VALEURS MOYENNES
do K,.
VALEURS il* R, x R oh K.
OBSERVATIONS
met.
Mmiai «iiluu ~ 11,710
On voit de plus par la 3' colonne que les valeurs de K„ multipliées par le rayon de chaque tuyau correspondant, donnent des chiffres sensiblement constants.
On peut donc poser l’équation
déjà discutée au commencement de ce chapitre.
Mais j’ai cru devoir, conformément à la manière dont j’ai déjà opéré dans les expériences précédentes , déterminer la valeur de la constante K par la méthode des moindres carrés.
Soit l’expression
dans laquelle i est égal à la différence des vitesses correspondant aux rayons r, y représente les pentes, et R le rayon du tuyau.
Les données correspondantes de la question seront désignées ainsi qu’il suit :
Différence» de vitesse de» lilet». Distances de ces lilets au centre du tuyau. Pentes.
On aura pour le rapport de l’erreur à l’ordonnée
i — K — \fy R V/
d'où pour la condition à remplir
d 2 (' - s rl t)’ = °-
d’où
2 (,*,!&) L r ÎÎ2 = 0.
laquelle, décomposée dans ses éléments déduits des données de l'eupériençe, donne:
d'où d'où, enfin.
vV(
fil , ^ L-'
Dans les substitutions on mettra à la place des z , z‘, z", etc. les moyennes entre les valeurs trouvées au-dessus et au-dessous du centre.
Jo.
DANS LES TUYAUX. t57
'Nous pouvons maintenant comparer lès différences existai* entre les éléments déduits de l'expérience et de la courbe calculée.
Cette comparaison s'effectuera au moyen des colonnes (4} et (5) du tableau suivant : on remarquera combien sont légères les différences obtenues.
Les colonnes (8), (g) et (ro) donnent les vitesses pour les filets central, moyen et à la paroi.
Di: MOUVEMENT DE L'EAU
L'antépénultième tableau peut donner lieu à plusieurs observa* tions :
i° On voit d’abord que les valeurs successives de K sont,
Tuyau de o", 1 88 1 1 , a 5 3
o ,î43a (parois recouvertes de dépôts). ... 1 i,654
o ,a447 (précédent nettoyé) 10,869
ai
Or, le coefficient de la résistance du tuyau de o",a43'.i est.
dans l’équation de la forme Ri = b,v\ de 0,001,168,
celui du tuyau nettoyé o“,a/|47, de 0,000,703,
de là découle la conséquence que la surface du tuyau parait être sans influence sur les vitesses relatives des fdets fluides.
Ce résultat aurait pu être confirmé par d’autres expériences non moins décisives.
Je veux parler de celles opérées sur la conduite en tôle et bitume de o“, 196 de diamètre.
L’appareil destiné à mesurer les vitesses relatives des filets fluides lui avait été appliqué. Une absence pour mon service et la nécessité où l'on fut de démonter cette conduite pendant celte absence ne me permirent point d'assister aux opérations ou de les recommencer, ainsi que je 111’y étais constamment assujetti.
Lorsque le tableau des expériences me fut remis, je remarquai que les vitesses au-dessus et au-dessous de l'axe n'étaient plus les mêmes.
Je remarquai en même temps que pour chaque pente le manomètre destiné à mesurer les pressions n'était point resté fixe; il montait lorsque la tige de l’appareil s’élevait pour la détermination des vitesses de la partie supérieure du tuyau; en même temps les cotes accusées par ce dernier appareil décroissaient relativement à celles obtenues dans les parties inférieures.
11 y avait donc un désordre causé par des corps étrangers que les eaux avaient conduits et dont l’influence variait avec la position de l'instrument.
J'avais quelquefois remarqué des ell'ets analogues, et en faisant démonter l'appareil j’en avais toujours reconnu la cause : quelques parcelles de mousse engagées dans les orifices des tubes, et plus ou moins comprimées dans les mouvements de la tige, donnaient lieu à des ralentissements plus ou moins considérables de vitesse.
Malheureusement, on n'a point songé à nettoyer l’appareil pour
recommencer les expériences, et j’ai dû renoncer à transcrire des opérations qui ne me présentaient aucun degré de certitude.
Je dirai cependant que l’on reconnaissait encore la trace évidente des lois précédemment observées, et que les différences de vitesse n’avaient en général subi aucune diminution en les comparant à celles déduites des formules.
Je crois donc que l’on peut admettre comme vraie l’observation première qui se déduit d’ailleurs de la comparaison des résultats obtenus dans les tuyaux de om,a432 et om, 2447-
Or, lorsque l’on remarque que le coefficient de la résistance pour le tuyau de tôle et bitume est 0,000, 446. 5, on en conclura qu’au moins entre des limites de résistance comprises entre 0,00 1 , 1 68 (parois recouvertes de dépôts) et 0,000, 446, 5 ( parois enduites de bitume vitrifié) la courbe
ne semble dépendre que des actions intérieures du (luide et nullement des frottements contre les parois.
2° On se rappelle que j’ai cherché à établir dans les expériences 26 bis, 26 ter, 26 qualer qu’une impulsion centrale excessivement vive n’altérait point d’une manière appréciable la loi de distribution des vitesses des filets fluides.
D'abord elle ne modifie pas la vitesse à la paroi, puisque les différences des colonnes manométriques qui les mesurent ne varient point sous l’influence de cette impulsion.
En second lieu, la vitesse moyenne conservant la valeur que les formules lui assignent sans impulsion, la différence entre la vitesse moyenne et celle à la paroi reste la même, d’ou résulte la conséquence précitée.
J’ai voiüu savoir si une expérience directe conduirait encore à ce résultat.
J’ai donc placé k 1 1 mètres en amont de fappareil destiné à
DU MOUVEMENT DE L’EAU mesurer les vitesses dans le tuyau en fonte de o“, 1 88 un diaphragme percé d’un orifice de o“,o3.
La charge sur cel orifice (expérience 1 65 bis) était ao^^oG, d’où, pour la vitesse par seconde,
v = 4,4a y/ao,ao6 = 19”, 87'.
Or, la vitesse moyenne dans le tuyau était r>‘",346
et l’on avait pour la pente con-espondantc tirée de la formule expérimentale applicable au tuyau do o”, l 88
Mais nous avons, pour la formule des différences de vitesse dans le tuyau de o", 1 88,
V — » = 1 t,aô3
l’expérience suivante ayant été faite aux distances o",o3a5 et o",o637 de Taxe, il convient de substituer à rT les nombres o,oo586 et 0,0 1 608, on aura donc pour les valeurs cherchées:
V — v = om,oa,
V — v = o .oSg.
Or, l’expérience a donné les résultats suivants:
Iau centre o",o4o
à o",o3a5 de l’axe o ,039
à o ,0637 de l’axe o ,087
manomètre o ,o3
1 Le diamètre de l'orifice étant o”,o3 et la section 0,000,708,4g, le volume théorique serait i4l,0"8. Le volume effectif débité par la conduite étant de g1, 60g, 9,609
le coefficient de contraction
différences donnant les hauteurs dues
différences de vitesse
t au centre
! à o^oSaô
o^.û/ia. 1 7
correspondantes <
0 ,4ao.oo
i distance du centre o“,o3a5.
o",oaa.i7
Mais ces différences devant être atténuées dans le rapport de la vitesse moyenne à la vitesse om,3’j prise sensiblement à la distance de la vitesse moyenne, il viendra en dernier lieu pour les différences de vitesse cherchées :
Suivant l’expérience. Suivant la formule. Om ,02 I Om,02
Celte coïncidence, presque parfaite entre la formule et l’expérience, lorsqu’il s’agit d’une vitesse moyenne aussi faible et d’une impulsion aussi vive, me semble justifier entièrement cette assertion, que l’effet de la cohésion de l’eau détruit presque immédiatement l’influence des plus grandes vitesses.
En serait-il de même si l’on opérait par voie de succion, c’està-dire si ,’en aval de l’instrument, on eût dispose les choses de manière que le filet central eût été suivi de filets marchant beaucoup plus rapidement que ceux du reste de la section?
L’expérience parait indiquer le contraire.
En effet, si l’on jette les yeux sur le coefficient de la formule
relative au tuyau de o,ôo, on remarquera que ce coefficient est supérieur à ceux des tuyaux qui précèdent.
166 l»ü MOUVEMENT UE E'EAÜ
J’ai longtemps cherché à m’expliquer cette différence, et je crois en avoir trouvé la raison dans la manière dont les appareils d’écoulement étaient disposés.
La conduite de om,5o n’arrivait pas avec le même diamètre jusqu'au cylindre de décharge.
Afin de pouvoir employer un robinet de o™,3o, on avait raccordé la conduite de o“,5o et une conduite de au moyen
d'un cône tronqué dont les diamètres étaient de om,3o et de o",5o.
Ce cône était placé h 4“,33 en aval du manomètre n° « , à 3®, 3 4 en aval de l'appareil destiné à mesurer les vitesses
Or si au moyen de la formule
v — " = K ïV1
nous calculons : i° pour le tuyau de o",5o, 2° pour celui de o”, 2 97 les V — v relatifs à la vitesse à la paroi et à la vitesse moyenne, en introduisant pour K la valeur moyenne résultant de l’ensemble des tuyaux, moins celui de o,5o ou î i , i 16. en remarquant de plus
Dans le tuyau de o“,5o
Io“,,475a
Dan» le tuyau de o*,aç)7
correspondent les vitesses de 2 ,253
1 V oici comment le raccordement du cône était disposé :
Du cylindre vertical dans lequel débouchait le tuyau de o",ag7 au robinet
d'arrêt de même diamètre o*,4a
Largeur du robinet d'arrêt à vanne O .60
Longueur du cAnc. , . • • 1 ,00
Distance de l'appareil des vitesses au joint de raccordement du cône avec
le tuyau de o",5o 3 ,34
Total...., 5", 36
et qu'en même temps ces dernières vitesses sont dues d’après ia formule
. o,ooo.o*3.5o8 v -4- 0,000. 585.! î 3 v1
aux pentes
ou pourra former le tableau suivant :
o“,oo7.36ô o ,oao.38o o ,o/)o.aoô
DIFFÉRENCES
DIFFÉRENCES
tint Lia TtTtUtl CKTIU» CT aottlllt.
Tuyau d« o*,H7.
Tuyau A» g",Jo.
Tuyau da 0*1197.
Tuyau da o“,5o.
mat.
usât.
mût.
mût.
d’où l’on déduira le tableau suivant, étant données les vitesses moyennes :
VITESSE
utnui.
ma » tau «cas.
VITESSE
miTcaa».
BirràMicca.
VITESSE
à L« T AMI.
Tuyau d* o*.v97.
Tuyau
Tuyau du o*“,i97.
Tuyau
Tuyau
Tuyau
da o“,5o.
nié.
met.
mût.
mit.
mût.
mal.
mût.
mût.
On voit donc qu'en passant du tuyau de o^o au tuyau de les différences de vitesse sont plus grandes pour les filets centraux que pour les filets moyens, et plus grandes aussi pour ces derniers que pour ceux à la paroi.
Il en résulte qu’une sorte de succion doit se produire, laquelle peut à la fois déterminer des courants transversaux et des accroissements dans les llècbes des courbes du tuyau de o“,5o.
C’est ainsi que l’on peut attribuer l’accroissement du coefficient K dans ce dernier tuyau à la manière dont étaient disposés les appareils des expériences : on a obtenu les mêmes résultats que si l’on eût opéré sur un liquide d'une moindre cohésion.
Il paraîtrait ainsi que c’est de la moyenne des coefficients trouvés pour les quatre premiers tuyaux que devrait résulter la valeur de K.
On aurait ainsi K = i i , 1 1 6
La moyenne générale, au reste, eût donné. . . K = 1 1,537 Il semble dès lors assez indifférent d’employer l’une ou l’autre
de ces valeurs. On pourrait adopter 1 i,3o
Cette valeur de K étant ainsi déterminée expérimentalement, on obtiendra facilement celle de ou du multiplicateur du premier membre de l’équation différentielle suivante, précédemment établie
5i?awr (R
qui devient, en faisant disparaître les facteurs communs et en rc- , s
présentant —, parc,
ou c est égal à — '—z - — 0,001 74gK.1 b g x 11.30' ’ 1
C’est-à-dire que dans un tuyau d’un rayon égal àj’unité, et pour la surface cylindrique correspondant à la distance où l’inclinaison
de la tangente de la courbe — = 1 , la résistance au déplacement relatif qui a lieu, pendant l’unité de temps, entre les couches en contact est égale à 1 k, 74 par mètre carré.
Dans le cas d'une pente d’un centimètre par mètre pour un tuyau de rayon égal à l'unité, et dans l’hypothèse — i , on a donc :
d’où
c’est-à-dire que dans les circonstances précédentes le rayon à l’extrémité duquel s’exercerait la résistance 1 7 4 serait égal à om,348 : on voit par ce qui précède qu’il suffit d’une vitesse relative infiniment petite pour faire naître, dans les couches fluides en contact, une résistance comparable à celle qui pourrait être engendrée par une vitesse finie du liquide glissant sur une paroi solide. M. Dupuit a donc pu prétendre que de Prony no parait pas avoir exprimé une idée précise lorsqu’il a dit : • cette cohésioYi des molécules fluides entre elles, et celle des mêmes molécules â la matière dont le tuyau est formé ou dans laquelle le canal est creusé, doivent être en général représentées par des valeurs différentes, mais comparables ou de même ordre les unes par rapport aux autres. •
L’adhérence à la paroi, en effet, peut être expérimentée sous une vitesse finie quelconque , tandis que ce qu’on appelle la cohésion ne peut l'être que sous l’influence d’une vitesse relative infiniment petite; car, de quelque manière qu'on fasse l’expérience, ajoute justement M. Dupuit, la cohésion du liquide sera toujours assez forte pour que la vitesse relative des deux surfaces soit sensiblement nulle.
Ces deux forces de l’adhérence et de la cohésion sont, on le voit, d’un ordre différent et sans mesure commune.
Reprenons maintenant pour les discuter avec plus de détails les équations connues ;
V — u- = K y/ÏÏI
V — u = i K yITZ
DU MOUVEMENT DE L'EAU d'où l'on tire, pour les valeurs de la vitesse à la paroi et de la vitesse maximum en fonction de la vitesse moyenne,
i» = u — - K y/Rt,
V = u -+- ^ K y/ÏÏ7.
Si nous supposons que l'équation de la vitesse moyenne ne comprenne que la seconde puissance de cette vitesse, elle prendra.
ainsi qu'on l’a vu, la forme
i Ri ,
