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Fig. 1. — Positions relatines théoriques des courbes de fréquence supposées gaussiennes d’un groupe entier de sujets el d'une sélection de ce groupe (schéma).

Pratiquement, nous avons testé, à côté des lycéens reçus aux bourses, un « tout venant » de lycéens et d’écoliers parmi lesquels il y en a qui auraient été reçus aux bourses s'ils s’y étaient présentés. Comment, dans l’ensemble d’un groupe de lycéens non boursiers ou d’écoliers, faire la part de ces sélectionnés hypothétiques ?

Nous admettrons que ces sélectionnés se répartissent dans le test de la même façon que les boursiers du même âge que nous avons testés, autour de la même tendance centrale et en la même forme, et qu’il n’y a de différence que dans les effectifs, autrement dit qu’on peut passer de l’un à l’autre par simple adjonction d’un coefficient de proportionnalité. Ce coefficient, on peut se proposer de le déterminer soit mathématiquement, soit empiriquement d’après le tracé des courbes (1).

Examinons d’abord le problème sous sa forme mathématique.

L'expérience nous donnant les éléments d’une courbe de boursiers — que nous désignerons par l'indice : jy — et ceux de la courbe d’un « tout venant » de lycéens ou d’écoliers — que nous désignerons par l'indice : , (ensemble) — il s’agit de déterminer ceux d’une courbe de « sélectionnés » hypothétiques — que nous désignerons par l'indice : ;.

La courbe ,;, nous venons de le voir, doit être intérieure à la courbe ,.

En toute rigueur, on ne peut affirmer que la courbe des s parviendra à être tangente ; ce que l’on peut affirmer, c’est que le rapport des ordonnées des deux courbes tendra vers 1.

Dans la réalité, des sujets d’un niveau intellectuel très élevé ne seront que très exceptionnellement éliminés au concours des bourses en sorte qu'aux « erreurs de réponse », près, le rapport - sera, à partir d’une certaine valeur de la variable qu'est la note dans le test, pratiquement égal à l’unité, c’est-à-dire que les deux courbes seront au contact l’une de l’autre.

Il en résulte que, pour la mise en équation de notre problème, nous traduirons analytiquement le fait de la sélection avec une

(1) Nous adopterons dorénavant le terme «< boursier » pour désigner tous les lycéens ayant passé avec succès le concours des bourses, qu’ils aient ou non bénéficié de cet avantage pécuniaire, ce qui est sans importance pour notre étude.

approximation excellente en exprimant la condition pour que les deux courbes soient tangentes en un point.

On sait que, pour cela, il faut et il suffit que l'équation obtenue en égalant les fonctions y, et y, possède deux racines égales au point envisagé. Comme, d’autre part,

ys — Kyb nous avons à chercher cette condition pour l’équation : ys — Kyb

k sera le paramètre de sélection que nous cherchons.

Reste à trouver l’expression de y, et de yp.

À lexamen, les courbes de fréquences empiriques obtenues par nos mesures apparaissent presque toujours comme unimodales et à peu près symétriques (1). Dans ces conditions, il est loisible de les ajuster analytiquement par une courbe de Gauss, et de les assimiler à cette forme de courbe.

Cette assimilation est particulièrement commode pour la discussion mathématique du problème général de la sélection, en ce qu’elle ne fait intervenir que deux constantes dans l’équation de la courbe : la tendance centrale : a et l’écart-type 5, constantes dont le calcul est immédiat à partir des résultats numériques des expériences.

Il faut s’attendre, toutefois, à rencontrer, au cours de la discussion ou du calcul, des singularités analytiques ne correspondant à aucun fait réel, mais résultant simplement de la représentation analytique adoptée : nous en rencontrerons effectivement.

Ce sont là des accidents qui ne sont pas inhabituels lorsqu'on ajuste une courbe empirique à une courbe théorique, et qui ne sont pas, en soi, rédhibitoires à l’égard d’un tel ajustement.

Mais nous ne pouvons nous refuser à prendre en considération deux objections plus sérieuses et à les discuter.

1° C’est d’abord celle qui s'appuie sur l’imparfaite symétrie des courbes que donnent, en général, les tests : celles des expériences citées ici ne sont pas très asymétriques ; ce n’est là qu’une heureuse contingence sur laquelle on ne peut faire fond pour établir une méthode générale.

Il est exact que l’on rencontre des asymétries assez accentuées ; généralement, elles sont fonction de l'échelle de notation adoptée. Or, l’échelle de notation d’un test est toujours convention-

(1) Voir p. 64 et 65.

nelle : nous ne mesurons pas, en effet, directement une fonction mentale, sensorielle ou motrice, mais une manifestation de celle-ci. Nous convenons d'habitude d'appliquer à la fonction même, l'échelle numérique au moyen de laquelle nous avons mesuré sa manifestation, ce qui revient à supposer qu’elles sont liées l’une à l’autre par une relation linéaire ; mais ce n'est qu'un postulat que nous adoptons, de préférence en raison de sa simplicité ; mais nous sommes parfaitement libres d'en adopter un autre, celui d’un Ken logarithmique, par exemple, ou suivant toute autre Ici, si cela doit rendre plus claire la mise en évidence des résultats ou plus commode leur traitement mathématique.

Il est donc aisé et légitime de remédier, par une meilleure appropriation de l’échelle de notation, à ces grosses asymétries que présentent parfois les résultats d’un test (1).

Toutefois, en admettant qu’on soit arrivé à une répartition bien symétrique de part et d’autre d’une certaine tendance centrale, pour un certain groupe de sujets, si l’on applique le même test avec la même échelle de notation à un groupe de sujets plus doués ou moins doués, en général, que ceux du groupe précédent, on obtiendra des courbes dont le mode sera plus ou moins décalé d’un côté ou de l’autre de celui de la courbe symétrique obtenue dans le cas précédent, alors que les notes extrêmes restent les mêmes. Dans ces conditions, on peut prévoir, et l’expérience confirme que ces courbes ne resteront pas symétriques, et que leur asymétrie sera plus ou moins accentuée suivant que le mode d’un de ces groupes s’éloignera plus ou moins de la tendance centrale de la courbe symétrique.

Il faudrait alors, si l’on tenait à toute force à une symétrie rigoureuse, avoir une échelle de notation différente pour chaque groupe d'individus testés : mais alors, il n’y aurait plus de commune mesure d’un groupe à l’autre et on se priverait de comparaisons intéressantes.

En pratique, donc, lorsqu'on se proposera, comme nous aurons à le faire, de comparer des groupes d'individus d’âges ou de provenances sociales différents, on ne pourra jamais obtenir de symétrie parfaite pour tous les groupes simultanément, avec un même test et une même échelle de notation. On pourrait songer

.(D Nous avons attiré l’attention sur cette correction des résultats pumériques d’un test dans un article de la « Revue de la Science du Travail >», t. 1 (1929), n° 4. Nous y renvoyons le lecteur,

ste

alors à tenir compte de l’asymétrie dans la formule ; mais cela conduirait à des calculs d’une très grande complication. Mieux vaut s’efforcer d’avoir un test ayant une échelle de notation assez étendue et de l'utiliser pour des groupes intellectuellement assez peu éloignés, en moyenne, du groupe type pour lequel la répartition est symétrique, pour que la dissymétrie des courbes puisse être négligée.

2° Supposons un groupe assez étendu de sujets répartis, à l'égard d’un test, suivant une courbe assimilable à la courbe de Gauss ; supposons, d’autre part, que ces mêmes sujets aient été classés d’après une épreuve quelconque ayant, avec le test, une certaine corrélation. Mettons à part ceux qui ont obtenu dans cette épreuve une note supérieure à une note donnée et classonsles entre eux d’après leurs résultats dans le test : si la corrélation est suffisamment élevée, nous pouvons nous attendre à constater une répartition d'autant plus éloignée de celle que traduit la courbe de Gauss que cette sélection aura été plus rigoureuse.

Il en sera de même de la courbe obtenue avec les sujets restants.

C’est effectivement ce qui se produira quand nous établirons la courbe des lycéens sélectionnés par le concours des bourses.

On pourrait redouter les effets d’une autre cause d’erreur systématique.

L’assimilation d’une courbe de fréquence à la courbe de Gauss se justifie bien lorsque les sujets sont pris au hasard ; elle se justifie moins bien, a priori, lorsqu'il s’agit de sujets choisis en fonction d’un critère pouvant avoir une certaine corrélation avec le test, comme c’est le cas pour la réussite au concours des bourses.

Dans l'hypothèse d’une corrélation parfaite, tous les enfants reçus au concours obtiendraient, dans le test, des notes supérieures à un certain seuil, et tous les enfants refusés, des notes inférieures. Reçus et refusés aux bourses se répartiraient strictement sur la courbe de l’ensemble respectivement à droite et à gauche d’un certain point, en formant ainsi deux courbes b, et b, n’interférant pas, mais accolées suivant une sorte de « méplat » vertical constitué par ordonnée de la note du test correspondant au seuil de la réception au concours.

En réalité, il n’en est pas ainsi parce que la corrélation n’est pas parfaite. Il n’y a pas de chute abrupte des deux courbes l’une contre l’autre ; on peut prévoir, au contraire, une interpénétration qui sera d’autant plus grande que la corrélation sera

sible.

er moins élevée.

Les moins bons boursiers

iront s’étaler dans la région qui, théoriquement, serait celle des « refusés », etrles

meilleurs, parmi les refusés dans celle qui, théoriquement, serait celle des boursiers. C’est ce que représentent, dans notre schéma, demment être égales).

mes à ce schéma.

les courbes b', et b’,. (Les quatre surfaces hachurées doivent évi- Effectivement, les résultats de nos expériences seront confor-

suivant la corrélation

DZ 27 LL) DS FiG. 2. — Déformation de la courbe de fréquence d’une sélection d’un groupe, du critère de sélection classement de l’ensemble du groupe (schéma).

avec le critère servant au

Ces courbes D’, et b', ne peuvent pas être en toute rigueur, au

moins simultanément, des courbes de Gauss, même en admettant que la courbe de l’ensemble en soit une.

coefficients adéquats , >)

de Gauss, — x?

En effet, chaque ordonnée de la courbe e étant la somme des ordonnées correspondantes des deux courbes b',et b’,,si elles étaient toutes les trois

on devrait e 26e?

avoir (avec des 2 — (x — a}?

les absecisses étant rapportées à l’axe de la courbe craiielias

25,2? Go V2x étant les distances à cet axe des courbes b’, et b’,

Or, on peut montrer qu’une identité de cette forme est impos-

nr site

En effet, divisons tous les termes par une des puissances de e,

— L< par exemple e 2% : nous avons :

er 25.2 95e? %> DE M 05.2 en Lo M Le 2% de 5 V2r m V2r , VE e A 01 PA GC» AT

Nous avons, au second membre, une somme de deux fonctions qui doit être identique à une constante : cela n’est possible que si les termes en x s’annulent dans chaque exposant, c’est-à-dire si l’on a :

Œ — de — 0

Gy — 69 — 6G

Ainsi, boursiers et non boursiers auraient même tendance centrale et même dispersion, cas limite qui se produirait avec une corrélation rigoureusement nulle entre le test et le concours des bourses.

Nous ne pouvions pas feindre d’ignorer cette objection mathématique, mais dans la réalité, les courbes des boursiers, tout comme les courbes du « tout venant », s’écartent assez peu de la courbe de Gauss pour nous permettre de les traiter comme telles.

Nous pouvons, dans ces conditions, procéder à la mise en équation.

Si l’on prend comme origine la tendance centrale de la répartition et portant les fréquences en ordonnées, l'équation de Gauss est, dans sa forme générale,

He ee c V2x Si on rapporte les x à une origine d’abscisses a, l’équation devient :

1 AGE ro c \/27 Telle sera l’équation de la courbe représentative des boursiers en prenant pour origine la tendance centrale de l’ensemble, a étant la différence des deux tendances centrales. Remarquons toutefois que chacune de ces deux équations n’est vraie qu’à un coefficient près, qui n’est autre que le nombre des sujets du