VITESSES RELATIVES DES FILETS ELUDES

Lorsqu'un tuyau cylindrique livre passage à une masse fluide coulant avec une vitesse moyenne quelconque, cet écoulement s'opère, ainsi qtie nous l’avons déjà vu (cbap. I), comme si cette masse fluide était composée d’une infinité de couches ou enveloppes concentriques se mouvant avec des vitesses d’autant plus grandes qu’elles sont plus éloignées de la paroi.

DANS LF.S TUYAUX. 125

La vitesse maximum se trouve dans l'axe du tuyau, la vitesse minimum à la paroi ; la vitesse moyenne , placée à une distance plus rapprochée de la paroi que de Taxe, est d'ailleurs liée par une relation assez simple avec les vitesses maximum et minimum.

Quelle peut être la loi existant entre les vitesses de ces diverses enveloppes concentriques? A quelle distance de Taxe la vitesse moyenne est-elle située? Quelle est la valeur de cette dernière en fonction des vitesses au centre et à la paroi ?

Telles sont les trois questions que je vais chercher à résoudre.

L’expérience seule pouvait faire connaître la vitesse avec laquelle cheminaient les diverses enveloppes concentriques.

Pour arriver à ce résultat j’ai eu recours à l’appareil suivant : j’ai introduit dans le tuyau soumis à l’expérience un tube trèsdélié, creux, verticalement placé et passant par le centre; sur la portion de ce tube intérieure au tuyau était fixé perpendiculairement un petit ajutage , dont l’orifice présentait un diamètre d’environ 1 millimètre. -,

Cette espèce de tube de Pitot avait , au moyen de parties flexibles, la possibilité de s'élever et de s’abaisser de telle sorte que le petit ajutage put correspondre à tous les points du diamètre intérieur du tuyau. De plus, il se terminait par un tube en verre; enfin, un tube manométrique s’élevait à côté du tube de Pitot et dans le même plan normal au tuyau.

Le tube manométrique indiquait la pression à laquelle l'eau était soumise dans le tuyau; le tube de Pitot, la hauteur totale due à cette pressjon et à la vitesse de la couche à laquelle correspondait l’ajutage.

Ainsi, la différence exprimait la hauteur due à la vitesse : cette dernière pouvait donc être facilement calculée ; je dirai plus tard les petites corrections qu'il était nécessaire d'effectuer.

Or, supposons que par ce procédé j’aie obtenu pour un tuyau :

i° Les vitesses du filet central correspondant à diverses pentes, ou

Dl' MOUVEMENT UK L’KAIJ

a* Les vitesses de la couche correspondant au tiers du rayon,

ou .

,'i" Celles de la couche correspondant aux deux tiers du mémo rayon, ou

* tf H N

Supposons, en outre, que l'on prenne les dilTércnces existant entre les vitesses du filet central, et celles trouvées au tiers et anx . deux tiers du rayon, l.es premières seront :

Les secondes,

Supposons enfin que les pentes par mètre correspondantes aient pour valeurs,

L’expérience, comme nous le verrons, apprend que les rapports :

sont constants; et qu'il en est de même des rapports

que . par conséquent , la vitesse d’une enveloppe concentrique placée k une distance constante du rentre est liée à la pente du tuyau par la relation

V — » = R’ \fi,

V étant la vitesse au centre, » la vitesse de cette couche.

Si maintenant nous recherchons quel est, pour une pente donnée, le rapport existant entre les différences

et les rayons r', r, etc. v' étant placé à la distance r, v" à la distance r de l’axe du tuyau, l’expérience nous montrera également que les expressions :

rfï

sont constantes, nous aurons donc

d’où nous déduirons en général, pour la relation existant dans un même tuyau, entre les différences V — v, la pente et la distance du centre r de la couche que l’on considère:

En passant d’un tuyau à l’autre, j’ai remarqué que K, variait , et que pour le rendre constant, il fallait le multiplier par le rayon du tuyau soumis à l’épreuve.

On a donc enfin pour la formule définitive -cherchée : • ■ •

K r* \Ti

dans laquelle.

/ V exprime la vitesse au centre;

] v, la vitesse d’un filet fluide quelconque; jr, la distance de ce filet fluide au centre;

( i, la pente.

J’aurais dû dire plus tôt que la symétrie la plus complète a

toujours été observée dans les vitesses des filets situés à pareille distance du centre.

Il est peut-être opportun de faire remarquer que cette équation toute expérimentale.

peut facilement s’interpréter.

Sa différenciation nous donne

<ft>

dr

élevée au carré, elle devient

2 K’ ri;

Enfin, on obtient, en la multipliant par a nr,

iitr |ft = 2 K* Tir' i ou

rb awr(R £)’ = w''‘'

Sous cette forme on reconnaît facilement que l’équation cidessus n’est autre que l’équation d’équilibre du tuyau cylindrique liquide, dont le rayon est r.

En effet, ce tuyau est sollicité par la pesanteur, proportionnellement à irr*i, et H résiste à cette action avec une force retardatrice proportionnelle & son contour a nr, et au carré de sa vitesse relative multiplié par le carré du rayon de tuyau.

On voit donc :

i° Que la résistance due aux actions intérieures est proportionnelle au carré de l'inclinaison de la tangente de la courbe des vitesses;

a0 Que dans les tuyaux de divers diamètres, et pour des points de la courbe pris k égales distances du centre, il y a constamment

DANS LES TUYAUX, égalité entre les produits des rayons par les inclinaisons des tangentes de la courbe aux points que l’on considère. .

Si maintenant nouscomparons l'équation différentielle ci-dessus, à celle obtenue dans le chapitre I:

™rf(-Tr) ==Wr‘'

dans laquelle la fonction f était inconnue, et qui d'ailleurs laissait ignorée l’influence du rayon du tuyau sur la courbe des vitesses, il en résultera que:

a pour valeur déduite de l’expérience:

Cette conclusion est en désaccord avec l’opinion émise par plusieurs liydrauliciens éminents qui, se laissant guider seulement par des considérations théoriques, ont posé l'équation

dr ri

dr î

qui revient à

awrs X — — = wr1!

dr

au lieu de la précédente,

aire f R = ti r*i

je représente par e la constante

I . 'opinion de ces savants était pour moi d'un grand poids, et je ne me suis hasardé à m’en écarter qu’en présence des résultats concordants et multipliés que m’ont fournis des expériences faites avec tout le soin possible.

Du reste, j’aurai encore occasion de chercher à justifier mon équation lorsque j’aurai donné le détail des expériences qui m’ont servi à la déterminer.

Quant à l'interprétation de la constante on s, je ferai remarquer que, dans un tuyau de rayon égal à l'unilé, et pour le poinl de la courbe où ~ — i (c’est-à-dire correspondant au cylindre

liquide qui, dans l'unité de temps, a parcouru une distance relative dv égale à l'épaisseur infiniment petite des anneaux cylindriques, d' épaisseur égale , dans lesquels le cylindre liquide total a été décomposé), je ferai remarquer, dis-je, que l’équation ci-dessus se réduit dans cette hypothèse à

nt r 6 = it r1 i

d'où l'on voit que e représente précisément la résistance due aux actions intérieures , par mètre carré , pour le déplacement d v = d r, dans un tuyau dont le rayon est égal à l'unité.

Si l'on fait R — = 1 , on tombe sur le même résultat pour la valeur de e, bien que le déplacement ait alors pour expression

Ce serait à la physique à donner une explication de ce résultat curieux qui tendrait à prouver que, dans deux tuyaux de rayons différents, les vitesses relatives de deux anneaux pris à la même distance r sont en raison inverse des rayons de ces tuyaux; c’est-à-dire que ces vitesses relatives dépendraient des dimensions absolues de la section, ou de la distance des anneaux aux parois.

I.’hypothèse du mouvement graduel et régulier des filets contigus ne pouvait faire pressentir ce résultat; alors l’expression ~

scmblait devoir être indépendante du rayon du tuyau. Mais cette hypothèse est-elle plus conforme aux lois naturelles que celle du parallélisme des tranches? Rend-elle compte de tous les mouvements observés dans les courants, mouvements qui paraissent dépendre de la section absolue , et doivent influer sur la grandeur des actions intérieures? Explique-t-elle la variation périodique des vitesses des filets fluides telle que nous l’avons observée, M. Baumgarten et moi, au moyen du tube jaugeur décrit dans les

Fontaines publiques de Dijon'? Laisse-t-elle entrevoir la cause des variations de hauteur des jets d’eauI 2 et des oscillations manométriques, oscillations Sautant plus fortes que les diamètres des conduites sont plus considérables ?

A-t-on égard d'ailleurs dans cette hypothèse aux mouvements giratoires et oscillatoires que doivent prendre les élémentsdes filets prétendus linéaires-, mouvements qu’il est bien difficile de révoquer en doute en présence de l’extrême mobilité des molécules fluides, de la différence de vitesse des filets contigus et de la cohésion qui les unit? Si j’ajoute à ces difficultés que cette même hypothèse, dans laquelle on laisse la section du tuyau sans influence sur les actions intérieures, conduit, comme on le verra pour les vitesses maximum et moyenne, à des expressions désavouées par l’expérience, il faudra bien conclure, malgré l’autorité des noms qui s’attachent à cette hypothèse , quelle est en désaccord avec les faits, et qu’elle devrait être modifiée*.

Sans doute, je ne saurais maintenant donner la raison philosophique de l’expression révélée par mes expériences, mais il me suffisait, je crois, d'établir ici que l'hypothèse précitée était

I Les phénomènes hydrauliques qui paraissent devoir être assujettis complètement à la loi de condntulé sont soumis à des variations qu'il est bien difficile de s’expliquer.

M l'ingénieur Bazin, dans des expériences relatives an débit des vannes d'écluse a remarqué le fait suivant :

II vidait lentement un bassin de deux hectares de superficie (le port de Tonnerre) : l'abaissement aurait dû s'opérer, dans les idées reçues, par degrés insensibles. Il a observé au contraire que l'abaissement à l'extrémité amont (opposée à U vanne qui était levée) s'opérait par saccades, d'une manière discontinue, par soubresauts de 3 à 4 millimètres , de manière à faire varier tout à coup de i à a centmillièmes la pente du bassin, qui était presque nulle.

L’écoulement du sable très-fin et très-sec présente un phénomène analogue; j'ai cru le remarquer du moins.

M. Bazin doit renouveler ces expériences de manière à en tirer, s’il est possible, quelque conclusion sur la cohésion de l’eau.

* Voir l’ouvrage sur les fontaines de Dijon , où j’ai donné les rapports existant entre le» hauteurs minimum, moyenne et maximum du jet de la porte Saint-Pierre.

1 J'entrerai à la fin de ce chapitre dans des détails plus explicites à ce sujet.

DU MOUVEMENT 1)E LEAU ébranlée par trop de faits bien constatés pour qu'elle pût être victorieusement opposée aux résultats que j'ai déduits d'expériences aussi exactes que possible.

La constante e sera donc, dans un tuyau de rayon égal à l’unité, la résistance due aux actions intérieures, par mètre carré, pour un déplacement relatif du cylindre liquide, égal à l'épaisseur infiniment petite, dr, de la couche enveloppe. Cette valeur de e est égale à i k,^4 , comme nous le verrons plus tard.

Reprenons l’équation ,

Pour obtenir la vitesse à la paroi, il suffira de faire r = H et l’on aura, en appelant u> cette vitesse:

V — te = K y/R y/ i

d'où

d'où,

Pour obtenir la vitesse moyenne, il suffira de poser

irR-ti^J |v — ^(V —

3 nrdr

d’où.

u ~ V (V — ui)

c’est-à-dire que la vitesse moyenne est égale à trois fois la vitesse au centre , plus quatre fois la vitesse à la paroi , le tout divisé par y.

Quant à ia distance à laquelle cette vitesse est placée par rapport au centre du tuyau, il suffira, pour la trouver, de remplacer dans l’équation

V — v par

et l'on aura

d’où , pour la valeur du rayon correspondant & la vitesse moyenne . r = R = 0,689 H.

Je me bornerai, quant à présent, à poser les relations suivantes, résultant de la combinaison des équations qui précèdent :

V — ui = K y'RÎ,

V — o = ^ K y/ÏÏi,

11 — w = - K y/RÏ.

li ejustc un moyen géométrique très-simple de construire la courbe des vitesses.

Nous avons en effet:

i° L’équation différentielle

dr 7 * R

a* L’équation de la courbe

Divisant l’une par l’autre , on a

dv

dr 3 1

134 Üti MOI VEMENT DE L'EAL'

d'où, pour l'expression générale de l'inclinaison des tangentes à la

courbe , <

dt 3 V — r

On aura d’ailleurs, pour la valeur de l'inclinaison de la tangente de la courbe à la paroi :

di- 3 V — te

dr a H *

et pour celle de la tangente correspondant à la vitesse moyenne, dt 3 V— *

dr a 0,689 R*

Supposons maintenant que le tuyau, dans la section que l’on considère, soit partagé en une série de tranches rapprochées, équidistantes et parallèles à l’axe (pl. XI) m, m, m ”, etc.

Supposons de plus que V — u> = ab, si l’on porte - abunaa' et qu’on joigne a'c, on aura la tangente au point où la courbe rencontre la paroi.

Abaissons maintenant une perpendiculaire c'b', portons enaa* - a b' et joignons a c, etc. la courbe tangente à toutes ces obliques

sera précisément la courbe cherchée.

On obtient, au reste, une approximation suffisante du tracé de la courbe en traçant ses tangentes :

i” Au point où elle rencontre la paroi;

2“ A son intersection avec le filet de la vitesse moyenne;

3° A son intersection avec le filet central : en ce dernier point la tangente est une perpendiculaire à l’axe du tuyau.

Je passe maintenant à la description des expériences.