TABLEAU DES TUYAUX SOUMIS AUX EXPÉRIENCES

Je dirai d’abord que ces recherches m’ont permis de donner une démonstration positive d’un fait dont la preuve ne reposait, je crois, sur une expérience incomplète de Dubuat.

M. de Prony fait remarquer en efTet dans ses Recherches hydrauliques que, « d’apres des expériences nombreuses et soignées de Dubuat, Dobeinhem et Benezech, dans le cas de fluidité du corps en mouvement, les résistances qui modifient l’efTet de la pesanteur sont, dans une section transversale quelconque, indépendantes des pressions des molécules comprises dans cette section. »

Or, l’expérience de Dubuat sur laquelle cette conclusion repose ne saurait porter la conviction dans l’esprit.

• Il parait, dit Dubuat, page 5a de ses Principes d' hydraulique.

que la pression contre les parois est totalement étrangère à la résistance que l’eau éprouve en oscillant; car on peut remarquer dans les expériences i i a et i 1 4 que la pression moyenne de l'eau contre les parois du tuyau était beaucoup moindre que dans les expériences i i 1 et i 1 3; les vitesses y étaient aussi un peu moindres parce que la colonne fluide était un peu plus courte : deux raisons pour que la résistance y fût moindre et que le mouvement durât plus longtemps; mais comme il est arrivé le contraire, il faut conclure que le plus ou moins de pression n’influe pas sur la résistance d’un lit ni sur l’intensité du frottement. •

Or la pression

. . , . .(était, sur la partie inférieure du

dans les expériences i i a et i iai • , , ,

r ( siphon, de om,3o environ;

La pression

. . , . (était, sur la partie inférieure du

dans les expériences i i i et i i3 . . , „ 0

r ( siphon, de i",3o environ.

11 semblait ainsi au premier abord que la pression fût dans le

premier cas quatre fois moins grande que dans le second. Mais il

fallait évidemment ajouter le poids de l’atmosphère.

Le rapport des pressions n’était donc en réalité que — ^ =

c’est-à-dire trop faible pour que l’on pût en tirer une conclusion positive.

Dans les expériences spéciales que j’ai faites, au contraire, j’ai disposé les pressions de telle sorte quelles fussent dans le rapport

réel d’environ — .

Le résultat trouvé n’était plus susceptible de controverse.

Si l’on remarque que, d’après les expériences de Coulomb, la résistance éprouvée par les liquides glissant contre des parois est exprimée par une fonction de la forme

av -+- (3t>\

v étant la vitesse du fluide contre les parois , et les coefficients a et (5 des nombres constants à déduire de l’expérience.

On trouvera que, dans un tuyau de rayon R, la résistance éprouvée par le liquide est, par mètre courant,

2irR(at> -+- fiv');

mais, le mouvement étant uniforme, on démontre que cette expression est égale au poids d’un cylindre liquide ayant pour diamètre celui du tuyau et pour hauteur la charge i du tuyau par mètre courant. On aura donc en faisant

lOOO IOOO

wR’i = sttR (at> -f- bv')

— = av -+- bv'

Or on se rappelle que c’est précisément l’équation calculée par de Prony. Seulement, dans les ouvrages de cet éminent géomètre, v n’est point la vitesse à la paroi, mais la vitesse moyenne ou celle dont on fait le plus fréquent usage.

Avait-on le droit de faire cette substitution?

Tout ce qui résulte de l’analyse de de Prony, c’est que les actions réciproques des diverses couches concentriques fluides disparaissent de l’équation finale d’équilibre , et qu'il ne reste dans cette équation que la vitesse à la paroi.

Il est facile, du reste, de s’en assurer par un calcul direct, ainsi que l’a fait de Prony, ainsi que l’a fait plus tard M. l’ingénieur en chef Dupuit dans ses études hydrauliques.

Partageons, par la pensée, le fluide qui s’écoule dans un tuyau de rayon R, en une infinité de cylindres concentriques.

L’expérience démontrera que le cylindre central a la vitesse maximum, et que pour tous les autres cylindres-enveloppes la vitesse va toujours en décroissant jusqu’à ce que l’on arrive à la couche contiguë à la paroi, où l’on rencontre la vitesse minimum.

Soit, en partant du cylindre central,

DANS LES TUYAUX, v. la vitesse centrale;

‘ 1 les vitesses des couches concentriques;

v la vitesse a la paroi ;

fn-i '*-> r,-, r—,

) les rayons correspondants;

le nombre de ces cylindres-enveloppes étant iniini , les différences entre les vitesses

. v, et t',,

u,, et e.„

sont infiniment petites;

DU MOUVEMENT DE L'EAU les différences entre les rayons

r„ et r,, , r., et r.„,, r„, et

sont aussi infiniment petites et, par hypothèse, égales entre elles. Soit S cette différence, de telle sorte que

représentent en nombres finis des quantités proportionnelles aux différences infiniment petites des vitesses des couches.

D'après ces notations, il est évident que l’on peut poser la série d’équations suivante :

w (f%-i — »\) W (r*.-,* — tJ) tt (rV-j — »*,)

tr ( * — » r®n — j )

w (R* — R1,) = jttR («» + bvl) — air R,/ y-)-

En effet, l’accroissement et la diminution de vitesse que chaque cylindre annulaire reçoit des cylindres intérieurs ou extérieurs, à raison de la cohésion des molécules fluides, est une fonction de la différence des vitesses ou des tangentes de la courbe précitée.

Quant à l’équation dernière qui a lieu pour le cylindre annu-

1 On suppose les codficienb de la fonction qui exprime la résistance due à la cohésion divisés par D9, produit de la densité du fluide par ia gravité.

laire contigu à la paroi , on reconnaît le premier terme du deuxième membre : ce terme est donné par la loi observée par Coulomb.

Si maintenant on ajoute toutes ces équations entre elles, on arrivera à l'équation déjà trouvée

it R*i = 2 7r R (av -+- bv'j

Ri 1 .

— = au -+- bv'.

dans laquelle t exprime la vitesse à la paroi.

Equation très-remarquable, ainsi que le font observer MM. de Prony et Dupuit, en ce qu’elle est indépendante de toutes les forces retardatrices qui ne s’exercent pas à la paroi.

Mais, je le répète, pouvait-on substituer dans cette équation la vitesse moyenne u à la vitesse à la paroi?

L’expérience montre qu’en agissant ainsi on n’a pas fait d'erreur appréciable dans la pratique.

On verra plus tard, en effet, que dans les vingt-deux tuyaux que j’ai soumis aux expériences j’ai obtenu très-sensiblement des lignes droites en construisant une ligne avec

les - déduits de l’expérience pour abscisses

elles u ou vitesses moyennes déduites de l'expérience pour ordonnées.

« donne précisément une parabole.

Ajoutons maintenant une partie seulement des équations precedentes entre elles, il viendra:

soit

nr\i= -iitr.f w r*„, i = 2 7rr„, / ,

wrV- , i == airrM/ ) ,

ou généralement irr*i — sir r/ ( — y');

le signe — est donné au coefficient différentiel parce que u diminue lorsque r croît.

Il est évident maintenant que l'équation irr"i =

qui pour chaque pente présente la relation existant entre le rayon du cylindre annulaire et sa vitesse , donne l’équation de la courbe des vitesses.

Mais la fonction /est inconnue, et rien n’indique ici l’influence que peut avoir sur cette courbe le rayon du tuyau. L’expérience seule pouvait déterminer la forme de la fonction f et l’influence du rayon du tuyau. J’ai donc cherché à déduire ces éléments de mes recherches expérimentales. Cela m’a permis de trouver l’expression de la vitesse moyenne, et la relation qui existe entre celte vitesse et celles au centre et à la paroi.

Ces résultats sont consignés dans le chapitre V.

Si on se reporte à l’équation d’équilibre — - r= av-i-bv’, dans

laquelle r, a et b représentent maintenant la vitesse moyenne et ses coefficients; on remarquera que l’on n’a point tenu compte de la charge nécessaire à la production de cette vitesse.

Ce lie pouvait ctre —à raison des phénomènes de la contraction; mais quelle est la valeur du coefficient de contraction dans la pratique?

Ce coefficient étant connu, on le substituera dans l’équation générale suivante :

-t- av -h b v*

2 RM*

Ri . I R

v' -+-ae (/ longueur du tuyau).

Du reste, on voit que le premier terme du multiplicateur r* peut être négligé dans la presque totalité des cas.