CHAPITRE VI

RÉSUMÉ ET DÉTERMINATION DU COEFFICIENT l)E CONTRACTION À L’ENTRÉE DES CONDUITES.

On a vu dans les chapitres précédents :

i® Que la résistance éprouvée par le mouvement de l’eau dans les tuyaux de conduite pouvait être représentée par des expressions de la forme :

av -f- bv‘, ou

dans lesquelles a et 6 ou 6, variaient suivant des lois données par les formules

2® Que l’expression av -+- b o* s’appliquait plus spécialement

DANS LKS TUYAUX 2(0

aux tuyaux avec parois lisses, et que le rapport (le a et b grandissait avec le degré de poli des parois.

Au contraire, que pour les tuyaux recouverts de dépôts ou lorsque la vitesse devenait grande, c’était à l’expression 6, v' qu’il convenait de recourir, les résistances comprises dans le premier terme disparaissant en présence de celles auxquelles le second terme se rapporte.

3° On a remarqué que ces lois semblaient disparaître dans les tuyaux de très-faibles diamètres à parois lisses, et pour des vitesses qui ne dépassaient pas 9 à 10 centimètres pai seconde; qu'alors, et dans cet intervalle et dans ces conditions, la vitesse du liquide dans le tuyau grandissait suivant une ligne droite dont les ordonnées croissaient proportionnellement aux pentes.

4" Il a été établi que toutes ces lois étaient indépendantes des pressions exercées dans les tuvaux.

5“ On est arrivé expérimentalement à une formule (dont j’ai cherché à légitimer théoriquement l’existence) pour exprimer la loi des vitesses relatives des filets fluides dans une même section normale à l’axe du tuyau; cette expression,

\ — v — 1 i.3o ^ sjt,

dans laquelle V donne la vitesse au centre et e une vitesse quelconque à la distance r de l'axe, a permis de trouver la valeur de la vitesse moyenne en fonction des vitesses 4 la paroi et au centre , ou

et la distance 4 laquelle elle est située de l’axe du tuyau.

Cette relation a donné encore les moyens d’obtenir l’expression générale de la vitesse à la paroi, dans l'hypothèse de la relation suivante entre la vitesse moyenne et la pente : ,

cette expression est

(7— 3 K y i fc,)*

(-vsy

dans laquelle w représente la vitesse à la paroi , quant à la vitesse au centre du tuyau, ou à la vitesse maximum, elle est donnée par la relation

V — w = K y/ST,

d’où résulte

(7 — 3 Ky/rr;)

d’où résulte, pour le rapport de la vitesse moyenne à la vitesse au centre,

v 7 -h 4 KyT^Ï

expression en fonction de 6,, c’est-à-dire de l’état des surfaces et du rayon du tuyao, du moins jusqu'à une certaine limite.

On trouverait que ce rapport dépend encore de la pente si l’on conservait la première et la seconde puissance de la vitesse pour mesurer la résistance due aux frottements contre les parois

6“ Il parait résulter de l'expérience que la rugosité des surfaces est sans action appréciable sur la flèche de la courbe des vitesses des filets fluides; que, de plus, une impulsion liquide à l’amont, quelque vive qu’elle soit, n’exerce sur elle aucune influence, mais qu’elle paraît s'allonger sous l'impression d’un accroissement de vitesse à l’aval.

7° Enfin , j'ai obtenu en fonction de la résistance à la paroi et de la cohésion de l’eau ;

1 II faut sc rappeler les observations de la page 171 pour tirer du tableau du quatrième chapitre , page 111, la véritable valeur de 6, à substituer dans l'expression ci-dessus ou dans le coefficient de la résistance* la paroi

i° La vitesse à la paroi,

2° La vitesse au centre,

3° La vitesse moyenne ,

4“ Le rapport de la vitesse moyenne à la vitesse au centre.

On connaît la valeur de e; quant à b,, on le déduit de l'équation 19 s, 1 49 4,

La valeur de K a été donnée, celle de b, se trouve dans le tableau de la page 111, chapitre IV.

Il faut bien remarquer que le coefficient b, qui résulte de l’expression 4, = -^ dépend des perturbations apportées à la vitesse moyenne par les parois.

Ces perturbations auront d'autant plus d'influence que le rayon sera plus petit, d’où la conséquence que b, doit varier, comme nous l'avons déjà dit et comme l'expérience l'indique.

D'où il résulte encore que b, sera variable jusqu'à ce qu'on arrive à un diamètre assez grand pour que les perturbations relatives ne laissent plus apercevoir de différences dans leurs effets.

Mais si l’on peut admettre sans difficulté que les coefficients de la résistance de la vitesse moyenne prennent des valeurs dif-

férentes suivant le diamètre des tuyaux, à raison de l'infiuence croissante des résistances à la paroi, lorsque le diamètre diminue, on se rend moins aisément compte des variations éprouvées, d’après la formule précédente, par le coefficient qui exprime les résistances à la paroi.

Aussi j'incline à penser que ces variations ne sont point réelles; en effet, la relation d'où on les déduit suppose implicitement que la loi de distribution des vitesses reste la même, quel que soit le diamètre du tuyau : or, s’il n'en était point ainsi, si celte loi ne devenait permanente qu’à partir du diamètre où les coeilicients de la vitesse moyenne sont permanents eux-mêmes; en un root, si au-dessous de ce diamètre la loi de distribution des vitesses se modifiait de telle sorte que ces dernières tendissent à s 'égaliser. ou que le rapport de la vitesse a la paroi à la vitesse moyenne prit des valeurs de plus en plus grandes, on comprend que les variations de b . ne seraient qu’apparentes, et quelles seraient dues à un accroissement relatif de la vitesse à la paroi et non pas à un accroissement réel et absolu de la résistance.

Telles sout les principales conclusions auxquelles je suis arrivé dans les cinq premiers chapitres de ce Mémoire; il reste maintenant a déterminer la valeur du coefficient de contraction m dans l’expression posée dès le premier chapitre.

(ns; + ‘)

av;

la détermination de cette quantité complétera, en effet, l’équation générale du mouvement de l'eau dans les tuyaux de conduite.

Mais, avant d'indiquer les expériences qui ont été exécutées dans ce but, il est peut-être utile d’essayer quelques explications sur les deux autres coefficients , dont la valeur numérique a été précédemment déterminée, et de rechercher le rôle qui leur est assigné.

En d’autres termes, à quelle partie de la résistance correspond le multiplicateur de »*, à quelle portion le multiplicateur de t?

En remplissant d’eau des tuyaux bien desséchés avec un volume

déterminé, on remarque que le liquide qui sort de ces tuyaux laisse un déficit variable suivant l’état des surfaces.

il résulte des expériences faites :

i“ Que , même dans un tuyau verticalement placé et i raison de l’attraction de ses parois, une couche liquide leur reste adhérente.

i° Que l'épaisseur de cette couche est beaucoup trop faible pour faire disparaître les aspérités de la paroi; que d’ailleurs elle doit présenter une épaisseur sensiblement constante et, par conséquent. offrir à la surface le meme relief que les parois elles-mêmes.

Sans doute, dans un courant, il ne peut y avoir entre les vitesses de deux iilets contigus qu'une différence insensible, mais il ne saurait en être ainsi lorsqu’il s’agit de la couche adhérente: elle est, pour ainsi dire, passée à l’état d'émail, d’enduit aqueux de la paroi.

Evidemment, le cylindre fluide qu’elle enveloppera À son passage ne laissera point immobiles les molécules composant la paroi factice; il les animera dune certaine vitesse de translation, de certains mouvements giratoires, mais elles finiront par s’en détacher avec des difféi-ences flnies de vitesse et à des distances en rapport avec l'attraction des parois et la cohésion des molécules. Ainsi l’on voit une goutte d'eau qui , d’abord , roulait tout entière sur une plaque métallique , se diviser lorsqu'on augmente la pente, une portion restant attachée à la paroi et l’autre continuant son trajet.

Si donc, d'une part, l’attraction des parois doit être considérée comme une des causes retardatrices du mouvement, on doit reconnaître, d’autre part, que cette cause agit vraisemblablement en grande partie par l’intermédiaire de la cohésion du fluide que la surface extérieure du cylindre mobile doit surmonter.

Cela est d'autant plus plausible que l’on voit la paroi rester mouillée même dans une position verticale.

Ainsi, le mode d’agir de l’attraction des parois semblerait pouvoir se résumer ainsi :

Force nécessaire pour vaincre l’attraction des parois dans les parties où le liquide viendrait à s’en détacher, et force nécessaire pour surmonter la cohésion quand le cylindre liquide passe sur l'enduit aqueux.

Enfin , les aspérités de la surface qui viennent modifier brusquement le mouvement et la direction des filets fluides forment , évidemment, une autre cause retardatrice.

Cherchons maintenant à les classer.

Si l’on a recours à des tuyaux chargés de dépôts, ou si l’on imprime à l’écoulement une grande vitesse, c’est-à-dire si l’on augmente la partie de la résistance qui doit provenir des aspérités, le premier terme en » disparait, le coefficient de v* s’accroît : donc ce dernier est au moins en partie relatif aux aspérités.

Si l’on emploie des tuyaux très-lisses, en plomb, recouverts de bitume vitrifié, etc. le coefficient de t>* va sans cesse en diminuant au fur et à mesure que le degré de poli augmente.

Mais la diminution cependant est loin de paraître en rapport avec le degré de poli obtenu. F.n vain dirait- on que l’influence des aspérités insensibles à la vue subsiste pour les molécules fluides, cette explication ne semblerait pas tout à fait satisfaisante.

C’est qu’en effet le terme en «* ne parait pas correspondre seulement à la résistance causée par les aspérités, mais aussi à celle que fait éprouver la couche fluide juxtaposée à la paroi.

On a pu, en effet, conclure des considérations énoncées dans le cinquième chapitre que la force nécessaire pour détacher deux molécules fluides en contact était proportionnelle à un binôme, formé de la première et de la seconde puissance de leur vitesse relative.

Ainsi, cette cause retardatrice doit encore entrer en partie dans le terme de la formule affecté du carré de la vitesse.

Et ce terme subsisterait donc, lors même que toute aspérité disparaîtrait, pourvu que les surfaces des parois fussent susceptibles d’étre mouillées.

Que reste-t-il pour le premier terme ? Evidemment la partie de la résistance représentée par le premier terme du monôme

Une première réflexion se présente. On se demande pourquoi les coefficients de la première puissance de v varient dans les formules spéciales que nous avons calculées pour chaque tuyau, entre de grandes limites et sans loi bien saisissahle.

Cela lient è ce que les formules qui ont donné ces coefficients ne sont que des formules d'interpolation dans lesquelles les éléments qui ont peu d'influence sur la représentation des phénomènes généraux sont sacrifiés à ceux qui interviennent avec une grande énergie relative *.

Ainsi, bien que j'aie cherché à arriver à la proportionnalité des erreurs , comme il n'entrait dans les données qu'un nombre de petites vitesses bien inférieur à celui des grandes, comme de plus elles ne se trouvaient pas en meme proportion dans chaque courbe, on conçoit les irrégularités qui sont venues frapper les coefficients de la première puissance.

Pour rendre à ces coefficients leur part légitime, pour trouver en un mot leur valeur véritable , il aurait fallu opérer sur de très-petites vitesses, obtenues sur des parois présentant une surface lisse.

Alors reparaîtraient la vraie valeur et la régularité du coefficient du premier terme.

C’est ce que l’expérience indique ; au fur et à mesure que l’on diminue les aspérités et la vitesse, on voit descendre de plus en plus l’origine de la parabole au-dessous de l'axe des y, de manière que la représentation des phénomènes d’écoulement soit due à des arcs de parabole se rapprochant davantage de la ligne droite.

Mais si non-seulement on diminue les aspérités et les vitesses,

1 La force attractive d’un tuyau paraît s’arrêter, dit de Prony, À la couche fluide qui tapisse la paroi, puisque la diversité des matières présentant le même poli ne fait pas varier la résistance. S'il en était autrement, le premier terme du monôme comprendrait également la résistance duc à l'attraction de la paroi.

* Cela est tellement vrai que je suis arrivé, pour le coefficient de r, à une valeur négative, dans le tuyau en fonte recouvert de dépôts de o",o359 de diamètre.

DU MOUVEMENT DE L'EAU si. de plus, un fait descendre au-dessous d’une certaine limite les diamètres des tuyaux, de telle sorte qu’à des vitesses très-petites correspondent des pentes facilement appréciables , on arrivera à donner au coefficient du premier terme une prépondérance telle, que la loi qu’il représente sortira nette des expériences , le terme en v‘ disparaissant complètement.

Ces assertions sont confirmées par le t aideau suivant, dans lequel on a recueilli les expériences faites sur des tuyaux de faibles diamètres et avec de petites charges.

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Voy, planche VI

Ce tableau me parait jeter quelque jour sur la question.

Il démontre que :

Lorsque les causes de résistance qui concourent à la Formation du terme en r' se sont assez affaiblies pour que leur influence disparaisse en présence du premier terme de l’expression de la résistance, cette dernière devient proportionnelle à la vitesse simple du fluide.

Le frottement de l’eau, ou ce qu’on appelle le frottement de l’eau, diffère donc essentiellement de celui des corps solides.

Le second est indépendant de la dimension des surfaces en contact et de la vitesse, et proportionnel à la pression.

Le premier, dans les petites vitesses, est proportionnel aux surfaces en contact et à la vitesse, et indépendant de la pression.

Dans les moyennes vitesses , il devient proportionnel à un binôme composé de la première et de la deuxième puissance de la vitesse.

Dans les grandes vitesses, on peut faire disparaître le premier terme de ce binôme.

Je ne chercherai pas à pousser plus loin la comparaison, mais je dirai seulement qu’en vertu des observations précédentes la cause principale du frottement de l’eau, à l’exception des résistances causées par les aspérités des surfaces, parait dépendre beaucoup plus de la force nécessaire pour vaincre la cohésion du liquide, que de celle qui, comme dans les corps solides, prend naissance dans le plan de séparation des deux corps en contact.

Pour déterminer le véritable frottement de l’eau, il faudrait quelle glissât sans mouiller la surface sur laquelle elle coule.

Le tableau précédent démontre ensuite que le coefficient de la résistance paraît diminuer rapidement avec l’accroissement du diamètre.

Il est en effet dans les tuyaux de fer étiré comparable jrour l’état de leurs surfaces.

Diamètre*. Coefficients.