A "*" 2 B 2 •/ "^ 2 7 ' OU

C'est là l'indication de deux directions suivant lesquelles il y aura oscillation ou contact du second ordre ; en d'autres termes, l'équation précédente est l'équation de deux plans, passant par l'axe des z, c'est-à-dire par la normale commune aux deux surfaces, et qui sont tels que les sections de la

surface el de la sphère par ces plans ont entre l'Iles un contact du second ordre.

En posant - = tgjj., les deux directions d'osculation y, et y,, correspondantes à une valeur donnée de y, sont caractérisées par les formules

on voit que l'on aura toujours, quel que soit y,

d'où résulte ce théorème :

Toute sphère tangente est osculatrice suivant deux directions , réelles ou imaginaires ('), situées symétriquement de part et d'autre des lignes de courbure, en donnant dès à présent ce nom aux lignes de la surface qui sont telles qu'en prenant leurs directions, en chaque point, pour la direction des axes des x et des y, on fait disparaître le rectangle xy dans l'expression de l'ordonnée normale ;; l'existence de ces lignes est établie par ce qui précède ; nous en étudierons d'ailleurs tout à l'heure les propriétés géométriques.

Réciproquement, deux directions symétriques par rapport aux lignes de courbure étant données, il y a toujours une sphère osculatrice suivant ces deux directions, el le rayon •/ de celle sphère se déduit de l'équation

[9] /ff'M =

(') Suivant que y sera ou ne sera pas compris enire A et B; voyez ci-aprùs, § VII.

iNous avons déjà dit que l'tHjiialion [8] était celle de deux plans normaux donnant, sur la surface et sur la sphère de rayon y, des sections qui ont entre elles un contact du second ordre. Mais ce n'est pas seulement les seclions normales, faites dans l'une ou l'autre des directions //, , a.^, qui ont entre elles un cont;ict du second ordre ; il en est de même des sections obliques.

Pour le montrer, reprenons l'équation générale