LT DANSE

groupe, nombre auquel les ordonnées sont évidemment proportionnelles, en sorte que ces équations deviennent, en définitive :

Non @ g=——e °°" c. V2x N —(x— a)?

@) pm=——e ?* Gb V2T

(les indices , et y indiquant que les lettres auxquelles ils sont affectés se rapportent respectivement à l « ensemble » et aux « boursiers »).

L’équation de la courbe des sélectionnés sera :

PR EN, 25b?2

Pour que les courbes représentées par les équations (1) et (3) soient tangentes, il faut et il suffit que l’équation obtenue en égalant les expressions de (1) et de (3) ait deux racines égales. Formons donc cette équation :

N. e Ds — EN, e 2

Ge V2r Gb V2r

ou encore (le coefficient 27 disparaissant dans les deux membres)

Ge Gb

Prenons les logarithmes népériens des deux membres ; nous obtenons :

e Ge 26° Gb 261

de N Es e KN, vx (Es = a)

En chassant les dénominateurs et en ordonnant, nous obtenons :

Eur / © ÆN .

Es? — 5° )x? + 2ac.?x — a°6.2 + 25,°0? de, D TRS É . — (

Gb Ge

C'est une équation du second degré ; la condition donc, pour

qu'elle ait deux racines égales, est que son discriminant soit nul. Formons-le :

S 9 ! 5 2 : o AIN \ x dr (ec) E do 20 6e (£ RCE Ê ci |

Gb 2e

ro Après simplification, nous obtenons :

à = an [ at — 2 (at — "D(£ er |

Gb Ge

Il suffit que soit nulle la partie entre crochets ; d’où nous tirons :

> KEN: a? ë o Madness Cor

En prenant les antilogarithmes des deux membres, nous obtenons :

KN, Sb e XF»? — 5e?) Ne Ge EN, | , bI \. est la proportion des sujets de l’ensemble qui seraient

reconnus comme « bons » par la généralisation du concours des bourses comme moyen de sélection.

On remarquera que cette formule rappelle la relation de Gauss.

On peut s'étonner de ne pas trouver x—+ comme racines, les deux courbes ayant même asymptote. L’artifice qui a consisté à prendre les logarithmes a fait disparaître cette racine, mais on la retrouve, lorsqu’au lieu d’étudier la variation de la différence des ordonnées des deux courbes, on étudie la variation de leur rapport, rapport qui doit passer par un maximum égal à 1. Formons ce rapport :

EN —(x— a)? VE x?

s CINE DE Ge VAT 95,2 ze 2% x ent Ue 6e V27 e —(x— a)? x?

kN, Ge er S LE = 9 e— ca 252 20e RC N. Gb sb? —- 5e2)x?+2a5e°x + a°5e?

XN, Ce Dob2de?

— K1— e 3b° Se N. Gb

prenons la dérivée :

(55? — 5?)x? +2as.2x— a? 5e?

kN, G. Dares

, e DSb?5e?

Z— K = @ Hip X “ N. ch 6Gb°?6.?

Elle s’annule pour : ru Gb — Ge

; Frs Fc ace” Elle doit être positive pour : <= pa nDe;

nÉSAINe DORA Te

Cp — Ge

Or, son signe ne dépend que de celui de: (n°? — 5.°)x + 45

Il faut donc que l’on ait: 6% — 5? < 0.

Dans ces conditions, pour æ—++,le trinôme du second degré qui constitue l’exposant de e, devient infini par valeurs négatives.

z est done un produit où l’un des termes tend vers zéro, pendant qu’un autre tend verso. Mais on sait que, e étant un nombre supérieur à 1, un produit de la forme

a ex?

a pour limite zéro quand x devient infini.

Il convient de s’arrêter à la condition 64? — 5? 0 d’où l'on tire GRIGEe

Elle nous montre que le problème que nous nous sommes posé n’a de sens que pour autant que le groupe dont on prend les résultats comme base de la sélection (les boursiers, dans le cas qui nous occupe), a une dispersion plus faible que celle de l’ensemble des sujets que l’on se propose de sélectionner. À ce point de vue, on pourra, dans la pratique, se trouver en présence de deux cas très différents.

1° Le groupe servant de base à la sélection est une fraction de l’ensemble du groupe à sélectionner, fraction résultant elle-même d’une sélection au moyen d’un critère quelconque (méthodique ou empirique), ayant une certaine corrélation avec le test.

Cette sélection préalable, éliminant les sujets qui se montreraient inférieurs dans le test (dans la mesure de la corrélation), on conçoit que la dispersion de ce groupe de base sera plus faible que celle de l’ensemble ; la condition ci-dessus sera donc réalisée.

2° Le groupe de base appartient à une catégorie de sujets différente de celle du groupe à sélectionner. Il n’y a, à priori, aucune raison pour que l’on ait & 5, plutôt que le contraire, en sorte que l’on pourra se trouver devant une impossibilité. Cette impossibilité mathématique, lorsqu'elle n’est pas la conséquence d’une simple erreur d’échantillonnage, coïncide avec une