V-U = K ry/i
qui recèle, comme on l’a vu, la loi des résistances intérieures, il me parait légitime de conclure la vérité de cette loi de la circonstance que seule elle conduit aux expressions connues de la vitesse moyenne et de la vitesse maximum d'un courant.
Je m'explique.
On sait que l’expérience nous a démontré que lorsque la vitesse moyenne était supérieure à 10 ou ta centimètres par seconde, son expression algébrique était donnée par l’équation
. R i /lü
6,u‘ = — ou u — V/ — •
Si donc l’équation eR’ = y est vraie, elle doit, dans la
même hypothèse, conduire pour la vitesse moyenne à une expression de même forme.
Or, on se rappelle que nous avons trouvé pour la valeur de la vitesse moyenne :
laquelle est exactement de même forme que la précédente
Si, au lieu de supposer que le frottement à la paroi est seulement proportionnel au carré de la vitesse w, nous avions admis, conformément à la loi plus générale de Coulomb, la proportionnalité au binôme a.w -+- b,w \ l’équation de la vitesse à la paroi serait devenue (comme on l’a vu chap. Ier):
Hî
En la résolvant par rapport & w, on obtient
a, / a*. Ri
"'=~ 7b. -+■ SI 7F.-*- 7b.'
laquelle combinée avec la relation - e - — - — = i donne pour la vitesse maximum :
et comme la vitesse moyenne u est égalé a , il vient enfin
pour son expression :
u 77.-*- \fë. -*- tï: •+■ ; \Jti s/**7-
Si l’on remarque maintenant que l'expression générale consacrée par l’expcrience pour la vitesse moyenne, lorsque l'on considère le frottement comme proportionnel à un binôme de la forme <7„M’ -4- 6, ic’ est
a a -f- bu' = — ,
il viendra pour la valeur de u:
“ = - » ^ Vio-
Ri
expression qui , bien que présentant une grande analogie avec la précédente, n’offre plus cependant une forme identique.
Mais il faut remarquer que cette identité ne pouvait exister, car l’équation de la vitesse moyenne telle qu’elle a été empiriquement établie ne saurait être théoriquement rigoureuse ; elle suppose, en effet, qu’il existe, mémo dans l'hypothèse où l’on représente le frottement par la formule binôme, un rapport constant entre la vitesse à la paroi et la vitesse moyenne
— = m, d’ou te = — ,
et que par conséquent on puisse passer de l'équation de la vitesse à la paroi
a, tu -f- b,w' — —
à celle de la vitesse moyenne, par la substitution de la relation ci-dessus posée, d’où
mais si une semblable hypothèse suffit aux exigences de la pratique, rien ne la justifie, comme le fait observer de Prony, sous le rapport théorique.
Rapprochons maintenant les deux expressions de la vitesse moyenne :
la première donnant l’cxpres3ion théorique et la seconde l’expression empirique approchée de la vitesse moyenne, et voyons dans quelles conditions ces deux expressions doivent converger vers une forme identique, et finir môme par la présenter.
Cela arrivera toutes les fois que le terme sous le radical pourra, sans erreur notable, être négligé en présence du second
Ri . , c i
terme—; or cette circonstance se présentera fréquemment . parce que le coefficient de la première puissance est toujours beaucoup plus petit que celui de la seconde puissance de la vitesse : on sait, par exemple, que dans la formule de Prouy le rapport de ces coefficients est, en ce qui concerne la vitesse moyenne, égal à o.oâ.
Or, dans le cas où la suppression du premier terme sous le radical peut être opérée, les deux équations précédentes se réduisent à celles qui suivent:
9 fc.
(--uf) v'r;.
" n/tÔ
expressions de même forme, et d’où Ton peut déduire, par l’élimination de a, le rapport m existant entre les vitesses moyenne et à la paroi. Sa valeur est
laquelle ue prendrait la forme .suivante, qui donne à m une valeur
constante ,
que dans l’hypothèse où a, = o; c’est-à-dire lorsque l’on admet que les phénomènes de l’écoulement de l’eau dans les tuvaux peuvent être représentés par les formules monômes :
Hi
w et u étant la vitesse à la paroi cl la vitesse moyenne.
On a dans ce cas, comme il a été déjà dit.
“= (,H; Vt)
Je vais montrer maintenant que l'équation d'équilibre
Jr ri
fondée sur l’hypothèse de M. Navier, ne saurait conduire a l'expression de la vitesse moyenne consacrée par l'expérience, et qu’ainsi elle ne supporte pas la vérification a posteriori, à laquelle au contraire répond convenablement l’équation nouvelle
On tire de l'équation
e ir » ’
te
ou en appelant V la vitesse maximum.
et pour la relation entre la vitesse maximum V et celle à la paroi ir,
V — ii
On a d'ailleurs dans cette hypothèse, entre la vitesse moyenne, la vitesse maximum et la vitesse à la paroi, la relation
et par conséquent
St
d'où il suit que, d'après l'hypothèse de M. Navier, la différence entre les vitesses maximum et moyenne serait proportionnelle au produit du carré du rayon moyen par la pente.
Or, l'expérience donne, en supposant le frottement simplement proportionnel au carré de la vitesse.
resultal tout à lait différent de celui auquel l'hypothèse de M. Navier vient de nous conduire.
Si nous voulons maintenant obtenir les valeurs de V et de u dans cette même hypothèse, il sera nécessaire de poser l'équation de la vitesse à la paroi b, w* = — , laquelle, combinée avec l’équation V — u , permettra d’arriver aux valeurs suivantes de u* et V :
d’où enfin
Dl) MOUVEMENT DE L'EAU
au lieu de
“ = — = ÏT-1- \ ,7.
Ces rapprochements suffisent, ce me semble, pour démontrer la nécessité de substituer de nouvelles hypothèses à celles adoptées par M. Navicr; mais, ainsi que je l’ai déjà dit, je ne dois qu’à l'expérience la connaissance de l’équation d’équilibre
et, bien que cette expression soit assez simple, il ne m’a point été donné de pénétrer la raison philosophique de son existence.
Sans doute, il n’est pas difficile d’admettre que la résistance éprouvée par un filet fluide soit proportionnelle à au lieu de l’être à — , ainsi que le suppose M. Navicr, sans preuve à l’appui ; il est possible même que cette résistance soit représentée par un binôme comprenant la première et la seconde puissance «le
On verra tout à l’heure les motifs qui justifient cette assertion. Il est plus difficile, il faut en convenir, de se rendre compte de l’intervention du rayon du tuyau dans l’équation d'équilibre, avec l’hypothèse du mouvement du liquide par filets s’avançant régulièrement et parallèlement entre eux.
Cependant, l’expérience a décidé que la grandeur de la section devait jouer un rôle dans l’équation d'équilibre; il est donc nécessaire d’admettre que le mouvement du fluide absorbe une certaine portion de travail qui n’est plus mesurée par le carré de l’inclinaison des tangentes de la courbe des vitesses.
Entrons dans quelques explications à ce sujet:
L’hypothèse du mouvement de l’eau s’écoulant par filets paral-
I èles et conservant entre eux leur indépendance est une abstraction pure; elle semble entièrement incompatible, d’une part, avec l’extrême mobilité des molécules fluides et, d’autre part, avec la viscosité qui relie ces dernières entre elles : une pareille hypothèse a pour résultat d’assimiler l’avancement relatif des diverses couches animées de la même vitesse, dans un tuyau, au développement graduel des divers tubes concentriques qui composent une lunette. Or, cette assimilation est sans vérité, et la formule algébrique qui reposait sur cette hypothèse unique ne pouvait représenter les faits observés, soit que l’on prît pour expression
de la résistance due à la vitesse relative des couches e y, comme .. -, , . <tp /rfv\* r
M. Navier, ou s 1 — 1 et nicme e, — -4- e I — I .
Ces expressions, en effet, ne concernent que le mouvement de translation des couches en contact ; or ce mouvement ne peut être le seul qui anime les particules fluides du volume d'eau que le tuyau mène.
Et d’abord dans la couche en contact avec les aspérités de la paroi doivent se former des tourbillons qui se communiquent de proche en proche en s’affaiblissant; ensuite chaque fdet a sa vitesse propre et deux fdets contigus présentent toujours une différence dans leurs vitesses; le plus rapide, conséquence de la viscosité, tend à entraîner son voisin, et ce dernier réagit contre celle action. Dans cette lutte, et à raison de la mobilité des particules fluides, il parait impossible de se refuser à admettre la naissance de mouvements giratoires par groupements moléculaires.
Or, les diverses expressions posées ci-dessus comme mesure de la résistance engendrée par l’avancement relatif dos filets ne tiennent aucun compte de ces mouvements giratoires; ces derniers cependant doivent absorber une certaine portion de travail que la formule de M. Navier laisse échapper, et que les expressions de la résistance que je propose de leur substituer laisseraient échapper comme elle, sans le facteur que l’expérience m'a révélé pour les compléter, au moins approximativement.
190 Dl MOUVEMENT DE L'EAU
dr
En effet, ni l'expression — adoptée par M. Navier, comme proportionnelle à la résistance engendrée par les couches glissant les unes sur les autres, ni l’expression ne conduiraient aux
valeurs empiriques de la vitesse moyenne cl de la vitesse maximum; et si l’on remarque, par exemple, que de l’hypothèse de M. Navier résulterait celte conséquence, précédemment indiquée, que la différence entre ces vitesses croîtrait proportionnellement à R'i au lieu de grandir simplement comme y/flil, ainsi qu'il résulte de l’expérience, on est en droit de conclure qu’il y a, flans cette hypothèse, une perte de travail que l’on n’a point prise en considération, ou meme une résistance qui n’a pas été assez évaluée, puisque l’accroissement de la différence V — a, déduit des formules, est plus rapide qu’il ne devrait l’être.
Or, j’inclinerais à penser que le terme — donne lieu à celle résistance trop peu évaluée, ^ devant être remplacé par ; quant
à la perte de travail dont il n’a pas été tenu compte, pourquoi ne résulterait-elle pas des mouvements giratoires des groupements moléculaires; et pourquoi ces mouvements ne dépendraient-ils pas eux-mêmes de la grandeur absolue de la section?
Comment se fait-il maintenant que la formule se complète et permette d’arriver aux expressions empiriques connues, en multipliant le terme t , que je substitue à celui e — résultant de l’hypothèse de M. Navier, par le carré du rayon ou R’? Comment se lait-il qu’en prenant l’expression ~, qui s'applique aux vitesses très-faibles et aux tuyaux de petits rayons , on parvienne également à représenter les phénomènes en multipliant ^ par R ?
Je l'ignore encore, mais ce sont là des faits qu’il faut bien admettre et qui prouvent, irrésistiblement, que la grandeur absolue de la section a une influence positive sur la résistance totale qui
prend naissance dans la marche inégale des diverses couches fluides superposées.
Plusieurs phénomènes hydrauliques ne scmhient-ils pas, d’ailleurs, venir à l'appui de celle supposition?
Ne voit-on pas , en eil'et , les mouvements oscillatoires des colonnes piéiométriques qui mesurent les pressions exercées en un point déterminé des conduites, grandir, non-seulement avec la vitesse du liquide, mais encore avec ie diamètre des tuyaux? Ne voit-on pas le même phénomène se produire en plaçant la branche horizontale du tube de Pitot dans des courants plus ou moins rapides, ou d'une section plus ou moins grande, mais animés de vitesses égales ? Ne remarque-t-on pas dans les canaux découverts les ondulations qui courent à la surface se prononcer davantage avec l’accroissemeut de la section et diminuer avec la vitesse? Sous ce dernier rapport j’ai fait une observation qui n’est pas sans intérêt : je voyais constamment ces ondulations s'affaiblir en même temps que la rugosité de la paroi augmentait, c’cst-è-dire avec la diminution de la vitesse; la rugosité n’était donc pas la cause déterminante des ondulations qui paraissent dépendre principalement de la vitesse moyenne, ou bien encore de la flèche de la courbe des vitesses, flèche dont l’expression est
et qui grandit, par conséquent, proportionnellement à la vitesse moyenne.
D'où peuvent naître ces mouvements ondulatoires et oscillatoires qui n’ont échappé à l’œil d’aucun observateur? Ne pourrait-on pas leur assigner comme cause première ces mouvements giratoires des groupements moléculaires que les différences de vitesse des filets doivent déterminer, et n’y aurait-il pas dans tous ces mouvements divers que l’on rapporterait ainsi à une cause unique, je suis loin de dire une raison précise, mais une raison suffisamment plausible de l'iutcrvenlioi) de la grandeur absolue de la section dans l’équation d’équilibre ?
Je n'ai poinl parlé des mouvements obliques du fluide , mouvements qui sembleraient accusés par les corps en suspension, lesquels se dirigent, en général, vers les points animes d'une vitesse plus grande; l'explication do ce phénomène, en effet, peut résulter, ainsi que plusieurs hydraulicicns l’ont fait observer, des différences de pressions auxquelles ces corps sont assujettis et non d’un mouvement particulier du fluide. Je ne crois pas qu'en général ce phénomène puisse indiquer un afflux réel des particules fluides vers les points du plus grand débit; on ne saurait lui assigner pour cause l’alimentation des blets doués d’une vitesse supérieure. De quelle façon, en effet, dans cette hypothèse, les molécules enlevées aux filets doués de moindre vitesse pourraientelles être remplacées? C’est vers l’origine du tuyau que le mouvement paraît se régler, et que chaque filet prend la vitesse qui lui est propre.
Dans les premiers mètres le mouvement semble désordonné , tumultueux; tous les fdels doivent sortir du réservoir avec des vitesses à peu près égales, soumis qu’ils sont tous à une pression peu différente dans le réservoir; bientôt les résistances à la paroi font ressentir leur influence, la vitesse des fdets augmente avec leur rapprochement de l’axe du tuyau, et l’appel des molécules nécessaires à la dépense de chaque fdet est réglé par les vitesses qu'ils prennent à la naissance définitive du régime uniforme. Il semblerait ainsi que chaque filet exerce dans le milieu d’où il émane une sorte de succion proportionnée à sa vitesse. Ce ne sont point, en effet, des différences de pression qui font naître les différences de vitesse, puisque tous les filets sont soumis à la pression unique accusée par le piéxomètre placé à l’origine du tuyau.
Pourquoi ne se passerait-il pas là un effet analogue à celui que j’ai plusieurs fois constaté, lorsque je supprimais brusquement une portion de la hauteur qui mettait un tuyau en charge : le mouvement se continuait longtemps avec une vitesse supérieure à celle due à la nouvelle charge; ce n'était plus dans ce cas le ré-
servoir qui fonctionnait seul, la vitesse ancienne et non encore amortie du fluide ajoutait à son action en produisant une succion sur l’eau du réservoir : succion au reste que j’ai directement constatée ainsi qu’on l’a vu page 89.
Sans doute, je n’ai pas eu la prétention, dans les lignes précédentes, de rendre compte des mouvements en apparence si compliqués que présente un fluide en s’écoulant, mouvements qui doivent être assujettis cependant à des lois fixes et mathématiques dont on découvrira peut-être un jour l’expression algébrique sous le désordre apparent qui les voile; mais, dans l'impossibilité où j’étais de préciser philosophiquement la raison de l'intervention de la grandeur absolue de la section du tuyau dans l'équation d’équilibre , j’a! voulu au moins essayer de faire entrevoir la nécessité de cette intervention, et de montrer en outre que l’expérience désavoue les lois algébriques essayées pour l'écoulement des fluides, lorsqu’on n’introduisait pas, dans les équations du mouvement par fdets parallèles, la grandeur absolue de la section du tuyau.
■Tai dit plus haut qu’il était possible que la résistance éprouvée par un fdet fluide dépassant le filet voisin fût représentée par une expression de la forme
Ce binôme se réduisant au second terme quand e, R - peut être négligé devant s R’ , et au premier quand a R' peut
disparaître devant e, R — , de môme que l’expression générale du frottement de l’eau contre les parois
a, w -f- b, ie*.
tantôt se réduit à b, w' et tantôt à a, w, comme nous l'avons successivement constaté dans les expériences précédemment relatées.
Nous avons vu que l'expression de la résistance des filets e R*
correspondait à la première hypothèse : l’expression s, R — correspond-elle aussi bien à la seconde?
Nous avons trouvé que dans ce cas la vite'sse moyenne du tuyau résultait de la relation
Voyons si nous tirerons une même valeur pour la vitesse moyenne de la relation
Riv ri
. cfr a
On en déduit, en appelant V et u> les vitesses maximum et à la paroi , et v une vitesse quelconque .
d’ou, pour la vitesse moyenne,
irR’u = f j^V — (V — a») -jj;J asr rdr.
d’où
Or, nous avons déjà entre V et w la relation
Ht
de plus, on peut poser pour la vitesse à la paroi l'équation suivante qui résulte de notre hypothèse même , .
donc
donc enfin
expression de même forme que celle qui nous a été donnée par l’expérience.
Un tirerait de là, pour la relation existant entre le coefficient de la vitesse moyenne et celui de la vitesse à la paroi,
d’où
et a, — à
Quant au rapport de la vitesse moyenne à la vitesse maximum, il est donné par l’expression
fl, 3 t|
L'hypothèse de M. Navier aurait conduit aux valeurs suivantes pour la vitesse maximum et pour la vitesse moyenne :
d'ou, pour le rapport de la vitesse moyenne à la vitesse maximum.
équations qui ne s'accordent pas davantage avec les faits observés.
On voit donc que tout concourt à prouver l'influence de la grandeur absolue de la section sur la résistance, et, par consé-
196 Dl! MOUVEMENT DE L'EAU
quent, à justifier l'expression que nous avons posée :
Nous terminerons ces considérations en recherchant ce que deviendrait l’expression générale de la vitesse maximum et de la vitesse moyenne en fonction de la vitesse à la paroi, dans le cas où l’on donnerait à la résistance la forme que nous avons précédemment indiquée
laquelle parait résulter de celte double circonstance que, lorsque le rayon du tuyau est grand et la courbe des vitesses suffisamment prononcée, l’expression de la résistance se mesure par la fonction £ R’ , tandis qu’elle se réduit au monôme £ R ^ ’ lorsque le rayon est petit et que la courbe des vitesses a peu de flèche.
On peut donc en induire que la formule qui embrasserait les deux cas, serait le binôme ci-dessus posé.
Nous avons vu qu’à la paroi on avait dans le cas le plus général
Ri
a, /a,* Ki
= ~ rr. ■+■ VIF. ■+■ TT.-
déplus, l’équation de la courbe des vitesses est, dans l'hypothèse précitée ,
2 irr [e, R ^ -+- £ R’ (£)’]=»»-«,
do
on en déduit, en remarquant que le coefficient de — doit être pris avec le signe — puisque v croit quand r diminue,
dv «, / *,* ri
dr itR V 4*K' ïiH’’
R étant le rayon du tuyau, r le rayon d’un cylindre liquide quelconque.
L’intégration de cette équation donne
w = 7ÏS — 3 (**' -i- a *r i)4 -4- c.
Lorsque r = o, v devient la vitesse maximum ou la vitesse au centre, on a donc
ir **. .
6t'Hi
d’où
" = v ■+■ rk (f ■+■ s S) “ dïïi (*• ■+■ 3
Lorsque r = R , v devient ni ou la vitesse à la paroi et l’on a entre w et V la relation
w = (R-4- ji) — r^r(e*.-h a eRi)‘.
a en \ 3*i/ be’R* ' '
Lorsque e, = o , ou que l’expression de la résistance prend la forme monôme e R* . les équations précédentes se réduisent : la première à
la seconde à
v y V1» ÇJ. -1
expressions déjà trouvées.
La valeur de la vitesse moyenne en fonction de la vitesse maximum résultera de l’équation
wR,u=/r [v^iMr+i£)-«^(e,,+2er‘^ ™rdr-
DU MOUVEMENT DE L'EAU laquelle, intégrée entre les limites o et R, conduit à la suivante:
lorsque e, = o, elle se réduit, comme cela devait être, à B==v —
On«a donc, en définitive, pour les valeurs de la vitesse maximum et de la vitesse moyenne exprimées en fonction des coefficients de la résistance à la paroi, et des actions intérieures.
[tf.+ fi) ’ +î7kï + a 8 R,-)‘ 1 ~ rr.~77K (R + i ri)
= (rr. -1" ri)’ a,R,')i — ir.
expressions beaucoup trop compliquées pour qu'il soit possible de songer à en faire usage dans la pratique , mais qui justifient complètement cette réflexion de Prony (page 79 des Recherches physico-mathématiques sur la théorie des eaax courantes) : *
• Quelque satisfaisant que soit l’accord entre la formule de l’article 196 (il s'agit de l’expression de la vitesse moyenne), je dois cependant faire remarquer une circonstance qui peut faire regarder cette formule comme une simple règle de calcul empirique, et qui tient à ce que les observations semblent indiquer qu'on peut déterminer u et V (vitesse moyenne et vitesse maximum) indépendamment de la figure, de la grandeur, de la pente, etc. du canal; elle n’en tient aucun compte. Il est cependant difficile de se persuader que ces divers éléments n’aient aucune influence sur les relations entre V, w et u, mais il fallait pourvoir d’abord aux besoins de la pratique par des règles suffi-
samment exactes pour les cas qu’elle a à traiter; et la recherche des lois générales et rigoureuses auxquelles les phénomènes sont assujettis, offre encore un problème où les géomètres et les physiciens trouveront à s’exercer sur des objets dignes de leur attention et de leur intérêt. »
Si maintenant nous faisons successivement dans les deux équations précédentes
nous trouverons pour les valeurs de V et de u :
expressions auxquelles nous sommes déjà parvenus directement dans les hypothèses précitées.
On a vu, par la discussion précédente, que l'hypothèse faite par M. Navier pour représenter les actions mutuelles des filets lluides ne permettait pas d'arriver aux lois empiriques que l’expérience a révélées en ce qui concerne les relations qui lieut les vitesses maximum et moyenne au rayon moyen et à la pente du tuyau, relations d’où l'on peut déduire l’expression suivante , dans l'hypothèse où l’on ne conserve que le terme où la vitesse est élevée au carré pour représenter les résistances à la paroi ,
V — h = o y^îTi,
V étant ia vitesse maximum, u la vitesse moyenne, R et i le rayon et la pente du tuyau.
On a vu, de plus, comment j'étais parvenu à représenter ces actions mutuelles par une fonction qui m’a permis au contraire de retrouver les formules consacrées par l’expérience; mais il est possible, ainsi que me l'a fait observer M. l'ingénieur Bazin, au lieu de justifier a posteriori mon opinion, de trouver directement la valeur des exposants indéterminés de l’expression
ou de l’équation d’équilibre du cylindre fluide du rayon r, de manière à satisfaire à la relation nécessaire
Extrayant, en effet, la racine n1*"', il viendra
fî ; Jv 1 4
— n — = — ri •
Jr «
(v croissant lorsque r décroît, le coefficient différentiel ^ doit être pris avec le signe — ). Intégrant maintenant cette expression, on aura
ni* *+i
Lorsque r = o , v devient la vitesse au centre ou V ; donc c, = — R* V, d’où
Donnant à r la valeur p. R qui convient h la vitesse moyenne u, il viendra
d'où
Or, maintenant, pour que cette expression soit identique à la relation précédemment posée
il faut que l'on ait
d’où enfin
V — a = a y/ÏTi,
équation, comme on se le rappelle, déduite de nos expériences. Si, au lieu de partir de la relation expérimentale V — a = a y/Ri, nous prenons la suivante V — a = a Ri qui a lieu pour les trèsfaibles vitesses dans les tuyaux de très-petits diamètres, on obtiendrait pour déterminer m et n les équations suivantes :
d’où
d'où enfin, pour l’équation d’équilibre du cylindre liquide de rayon r.
cRp = -,
dr 9
N’a-t-on pas maintenant le droit de conclure que dans l’équation plus générale
m et n sont égaux à i, ainsi que m, et n, à a , puisque , suivant les
îf»
cas considérés, l’un des termes disparaissant devant l’autre, il faut retrouver les expressions monômes précédemment démontrées?
Je me bornerai à ces dernières réflexions, qui me semblent compléter la justilication de la formule à laquelle j'ai cru devoir recourir pour exprimer la vitesse relative des filets fluides dans un tuyau ; j'insisterai d'ailleurs sur cette circonstance , que les équations de condition ne donnant jamais m = o, apportent la preuve que la grandeur absolue du rayon du tuyau doit intervenir dans l’équation d'équilibre d’où se déduit la courbe des filets fluides.
