité , différant à un autre temps l'exposition plus complète. Nous mettrons en avant quelques observations générales sur les racines de l'équation a:'— 1=0^ en comprenant le cas où e est un nombre composé.

1**. Ces racines sont données, comme on le sait, par Içs élémens, par la formule

kP , . . kP cczzzcos — -f-isin — ,

dans laquelle on doit prendre pour e les nombres o, i , 2, 3...^— i; ou d'autres nombres quelconques congrus avec eux. Une seule racine est =1 , celle que l'on obtient en faisant ^=0, ou plus généralement A^o (mod. e) -, mais à toute autre valeur de h répondra une valeur de x différente de i.

a". Comme on a

^C0S--H-2Sip-;^J =ÇQS--4-iSin-— ,

Oo»

4r4 RECHERCHES

si- /? es6 une racine qui corresponde à une valeur de k première avec e , le terme de numéro e dans la progression i?, i2% i?% etc. sera =i, mais tous les autres seront différens de i •, il suit de là que fontes les quantités/?, 7?% i?% etc. sont différentes, et comme chacune satisfait à l'équation a;' — i=o, elles sont les racines de cette équation.

3% Enfin dans la même supposition, on a

pour toute valeur de A entière et non divisible par c\ en effet cette

expression équivaut à -, et le numérateur de cette fraction

est =0, tandis que le dénominaleur ne Test pas. Mais quand A est divisible par e, cette somme est évidemment •:=.£,

36o. Soit, comme dans tout ce qui précède, n un nombre premier, g une racine primitive pour le module w, et n-—\ les produits de trois nombres entiers positifs a, jS, y» Pour abréger, nous comprendrons en même temps dans nos recherches le cas , où l'on aurait a ou ^=1 ; quand ^==1, il faut remplacer (>? Oj (>> ë)i ^^^' P^^ \}\y Vë\i ^^^' Supposons donc que les â

périodes de ^y termes, (/3>, 1 ^ , {^y, g) , (^>, g") ((By, g^ )

soient connues, et que l'on veuille en déduire les valeurs des périodes de y termes, opération que nous avons réduite plus haut à la résolution d'une équation complète du degré Q> , et qu'il s'agit maintenant de ramener à une équation à deux termes de même degré. Pour abréger, nous représenterons respectivement les valeurs des périodes

{y>^)^{y>g)Ay>g }>'"(y^g ) p^^ a,ù,c,...m,

(yyg)>(y>ë )' (y^g ,) a, i ....... m,

(y,g%(y>éi )y {}>§' ) ^'^^ "''

jusqu'à celles qui composent la période {^y, g ).

j*. Soit R une racine indéfinie de l'équation :c — «1=0, et

supposons que le développement de la puissance /S de la fonction

/ = a + i2Z> + i?V 4-. ... iR^"~'w.

soit, par ce qui a été dit (n° 545) ,

iV^+^a -^Bb -^ Ce -^Mm

+ AW -\- B'U + Ce' +M'm' .j.

+ etc.

où les coefficiens N , A, B , A\ etc. seront des fonctions rationnelles entières de R» Supposons aussi que la puissance /3 des deux autres fonctions

u=:R^a'\-Rb-^R*e -f/?'"~'^,

u'z=z b-j-Re-i-R'd.. . . .-\'R^~^m'^R^~"a

se développe en V et V, on verra facilement (n' 35o) que u' se tirant de t en changeant a,b, c . . , .7?i tn b » c , d , . . .a respec^ tivement , on aura

]>f^Ab -i-Be ^Cd -i-Ma ^

+ A'b' + Be' + Cd' + M'a' f __

+ ^'^' + B'e' -f- Cd" + MV .' ^ - •'"