Z — ^ A — 2 LQ
et considérons la sphère
laquelle est osculalrice suivant la direction, en ce moment tout à fait arbitraire, de l'axe des x, c'est-à-dire, poury=o. Au lieu d'une section normale zWx, considérons une section oblique passant toujours par l'axe des j;, mais dont le plan couperait le plan des yz suivant une certaine droite MZ, de telle sorte que l'angle Zi\lr=0 sera précisément l'inclinaison du plan de la section oblique sur le plan de la section normale.
Le plan U\x coupera la sphère et la surface suivant deux courbes dont il est aisé d'avoir les équations rapportées aux axes plans rectangulaires MZ, \\x. En effet, on a pour un point quelconque,
; = ZcosO , »/ = Zsin9,
l't'(|u;itioii (lu la seclioii île la sm l'ace sera donc
./■' , ,f Zsiii 0 , Z'sin' 0 , ^^
L'I celle lie la secliuu spliéiiiiue
/ cos '^ = :y^ + 2^ + ii .
On vuil ([ue Z sera nécessairement, clans l'une el l'aulie équation, une quanlilé du second ordre, d'où il suit ([u'en négligeant, comme on doit le faire ici, les quantités d'ordre supérieur au second, les deux sections seront représentées absolument par la même équation
/ ces ô = T^-v-
équation d'une courbe dont \erayon de courbure sera AcosQ, c'est-à-dire, d'une courbe ayant un contact du second ordre avec un cercle d'un rayon
=:ACOS0.
De là le théorème de Meusnier :
Lorsque deux sections, lune normale, l'autre oblique, sont tangentes entre elles, le rayon de courbure de la section oblique est égal au rayon de courbure de la section normale, multiplié par le cosinus de l'angle formé par le plan de ces deux sections.
Remarquons ici que les relations qui existent entre les rayons de courbure d'une section normale et d'une section oblique tangente sont exactement les mêmes que celles qui auraient Heu si l'on substituait à la surface donnée la sphère osculatrice qui correspond à la section normale que l'on considère ; il en serait de même si l'on comparait ensemble deux sections obliques tangentes entre elles, et tangentes conséquemmenl aune même section normale ; ce qui ramène l'élude des courbures relatives des cour-
bes tangentes tracées sur une surlace donnée, k l'étude des courbures relatives sur la sphère.
