LM

Ajoutant TL = 86*^. 48'. i 3",5

Nous aurons T LM = 162°. 48^29 ", 5

Retranchant de cette somme Tare tD ou 0 = 98°.46'.3o",5-|-;7z"t

i! restera DM = 64°- l'.àp^jO — / 72 "t

Alors, par un calcul tout pareil à celui que nous avons effectué au commencement du § 9 , nous pourrons former l’expression de l’angle horaire P qui est sous-tendu en P, par cet arc de l’écliptique. Sa formule, que je rappelle à dessein ici , avec les dénominations de la fig. 2, sera :

sin M . tang DM

tang P p^ ^

lOO RECHERCHES DE CHRONOLOGIE EGYPTIENNE.

Divisez les deux membres de la fraction par sin PM j puis remplacez les sinus et cosinus de M et de PM, par leurs valeurs trouvées dans le § 8. L’équation ramenée ainsi à ses coefficients numériques propres, c, c* deviendra

où Ton aura :

c tang iîM

6‘ =0,927784681 ; log c =7,9674472; c =0,046680774^ \ log c -=L 2,6709948-

Mais l’angle horaire P peut aussi être exprimé en fonction du temps t. Car T étant exprimé en heures, il ajoutera i 5 ®.t à l’angle horaire primitif de temps vrai 2‘* . 4 "' . 45®,4 j ou en arc qui avait lieu à Thèbes

d’après nos tables solaires, quand t étant nul, comme nous l’avons vu §11. Restituant donc à l’arc ÜM. sa valeur en t, la condition qui déterminera T sera :

tang j 3 i°. 1 2i"'-|- i 5 °t j =

c tang I 64®. t* 69'' — /?î"t I I — c' tang j 64° - 1' . 59'' — I

les coefficients numériques c, c\ étant ceux que nous venons dévaluer. La valeur de t qui satisfera à cette équation, fera connaître la longitude 0 du soleil et l’heure vraie de Thèbes, qui, selon nos tables solaires, ont coïncidé avec le lever de Sirius sur l’horizon de cette localité, le i4 juillet de l’année de la période julienne 8469. Il ne restera plus qu’à voir : i®, si l’apparition de l’étoile a été matutinale, comme nous vaulions l’obtenir ; 2® si l’heure à laquelle son lever s’est opéré, supposait un abaissement du soleil suffisamment considérable pour qu’elle fût perceptible à la vue simple ; 8® enfin, si cet abaissement était le moindre que l’on pût croire conciliable avec cette condition de visibilité; ce qui donnera au lever de ce jour le caractère de lever héliaque , dans le propre sens de l’expression. Nous allons étudier ces diverses particularités.

§ 14. L’équation (2) est aisée à résoudre au moyen de quelques essais numériques , parce que la petitesse du coefficient de T, dans le second membre fait que l’argument variable que celui-ci renferme en est peu influencé; de sorte que la valeur qu’il prend, pour toutes les petites valeurs de t, qui sont légitimement supposables, donne toujours au premier membre, à peu de chose près, celle qu’il doit avoir. En conséquence, nous guidant d’après

loi

les conditions naturelles du problème, attribuons d’abord à T une valeur telle que le lever dût s’opérer exactement à la fin de la XP heure temporaire de la nuit, auquel cas l’angle horaire P du i®** membre devrait se trouver égal à 5 H„. Pour cela , nous n’aurons qu’à prendre donc la valeur de cette dernière quantité dans le § 9; et la condition de l égalité sera ;

d’où Von tire :

t étant ainsi exprimé en heures, on en déduit

Or par le § 1 1

log t = o, 35 i 7497 log m' z=z 2,1593867

Il en résultera donc log = 2,5i 1 136'4 ; = 324",4=5'.24^',4

et par suite :

Avec cette valeur de l’argument E, le second membre de l’équation (2) pourra être réduit en nombres, ce qui donnera la valeur correspondante du premier. Voici le type du calcul :

log tang E = 0,3107214 log tang E = 0,3107214

log c == 1,9674 472 log c' = 2,6709948

log numér. = 0,2781786 2,9817162 0,0968774

log dénom = 1,9662273 dénom 0,9041226

log tang P = 0,32 195 13 ; P = 64°.3i'.23" log dénom== 1,9562273

Donc , pour que l’équation (2) fût satisfaite, par la valeur de t que l’on a choisie, il faudrait qu’on eût :

ce qui donne

33 °. 20'. 2" h Om s h A-

Cette valeur résultante de t diffère déjà bien peu de celle que nous avions prise à titre d’essai, pour évaluer le second membre de l’équation (2). Mais, en la faisant servirau mêmetitre dans une nouvelle évaluation, elle devra approcher bien davantage de satisfaire à l égalité que cette équation exige. C’est, en effet, ce que nous allons voir en lui appliquant le même calcul-

Prenant donc, cette fois, t = 2''^2226, nous aurons :

log T = 0,3467941 log m” = 2,1693867

log m”x = 2,5 o6 1 808 ; / w"t = 820", 8 = 5 ' . 20'^, 8

il en résultera donc ;

ceci donnera :

log tang E = 0,3107407

log c = 1,9674472

log tang E= 0,3107407 log r' = 2,6709948

log nam = 0,2781879 log dén = 1,9662263

dénom

log tang P = 0,8219626 ; P = 64°. 3 i', 25 " log dén = 1,9662263

Maintenant cette valeur résultante de l’angle P est seulement de 2" moindre que celle qui nous a servi pour l’obtenir. L’équation proposée en sera donc suffisamment satisfaite, pour notre but. C’est aussi de quoi on peut s’assurer en posant la condition :

d'où l’on tire :

__ 33‘>.2o'. 4" h Qm sa T = = 2 ^* . l 3 “ - 20*,3

Cette valeur de r surpasse seulement de o%2 celle que nous avions employée pour évaluer le second membre, nous pouvons donc sans crainte d’erreur admettre qu’elle réalise avec une approximation suffisante l’égalité des deux membres de l’équation (v-

§ 1 5 , En l’adoptant comme telle, il en résultera les conséquences suivantes :

Premièrement : d’après l’expression générale de la longitude vraie du soleil établie au commencement du § i3, cette longitude à l’instant du lever de Sirius sera :

Cette longitude donne aux heures temporaires des valeurs à peine diffé-

RECHERCHES DE CHRONOLOGIE ÉGYPTIENNE. lo 3

rentes de celles que nous avons empruntées au § i 4 pour préparer notre calcul de t. En effet , on en tire

5 Hrt = 64® . 54' . 1 7 '', 5 = 4^ . 19'" . 378,2 Et puisque nous trouvons : P ~ 64 °. 3 i'. 24^^6 = 4 ^* iS'"*

Il en résulte : 5 H„ — P nr o'^. 22'. 52 ',9 = o^^,

c’est-à-dire que, selon nos tables solaires, le i 4 juillet de Tannée 3469 le lever apparent de Sirius, sur Thorizon de Thèbes, s’opérait aidant

la fin de la XP heure temporaire de la nuit.

Pour connaître quel était alors l’abaissement vertical H du soleil, sous cet horizon, il faut reprendre l’expression générale de Tare e formée dans le § i 3 , laquelle était :

/I t tf t >'

et puisque nous avons ici m"x = o*^’. 5 '. 2 o ",8

il en résultera c 12^^ . 5 '. 37",8

De là on tire : log sin c = ï, 3212116

et comme on a § 6 log sin I = 1,9387281

on eu déduira log sin H — 1,2599397 ; H = io« . 28' . 59^,0

Cette valeur H est justement intermédiaire entre celles de lo^ et 11% qui se tirent des indications de Ptolémée; et elle s’accorde de même avec la condition qui place le lever vers la fin de la X.P heure temporaire de la nuit. Tous ces résultats concourent donc à confirmer la date du 1 4 juillet que nous avions assignée à ce phénomène en établissant nos calculs.

§ j[6. Le tableau de Ramsès VI place ce lever matutinal de Sirius dans la nuit du i5 au i 6 thot civil, et le calcul établi pour notre année d’essai vient de nous montrer que, vers le temps où sa construction remonte, ce lever s’opéraitsur Thorizon de Thèbes, le i 4 juillet, à 4 *" 18“ 6 ^ du matin, le jour julien commençant à minuit. D’après sa loi de périodicité constatée il a dû rester fixé à cette date julienne pendant beaucoup de siècles. Ainsi, pour connaître la date absolue à laquelle son indication sur le tableau s’applique, il ne s’agit plus que de trouver Tannée julienne dans laquelle le minuit qui commence le i4 juillet julien a coïncidé avec le minuit qui appartenait au i 5 îhot civil. Cette concordance est établie dans le texte du

io4

Mémoirej page 66 ; et elle se trouve réalisée dans toute l’étendue de la [>ériode quadriennale qui commence à Tannée de la période julienne 3473 . Celleci est si peu distante de notre année d’essai 3469, que lafixitéduleverau même jour julien dans cet intervalle ne peut faire aucun doute, de sorte que la date absolue qui résulte de son transport se trouve très-légitimement établie.

§ 17. Toutefois, avant de Tadopter définitivement, il ne sera pas inutile de voir s’il y aurait quelque avantage à placer le lever un jour plus tard , c’est-à-dire au i 5 juillet, préférablement au i 4 ; oe qui, nécessitant une longitude du soleil un peu plus grande, devra donner à son abaissement H une valeur un peu plus forte, comme Ideler trouve que Ptolémée la supposait habituellement. Après les préparations qui précèdent, ce nouveau calcul est bien facile : il suffit de faire dans les équations (i) et (2) :

t' étant une nouvelle indéterminée qui aura son origine 24** plus tard que t. Alors le produit m’'r deviendra 24/^T' -h m'V ; où Ton pourrait sans une notable erreur conserver au coefficient m" la valeur que nous lui avons ci-dessus attribuée. Néanmoins, pour garder ici, à titre d’exemple, un rigorisme qui serait superflu dans l’application , j’admettrai que Ton remplace le produit 24^^^^ par le mouvement diurne de longitude tiré des tables mêmes, et que Ton prend pour le coefficient de t' la valeur jx" qu’elles assignent au mouvement horaire compté de sa nouvelle origine. M. Picqué ayant bien voulu me fournir ces deux éléments, il en est résulté :

— 0°. 57' . 5 i '',4 "P P-^ =i 44 ' jS 9 ; log (x" = 2, 1610384

Le coefficient (x" diffère à peine de m" ; et le mouvement diurne surpasse seulement de quelques secondes celui que Ton aurait conclu en multipliant m" par 24. On aurait donc pu très-bien se dispenser de calculer ces nouvelles données , puisque les anciennes auraient évidemment conduit à des conditions d’observation à peine différentes.

En les substituant d’abord dans Eéquation (i), page 99, laquelle détermine Tare d’abaissement du soleil sur l’écliptique, elle devient :

Opérant de même sur Téquation de condition (2), page 100, son premier

hïCHEüCHlJS DE CHRONOLOGIE EGYPTIENNE. Io5

mt'inbre reste composé en t', comme il l’était en t, puisque la portion variable 1:5*^. T enveloppée sous le signe augmente de 36 o®. Dans le

se<;ond membre, la portion constante de l’argument diminue de o® . 57 '. 5 i", 4 * La condition d’égalité qui déterminera t' sera donc :

! n ^ , c tanff I 63 ^. 4 ' • \

1 — c tang j 63 ® .4*7 >6 — (x x }

Pour un premier essai , donnons à r' la valeur finale de t que l’application precedente nous avait fournie, c’est-cà~dire :

nous aurons alors :

log X' ; log II" Z

log ll ' z ' =r 2,5078325 ;

d’où résulte :

2 ,i 6 io 384

donne

63 ®. 40 7 'Vj -

- uV= 62 ®. 58 '. 45",6 = E.

log tang E

log rang ¥u =r= 0,2924469

log c

log c' = 2,670494^

log nu ni

log dén

log tang P

= o, 3 oi 7227

P = 63 ®. 28^. 17^,3 dén 0,908179

log dén = 1,9581714

donc, pour que l’équation (2)' soit satisfaite par la valeur de t' que I on a choisie , il faudrait qu’on eût :

ce qui donne

2^ . 9' . 7", 8 zz: 2*" . I 52 1 54

Cette valeur de t' est un peu moindre que celle dont nous sommes partis; ce qu’il était facile de prévoir, puisque le lever du i5 doit s’opérer dans

io6 becherches de chronologie égyptienne.

ufi angle horaire moindre que celui du i4- Prenant donc celle-ci pour procéder à un Second essai, elle notis donnera :

log t' = 0,3328783 log \ t !' = 2 ,ï 6 io 384

pog p.'V = 2,49391 1 7 ; = 3 1 i'',82 = o® . 5\ 1 2"

d’où résulte

63®. 4'. 7", 6 — {jl'V = 62®. 58'. 55", 6 = E;

de là on tire :

log tang E = 0,2924990 log tang E = 0,2924990

log c = 1,9674472 log d = 2,6704948

log num zz: 0,2699462 log dén = 7,9681662

log tang P = 0,3017800;

P = 63®.28'28" dénom 0,908168

log dénom z= 1,9581662

Cette fois, la valeur résultante de P diffère seulement de 1 de celle qui nous a servi pour l’obtenir; la nouvelle valeur de t' se confirmera de même, en posant :

d’où l’on tire

Maintenant l’inégalité des valeurs de t' est devenue si petite, que nous n’avons pas besoin de recourir à une nouvelle épreuve approximative. Car elle ne changerait plus sensiblement la valeur de E, ni par suite celle de l’angle P.

§ 18. En adoptant celle-ci, on voit que le lever du i5 juillet s’opérera, quand le soleil se trouvera dans l’angle horaire :

P = 63 ®. 28'. 28" = 4^i 3”.53%9 Or on a § 9 : 5H„ = 64®. 64'. 20" = 4’'. 19™. 87s, 3

donc 5H„ — P= i®. 25 '. 62" = O**. 5“. 489,4

Ainsi, d’après nos tables solaires le lever du 1 5 juillet s’opérerait assaut la fin de la XI® heure de là nuit , par conséquent un peu moins loin de minuit que le lever du i4.

L’équation (1)' dorme alors :

RhCHEHCHES DE CHHO^OLOGIE EGYPTIENNE. ï O7

de la on tire

log sin e = 1,35391 iG log sin 1=1,9387281

conséquemment ; log sin H = 1,2926397 H = 1 . 18’. 48"

Ainsi, à cet instant, le soleil serait plus abaissé sous l’horizon oriental (le 5o'. 1 qu’il ne l’était dans le lever du j4-

11 est impossible de décider laquelle de ces valeurs est préférable, puisque toutes deux ont pu être physiquement réalisées pour des vues plus ou moins bonnes. D après les calculs d Ideler, la dernière se rapprocherait le plus de celles que Ptolémée applique habituellement à Sirius. C’est pour> quoi ainsi que je l’ai expliqué dans le texte , on obtiendra le minimum probable d’instabilité des dates absolues , en établissant les concordances sur celle des deux déterminations où H est le plus petit, et attachant la date absolue à la première année de la période quadriennale pendant laquelle la concordance se maintient.

§ 19 , Les calculs qui précèdent ont été établis, en rapportant la longi* tude vraie du soleil, tirée des tables, au temps urai de l’instant physique pour lequel on l’en avait déduite; ce qui a exigé la connaissance debéquation do temps pour ce même instant. Mais on aurait pu se dispenser de cette réduction , et effectuer immédiatement le calcul en temps moyen , sans que la valeur de l’angle horaire P, que le soleil vrai doit atteindre au moment du lever de l’étoile, s’en trouvât changée 5 parce que la condition qui détermine cet angle consiste seulement dans l égalité des valeurs qu’il doit présentera ce même instant, autour du méridien inférieur du lieu désigné , soit qu’on le calcule trigonométriquement d après la longitude actuelle du même soleil i.)rai^ soit qu’on l’évalue, en transportant le temps absolu du mériflien des tables à celui du lieu, d’après la connaissance de leur intervalle angulaire. Or l’angle P qui satisfait à cette condition est indépendant de l’espèce de temps, vrai ou moyen, que l’on emploie pour établir l’égalité de ses deux valeurs, pourvu qu’on le fasse toujours appartenir au soleil vrai dans ces deux cas.

Comme confirmation de ce raisonnement, reprenons les opérations du § sous cette nouvelle forme. Nommons + t un intervalle indéterminé de temps moyen^ postérieur au minuit où le i 4 juillet julien commence

lo 8 RECHERCHES DE CHRONOLOGIE EGYPTIENNE.

sous le méridien de Paris , t étant exprimé en heures. La longitude vraie du soleil à cet instant, d’après les tables de Delambre, corrigées de la précession, sera :

0 zzr 98*^ . 46' . 3 o '\5 -h m"x

' désignant le mouvement horaire de longitude; de là on en déduira, au moment du lever de Sirius , sur l’horizon de Thèbes, une expression de OM, toute pareille à celle du § i3, page 99, c’est-à-dire :

12M = 64 ®. 1 ' . 5g — rn'\

Mais, d’une autre part , la longitude du méridien de Thèbes à l’est du méridien de Paris étant supposée 2 ^ 1“ o ou 3o°. iS'.o^' en arc, l’angle horaire P du soleil à Thèbes pour l’instant t sera 3o^i5'.o''-f- 15 ‘^ t.

Donc, en conservant les mêmes particularités de notation que nous avions adoptées, l’équation (2) du § i3, qui établit l égalité des deux expressions de l’angle horaire P, qui doivent être équivalentes, deviendra ici :

où

tang j 3 o® . 1 5 ' -f- 1 5 ° . t f w" = i44",34;

c tang (64° . 1' . 5 g" — m"z I — d tang (64®. l'.àg" — m'\

log rn" = 2,1 593867

et l’on n’aura plus, comme précédemment , qu’à trouver la nouvelle valeur de T qui y satisfait,

La faible influence du terme m’'T, dans le second membre , fait aisément prévoir que la valeur actuelle de t devra être plus grande quelle ne l’était dans l’application effectuée au § i4* Elle le sera même précisément de la quantité 3™45®;4 s’ajoutait alors à l’argument constant du premier membre , comme exprimant l’excès du temps vrai sur le temps moyen.

En effet, nous avions trouvé alors, page 102, que l égalité était satisfaite avec toute l’approximation désirable en prenant :

Ajoutons-y 3 “^. 4 à %4

et prenons^ pour première valeur d’essai. . t = 2*^. 17“. 5 ®, 7 = 2 ’*, 2849 i 7 Nous en déduirons. . log t =: 0,3688704

log m” = 2,1693867 conséquemment ; log m"'z =: 2,6182671;

m"'z zir. 3 29", 8 = O® , 5 ' . 2 9", 8

Et, par suite, l’argument du second membre deviendra

alors le calcul s’achève comme il suit :

log tang E = 0,3106926 log tang £ = 0,3106926

log c =: 1,9674472 log c' = 2,6709948

log luim = 0,2781398 log dén = 7,9662304

log tang P = 0,3219094 dén 0,9041290

P = G 4 °* 3 i'. i 5 " =r 4 '\ i 8 “. 5 ® log dén 7,9662304

retranchons-en . . 3 o° . 1 5 '

il restera x == 34°. 16'. i 5 " = 2 h. i7“.5®

Cette valeur résultante de t diffère si peu de celle que nous avons employée comme essai pour calculer le second membre de l’équation (2), qu on ne la trouverait pas sensiblement différente par une approximation ultérieîure. Or l’angle horaire P que donne l’équation (2) ainsi résolue, diffère seulement de 10 ' ou o®,j de celui que nous avions trouvé dans le § i4, p. 102; et je n’oserais pas répondre que ce petit écart ne provienne pas des décimales que l’on est obligé de négliger dans le cours des calculs numériques. Il n’a d’ailleurs aucune importance dans le problème que nous traitons.

Nous allons maintenant chercher la date julienne du jour où le lever de Sirius s’opérait à l’entrée de la nuit, dans notre année d’essai 3469, pour la comparer à la date correspondante qui est assignée à ce phénomène, dans le tableau de Ramsès VI.

II. Détermination du jour julien auquel Sirius réfracté s’est levé le soir, sur l’horizon de Thèbes, à l’entrée de la nuit, dans l’année de la période julienne 3469, ou, de notre ère — 1246 date chronologique.

§ 20. Pour nous diriger dans cette recherche, nous prendrons, à titre de donnée préparatoire, l’intervalle de temps que le tableau de Ramsès VI met entre la première apparition matutinale de Sirius et son lever ultérieur a l’entrée de la nuit. En transportant cet intervalle dans notre année

d’essai 3469®, il nous conduira au jour julien qui correspond à la colonne du tableau dans laquelle ce dernier lever est indiqué. Sachant donc que le lever matutinai marqué dans la nuit du 1 5 au 16 thot a dû s’opérer, dans un angle horaire du soleil égal, après le minuit de ce i5 thot civil, et après le minuit du 1 4 juillet julien, nous formerons les concordances suivantes, immédiatement applicables au méridien de Thèbes :

i 5 thot jour i 5 ® à minuit ==; 14 juillet jour 196® à o*'

Ajoutez des deux parts

i 5 o jours complets.. -|- iSo^ -p i 5 o^

il en résultera i 5 méchir jour i 65 ® à minuit = ii déc. jour 846® à o**

Dans la notation égyptienne du temps , le lever vespertinal marqué par le tableau à cette date est antérieur au minuit du i 5 méchir civil. Il devrait donc, pour conserver rigoureusement la concordance, être antérieur au minuit qui commence le 1 1 décembre julien. Mais, ici, la construction du tableau donne lieu à une indétermination. Ses vingt-quatre colonnes étant espacées de quinzaine en quinzaine, chacune d’elles y est censée applicable aux quinze nuits consécutives , qui partent delà date marquée en tête. Supposant donc que la colonne où la première apparition matutinale de Sirius est annoncée, ait été construite avec l’intention de marquer sa date précise, ce que l’importance du phénomène rend très-présumable, le lever de l’entrée de la nuit aura bien pu ne pas s’opérer précisément dans la 1 5 o® nuit à partir de cette première date , c’est-à-dire dans la première nuit de la colonne qui porte la date du i 5 au 16 méchir. Toutefois, si le phénomène a été postérieur de moins de i 5 nuits à cette dernière date , l’auteur du tableau a dû le comprendre dans cette colonne même. Or le calcul va nous montrer qu’en effet, il a été antérieur au minuit , non pas du 1 1 mais du 12 décembre julien , et qu’il a eu lieu à la fin de la première heure temporaire de cette nuit-là. Nous verrons en outre que le dernier lever crépusculaire du soir s’est opéré seulement neuf jours plus tard ; de sorte qu’il a pu , comme le précédent , être légitimement compris dans la colonne datée du 1 5 au 16 méchir. Ainsi on ne saurait affirmer que fauteur du tableau ait ignoré ou négligé ces dernières applications , puisque la subdivision par quinzaines complètes, qu’il s était prescrite , le dispen-

sait de les mentionner particulièrement. Ces explications préliminaires étant données , je passe aux vérifications mathématiques.

§ 2f. M. Picqué , avec la même complaisance qu’il m’avait déjà témoignée, a bien voulu encore calculer par les tables de Delambre la longitude du soleil pour le 12 décembre de notre année d’essai 3469, et il a trouvé :

12 décembre, . Q = 8^. 10°. 8'. 2’', 7 à de temps moyen, ou de

temps vrai à Paris, compté de minuit; ce qui répond à 2**.5'.59®,3 de temps vrai, compté aussi de minuit sous le méridien de Thèbes.

Mouvement horaire en longitude ?n' zz: i52",54 ; log m" = 2,1834837

Ici, comme dans notre premier calcul § n, je diminue cette longitude de o ®.8 . a5",6, pour la ramener à la même valeur de la précession que nous avons employée en calculant le lieu de Sirius. Ainsi modifiée, elle devient :

O zz:8^9^59’.37",I

En outre , pour la commodité de nos calculs, je réduis cette longitude au minuit vrai de Thèbes. Cela exige que l’on en retranche le mouvement de longitude pour le temps excédant 2^,5"’. Sg*, 3 ou 2^,099806; le désignant donc par f, on aura

log 0,3221791 — log m" = 2, 1833837

log m^t ==: 2,5o55628 ; d’où m''t — — 32o",3 = — 0® . 5' . 20'', 3 Ceci ajouté algébriquement à la longitude précédente donne enfin ;

— 8* . 9®. 54'. 16'', 8, le 12 décembre à o*" ou minuit vrai au méridien de Thèbes.

Alors, pour tout autre instant antérieur du nombre d’heures + t, la longitude vraie et actuelle du soleil sera :

0 zz 00 — m"'z — 249® * 54 '. 16'', 8 — 772 "t

§ 22. J’emploierai d’abord la longitude 0o, elle-même, pour calculer la durée des heures temporaires de nuit sur l’horizon de Thèbes à cette époque de l’année. L’opération sera toute pareille à celle que nous avons effectuée dans le § 9. On cherchera premièrement la déclinaison d par la formule :

sin d = sin w' sin 0o

ce qui donnera :

log sin d = 1,6796855 — log cos d = 7,9661618 logtang^/ 3= 7,6823565 —

Cette déclinaison est australe; par conséquent, à Thèbes, qui est au nord de l’équateur, elle déterminera un arc semi-diurne 90° -f- u , pour lequel l’arc U sera négatif, d’où résultera par supplément un arc semi-nocturne 90° — U plus grand que 90°. En effet, dans le passage cité de mon Astronomie , l’arc U est donné avec son signe par la formule :

sin U tang h . tang d

Mettant donc ici pour hetd leurs valeurs , et désignant par 6„H l’arc seminocturne qui comprend six heures temporaires de nuit, on trouvera :

uz=. — 1 1°. 24'.

et Ton en conclura : i 5 ° — ^ ou „H =: i 6 °. 54 ’.o '^; en temps 7“. 36 ®, 01

et enfin 90° — «, ou 6„H rr: 101°. 24^. i^^o 6^. 46“. 36 % 06

Ces valeurs nous serviront à voir dans quelle portion de l’arc nocturne, antérieur au minuit du 12 décembre, le lever de Sirius devra s’opérer.

§ 23 . Pour nous diriger dans cette application, je construis la fig. 3 , qui représente , ou est censée représenter, la sphère céleste vue du nord-est, un peu obliquement au méridien local PHM, et à l’horizon HLOS', sur lequel Sirius réfracté se lève en S'. T désigne l’équinoxe vernal, TO l’équateur, tLM l’écliptique. Ce dernier cercle et le cercle méridien sont tracés en entier, les parties pleines étant supposées en avant du plan de projection, relativement au spectateur, les ponctuées de l’autre côté de ce plan, fl désigne le soleil placé à l’occident du méridien au moment où Sirius se lève en S'. Sa longitude TLlVlfl le place alors dans l’angle horaire occidental nPM, qu’il s’agit de calculer pour la date choisie, le 12 décembre, avant minuit.

S’il était absolument nécessaire d’effectuer ce calcul avec une complète rigueur, il faudrait reprendre dans le § 5 les coordonnées équatoriales de Sirius réfracté, que nous avons nommées \ci]'\ ^ page 90, et leur appli-

quer les changements que la précession y produit pendant l’intervalle de cinq îiiois; après quoi on recommencerait l’évaluation des arcs TO, TL, TLM,

RECHERCHES OE CHRONOLOGIE EGYPTIENNE. Il3

et de l'angle I, avecces coordonnées modifiées; et ce seraient les valeurs que nous devrions attribuer à ces éléments dans l’application actuelle. Mais il est aisé de prévoir que, pour un intervalle de temps si court, ces changements ne s’élèveront qu’à quelques secondes de degré. Or, les coordonnées [<2]" , [d]'\ renferment un élément arbitraire dont l’influence y est beaucoup plus considérable : c’est la réfraction horizontale, que nous avons évaluée à 82', et qui est susceptible de variations accidentelles bien plus étendues. Nous pouvons donc, sans crainte, reporter idéalement sur elle les petits changements que la précession produirait dans les éléments du lever de l’astre pendant l’intervalle de cinq mois; ce qui nous permettra de les employer tels que nous les avons obtenus pour le lever matutinal, sans prendre de nouveau la peine de les calculer.

§ 24. Plaçons donc le soleil en Çl, au moment du leuer de Sirius^ avec la longitude tLMH, ou — tw"t. Si l’on en retranche Parc tL que nous avons nommé L dans le § 6, page 91 , le reste sera l’arc L 12 , qui aura pour valeur ©^ — m"T — L. Or l’arc total de l’écliptique LIIE'L', qui est sous l’horizon, comprend 180'’; de sorte que l’arc supplémentaire HE'L' qui s’étend depuis le soleil £L jusqu’à l’horizon occidental, sera 180” -I- L — ©Q -h En le désignant par e on obtiendra sa valeur, comme il suit:

d’après le § 6 180 -+■ L =: 266°. 46'. i 3",5

conséquemment (i)" e' = 16®. 5 i . 56 ". 7 -+•

De là, quand t sera connu , on déduira l’abaissement vertical H' du soleil, par la formule :

sin ir = sin e' sin I

la valeur de l’angle I étant telle que nous l’avons trouvée § 6‘.

Maintenant, pour avoir l’angle horaire ilPM, ou que je nomme-

rai P, on calculera d’abord l’arc MiQ de l’écliptique, qui est compris entre le méridien inférieur, et le soleil situé à l’occident de ce plan. A cet effet, considérant que l’arc TLMfl est ©^ — /?^"T, on aura :

TLMÛ = 249«. 54'. 16", 8 —

Or noüs avons trouvé § 8 tLM = 162^». 48'.29",5 consequemment Mü — 87®. 5'.47",3 — /w"t

Il 4 RECHERCHES DE CHRONOLOGIE EGYPTIENNE.

Alors, Tangle P, ou se calculera ici par la même formule et avec les mêmes coefficients déterminatifs déjà employés dans le § i 3 , page loo. Seulement, la comparaison de la figure 3 à la figure 2, qui nous servait alors, fera reconnaître que Tangle M, qui dans cette dernière était aigu, intervient ici par son supplément 180° — M, qui est obtus, ce qui rend son cosinus négatif. Alors l’équation à résoudre deviendra :

tang i5°t i=

c tang 87‘‘.5'.47^^ — tang (87®. 5 '. 47 ", 3 —

où l’on aura comme précédemment :

log c = 1,9674472, log d = 2,6709948

§ 25 . Cette équation se résoudra très-aisément par des essais comme dans le § 14. Pour commencer, je suppose que l’angle P ou doive être exactement égal à 5 „H, ce qui mettrait le lever de Sirius juste à la fin de la I**® heure temporaire de la nuit du ii décembre. D’après ce que nous avons reconnu § 22, p. 112, cette supposition donnera :

de là on tirera :

log T = 0,7607664 log m" = 2,i833837

log m \= 2,9341491 ; d’où 869'',3 i = o®.i 4 '* i9",3i

11 en résultera donc :

Avec cette valeur de l’argument E, le second membre de l’équation (2)" se réduit en nombres comme il suit :

log tang E = 1,2604600

log c z= 1,9674472

log num 1,2278972 log dén 0,268 io 38

log tang E = 1,2604620 log c' = 2,6709948

dénominateur 1,8639744

log tang P = 0,9697934 ; P 83°. 44'. 23’'

tiKCHEKCHES DE CHRONOLOGIE ÉGYPTIENNE. Il 5

onseqiieinmeiit

Cette valeur résultante de P, et par suite deT, est seulement de 3™ moindre que celle que nous avons employée pour calculer le second membre de l’équation (2) Il convient donc de la faire servir au même titre dans un deuxième essai. Nous prendrons donc alors :

log T 0,7468395

log ir{' 1= 2,1 833837

log ~ 2,9302232* d’où = 85i''>6 z=: 0°. 14'. 1 1",6 De là il résultera

Avec cette nouvelle valeur de l’argument E, le second membre de l’équation (2)'' se calcule comme il suit :

log tang E log c'

log num îog dén

log tang P conséquemment

Ïî 9^7447^

log tang E 1,2607463 log c' == 2,6709948

dénomin := 1,8645572

Cette valeur de t, tirée du i®*" membre de l’équation (2)'^ ne diffère plus que de O®, 5 de celle que nous avions employée pour calculer le second. Par conséquent un troisième essai ne la changerait plus sensiblement, et l’on peut la regarder comme bonne.

§ 26. P est l angle horaire du soleil, compté du méridien inférieur vers l occident, au moment du lever de Sirius, dans la soirée du ii décembre julien 5 et nous trouvons ici, pour sa valeur en temps :

Pz=5C34°^.58»,o

Or, cette même nuit, d’après le§ 22, p. 112, on avait à Thèbes 5 „H = 5 ^. 38 “. o ce qui donne

5 „H — ^>z=zo^. 3 ®. 12* l5.

Il6 RECHERCHES DE CHRONOLOGIE EGYPTIENNE.

Ainsi, ce soir-Ià, Sirius se levait 3™ 12* apres la fin de la i*"® heure leiiiporaire de la nuit, c’est-à-dire vers le commencement de la nuit close, comme cela est spécifié dans la colonne du i5 — 16 méchir, où il paraît pour la dernière fois dans le tableau égyptien.

D’après le § 24 y l’arc de l’écliptique compris alors entre l’horizon occidental et le soleil a pour expression générale :

En remplaçant par sa valeur définitive , elle deviendra :

De là on tire log sin e' z=. 1,4684637

On a déjà, §6 log sin I z= 1,9387281

Il en résulte donc. .. . log sin H' = 1,4071918; i 4 °- 4 ?'* 4 ?''

Tel était donc, à cet instant, l’abaissement vertical H' du soleil, sous l’horizon occidental de Thèbes, Depuis le coucher de cet astre, il s’était écoulé 3'" 12* de plus qu’une heure temporaire de nuit „H; c’est-à-dire i‘‘.io'". 48*, en remplaçant „H par sa valeur trouvée § 22.

D’après la concordance établie § 20, p. 1 10, le lever que nous venons de calculer s’est opéré dans la nuit du 16 au ly méchir civil. La distribution du tableau égyptien par quinzaines complètes le faisait donc appartenir à la colonne qui porte la date du i5 — 16 méchir, puisqu’elle s’applique aux quinze nuits consécutives qui partent de cette date; et ainsi le constructeur a eu raison de placer Sirius à la i'® ligne de cette colonne-là, comme il l’a fait. Il a eu raison encore de ne plus le faire reparaître dans les colonnes suivantes , parce que ces derniers levers , perceptibles dans le crépuscule du soir, étaient compris dans cette même quinzaine de nuits. C’est ce qui me reste à prouver.

§ III. Détermination théorique du jour julien auquel le lever de Sirius réfracté a été visible pour la dernière fois à Thèbes dans le crépuscule du soir, en Tannée de la période julienne 3469, ou de notre ère — 1246 date chronologique.

§ 27. Reprenons la fig. 3 , qui représente généralement la disposition relative des principaux cercles de la sphère céleste, à l’instant où Sirius ré-

RECHERCHES DE CHRONOLOGIE ÉGYPTIENNE. I I r

fracté se lève en S'. L’arc de l’écliptique LME'L', qui est alors sous l’horizon, comprend i8o®.

Or, nous avons trouvé, dans le § 8 LM zn 76®. a’. 16'^

nous aurons donc, par supplément, à l’instant de ce lever ME'L' = 57'. 44"

Mais, dans la nuit du 11 décembre, le soleil étant en à l’instant du lever de Sirius, nos tables solaires donnaient § a5 Mlî== 86 ®. 5 i '. 35",7

On avait donc alors depuis le soleil jusqu’à l'horizon occidental ÛEL’= 170. 6'. 8", 3

G est, en effet, ce que nous avons trouvé dans le § 26 pour la valeur de e à l’époque du lever du 1 1 décembre.

Tel serait donc l’arc de longitude que le soleil devrait ultérieurement décrire pour se trouver à l’horizon occidental, au moment où Sirius se lève. Mais celui-ci ne serait pas perceptible alors à la vue simple. Pour qu’il le soit, dans de telles circonstances, il faut que le soleil se trouve abaissé sous l’horizon d’un certain angle vertical H' que les calculs de Ptolémée supposent être d’environ 7®. Admettons pour un moment cette évaluation. Alors 1 arc e' de l’écliptique, qui devra rester compris entre l’horizon occidental et le soleil, au moment du dernier lever perceptible de Sirius, s'obtiendra par la formule

sin 70

sin e = — 7*

sm I

l’angle 1 étant tel que nous l’avons déterminé dans le § 6. Ce calcul effectué donne :

Ceci étant retranché de

ÛE'L' =:

il en résultera

ÛE'L' — e' =

c est l’arc de longitude que le soleil devra décrire, depuis le lever du ii décembre, pour que Sirius soit perceptible à son lever pour la dernière fois, dans les conditions de visibilité adoptées.

Or, à cette époque de l’année, le mouvement diurne du soleil, en longitude, était fort approximativement d’apres nos tables ce qui donne

pour son mouvement horaire

' 2'.33 ', 54 ~ i 53",54 = log /w' =2,1862215

ii8

son mouvement total pendant gjours complets aurait donc été de ce qui lui aurait fait dépasser la longitude à laquelle le dernier lever de Sirius pût être perceptible. Ce dernier lever devait donc être antérieur au minuit qui commence le 21 décembre julien. Or, d’après la concordance établie § 20, ce minuit coïncide avec celui qui appartient au 25 méchir civil; il était donc compris dans les i 5 nuits appartenant à la colonne du tableau qui porte en tête la date du i 5 -i 6 méchir; de sorte que Sirius a dû cesser d’être mentionné dans les colonnes suivantes, comme cela a lieu effectivement.

§ 28. Gomme complément de cette démonstration , déterminons directement les conditions de visibilité dans lesquelles le lever s’est opéré, d’après nos tables, le soir qui a précédé le minuit où commence le 21 décembre julien. Pour cela, revenons un moment au § 21, page iii; nous avons trouvé alors, par nos tables solaires :

ajoutons le mouvement pour 9 jours 9°. 9'. 45"

et pour tout autre instant antérieur d’un nombre d’heures t à ce même minuit, nous aurons généralement :

Admettons que cette longitude ©, doive être celle du soleil à l’instant du lever de Sirius. A cet instant, d’après le § 8, la longitude du méridien inférieur de Thèbes est toujours

TLM = i 62®.48'.29",5

donc, cet arc, retranché du précédent, nous donnera la valeur de l’arc MH de notre figure 3 , au moment du lever considéré de Sirius. Cet arc sera ainsi :

Mil = 96°. 1 5 '. 32 ", 5 — m"r = E.

En outre, comme l’arc total ME'L' qui aboutit à l’horizon occidental au moment du lever de Sirius est toujours io 3 ®. 47'.44 ' ? l’arc de l’écliptique e compris depuis l’horizon jusqu’au soleil, à l’instant du lever que nous considérons, aura pour expression générale l’excès de cette constante sur Mil ; ce qui donnera :

(i)"' 6*' = 70. 42'. ii",7 -f-

RECHERCHES DE CHRONOLOGIE EGYPTIENNE, alors l’équation qu’il faudra résoudre pour déterminer t sera:

tang i 5 °t =

c tang ( 96 ° . 1 5' . 3a",3 — m\)