RI

selon que l’on suppose la résistance exprimée par une fonction de» deux premières puissances de la vitesse moyenne du liquide, ou simplement proportionnelle au carré de cette vitesse.

Pour déterminer les valeurs des coefficients constants, qu'il convient d’adopter pour que ces formules représentent le mieux possible

RAPI'ORT

les résultats de l’expérience, l’auteur a employé la méthode des moindres carrés, en s'imposant, non pas la condition que la somme des carrés des erreurs fût la plus petite possible, mais celle que la somme des carrés des erreurs proportionnelles entre les vitesses calculées et les vitesses observées fût un minimum. On conçoit, en effet, que pour représenter les résultats de recherches où les vitesses ont varié depuis quelques centimètres jusqu'à plusieurs mètres en une seconde, îles erreurs absolues égales ont une influence beaucoup pim grande pour les petites vitesses que pour les grandes. Toutefois l'auteur a cru des oir calculer aussi les mêmes coefficients par la condition de réduire la somme des carrés des erreurs absolues à un minimum.

lat méthode des moindres carrés suivie par l'auteur pour discuter les résultats de ses expériences, ne nous parait pas être la plus sûre qu’il convienne d'appliquer dans le cas actuel, malgré l’autorité de M. de Prony, qui avait annoncé l’intention de l'appliquer à la suite des recherches qu’il se proposait de faire sur ce sujet ; car, outre l'inconvénient d’exiger des calculs tres-laborieux, elle a celui d'introduire dans tes résultats l’influence des anomalies que présentent parfois des expériences t|c ce genre, et que dans d’autres recherches il est à peu près impossible d’éviter.

La représentation graphique des données mêmes de l’expérience a l’avantage d’être plus expéditive et de mettre en évidence les résultats qui, par des circonstances accidentelles, s'éloignent de la loi commune. L’auteur l’a employée concurremment avec celle des moindres carrés, et la continuité des tracés qu’il a obtenus montre avec quel soin il a opéré.

L’emploi successif des deux méthodes nous paraît la meilleure marche à suivre.

Après avoir ainsi déterminé les valeurs des coefficients constants à introduire dans les formules de la résistance pour représenter les résultats des expériences faites sur chaque espèce et sur chaque diamètre de tuyaux, M. Darcy a calculé, à l’aide de ses formules, les vi-

A (.'académie des sciences.

tesses correspondant aux différentes pentes employées, et les a comparées avec les vitesses observées directement ; puis il a déterminé les rapports des différences entre les vitesses observées et les vitesses calculées aux vitesses données par l’expérience.

!>es résultats de cette comparaison donnent la mesure du degré de confiance que l’on peut avoir dans les formules.

Cette discussion montre que pour chaque tuyau et chaque diamètre, dés que les vitesses ont atteint quelques décimètres, la formule de la résistance, qui ne contient qu’un terme proportionnel au carré de la vitesse moyenne, reproduit les résultats de l’expérience avec une exactitude qui est sensiblement la même que celle que l’on obtient avec la formule à deux termes ; et l’auteur fait remarquer que cette coïncidence se manifeste surtout pour les tuyaux recouverts d’une couche de dépôts, ce qui est l’état normal des conduites.

En comparant ensuite, pour des tuyaux de même diamètre ou de diamètres peu différents, les valeurs obtenues pour le coefficient numérique qui détermine la valeur absolue de la résistance, M. Darcy moulrc que l’état dessurfaces, leur poli plus ou moins grand, exercent une influence très-notable sur l'intensité de la résistance. C’est ainsi que, pour des tuyaux de o“,ig6, om, 188 et o",a43 de diamètre respectivement, en tôle recouverte de bitume, en fonte neuve et en fonte recouverte de dépôts, le coefficient de la formule

RI = ô,eJ

varie a peu près dans les rapports de i à i ,5 et à 3.

Ce résultat, très-important pour le service des eaux, montre que, pour assurer la production régulière et normale des conduites, il faut les supposer parvenues, par la prolongation du service, à l’état de surfaces recouvertes de dépôts, quelle que soit d’ailleurs la matière plus ou moius polie qui les forme. Dans les premiers temps de la mise en service, le produit sera plus considérable que celui qu’indiqueraient les formules, mais il s’en rapprochera de plus en plus, et le produit normal sera celui que l’on avait voulu obtenir.

RAPPORT

M, Darcy examine ensuite quelle peut être l’influence du diamètre des conduites sur l'intensité de la résistance, et, après avoir constaté que le coefficient numérique de cette résistance diminue à mesure que le diamètre augmente, il cherche une formule propre à en représenter la' loi en fonction du diamètre, d’uue manière risse* simple pour la facilité des calculs.

T u employant la formule

ou la résistance est simplement proportionnelle au carré de la vitesse, il montre que les valeurs du coefficient numérique b, de cette formule peuvent être représentées par l’expression très-simple

c'est-à-dire qu’il se compose d’un terme constant, et d’un terme qui varie en raison inverse du rayon du tuyau.

Eu comparant celle expression avec les valeurs de b,, déduites des résultats de finit expériences faites sur des tuyaux en fer étiré et en fonte, sensiblement au même degré de poli, et dont les diamètres ont varié depuis o^oiaa jusqu’à o“*,5o, M. Darcy trouve que la valeur du coefficient b, peut être représentée par la formule

et, en mettant eu regard les résultats de cette formule avec ceux que l’expérience avait fournis directement, il constate entre eux un accord très-satisfaisant pour la pratique, ce qui lui permet de calculer une Table des valeurs du coefficient b, de la formule

RI = bt e1

pour tous les diamètres depuis o“,oi croissant de centimètre en centimètre jusqu’à o“,5o, et de 5 en 5 centimètres jusqu'à 1 mètre.

A L' ACADÉMIE DES SÇIFÜCES.

Comme cette formule donne, pour la pente capable de faire obtenir une vitesse donnée v, avec un tuyau de rayon donné R, la relation

et, pour la vitesse correspondante à une pente et à un diamètre donnés, la relation

l’auteur a aussi calculé les valeurs des quantités ^ et pour

tous les diamètres des tuyaux précédents, ce qui fournit les éléments de la solution des principaux problèmes qui peuvent se présenter.

Au surplus, l’auteur fait remarque!- que cette variation du coefficient de la résistance, dont il est convenable de tenir compte pour les petits tuyaux, est beaucoup moins sensible à partir des diamètres de o™, la à o“,i5 et au delà, et qn’il y a peu d’inconvénient à le considérer comme constant pour les tuyaux de ces dimensions, que l’on emploie le plus souvent dans les distributions importantes.

Pour faciliter les applications, M. Darcy a, de plus, calculé des Tables basées sur la formule RI = b, v1, qui donnent, pour tous les diamètres précédemment indiqués, et pour des vitesses variant de centimètre en centimètre jusqu’à 5o, de a en a centimètres entre 5o centimètres et a mètres, et de 5 en 5 centimètres entre a et 3 mètres de vitesse :

i°. I>es pertes par ioo mètres, ou les pertes de charges CQnsommées par les frottements ; <

a°. Les volumes d’eau débités en une seconde.

L’auteur recherche de même la loi de la variation des coefficients de la formule ordinaire à deux termes, adoptée par M. de Prony, en fonction des diamètres : mais cette détermination qu'il fait suivre d’une Table des valeurs des coefficients correspondant aux différents diamètres nous paraît moins importante que la précédente, puisque

IUPPOXT»

celle-ci est relative à une formule plus simple et tout aussi exacte.

Il ne faut pas, en effet, perdre de vue que, dans l'étude des phénomènes dont il s'agit ici, on ne doit pas se flatter d’obtenir des lois mathématiques, mais simplement des règles empiriques qui représentent avec une exactitude suffisante et entre des limites données les résultats de l'expérience; et dés lors les plus simples sont les meilleures si l’exactitude est à peu près la même.

Dans cette discussion, l’auteur a reconnu que, pour les faibles vitesses dans les tuyaux à parois assez lisses, l’influence du terme proportionnel au carré de la vitesse disparaissait à peu près vis-à-vis de celle du terme proportionnel à la première puissance, de sorte que l'expression de la résistance devenait simplement RI = a, v, ce qui indiquait que les pertes de charge produites par le frottement, aux petites vitesses, étaient alors proportionnelles à ces vitesses.

Dans le chapitre V de son Mémoire, M. Darcy se propose de rechercher la loi de la variation de la vitesse des filets fluides dans les tuyaux de conduite, depuis l'axe, où elle est un maximum, jusqu’à la paroi, où elle est un minimum.

Pour cette étude délicate, plus intéressante au point de vue physique qu'à celui des applications, l’auteur a employé des moyens ingénieux et assez précis. A l’aide d’un petit tube de Pitot très-délié, dont il pouvait placer la branche parallèle à l’axe à différentes distances de cet axe, et d’un manomètre donnant la pression exercée sur la paroi, il a déterminé l’excès de la pression observée au tube de Pitot sur celle du manomètre, et, par un procédé spécial de tare, la vitesse du filet fluide qui agissait sur ce tube, ou tout au moins une quantité en rapporfavec cette vitesse.

Cela fait, en comparant pour diverses (ventes l’excès des vitesses trouvées dans l’axe, sur les vitesses observées à diverses distances de l’axe, avec les racines carrées des pontes, il a reconnu :

i°. Que le rapport de ces excès de vitesses aux pentes était constant;

a°. Que le rapport de ces mêmes excès de vitesses à la puis-

a l’académie des sciences.

sance { des distances des filet* à l'axe était aussi constant pour une même pente;

3°. Que le rapport K des mêmes excès de vitesse au produit /■’ v'i» constant pour un même tuyau, varie d’un tuyau à l’autre en raison

inverse du rayon du tuyau, de sorte que le produit ^ est constant.

Ce qui. l’a conduit à conclure que la relation entre la vitesse V des filets situés dans l'axe même des tuyaux, avec les vitesses v des filets situés à une distance r de l’axe, était représentée par la formule

R étant le rayon du tuyau ; formule qui donne, pour la vitesse tv de la paroi où r= R,