ÉTUDE DES SURFACES CONTINUES

PAR LA COMPARAISON DE CES SURFACES AVEC LE PLAN TAN(iENT ET LES SPHÈRES OSCULATRICES [*).

L'équation d'une surface, en coordonnées x, y, z, l'origine étant sur la surface même, peut généralement s'écrire ainsi

il ne renfermant que des termes d'ordre supérieur au second , et les coeHicients (-^^ , (-^^ ) , etc. , étant des constantes dont la valeur est

\(lX/u \dlJ/o , ,

celle des coefiicients différentiels \-^^ < (^J etc., pour j-=o, y=o,z=o.

(') Ce Mémoire, comparé à celui que nous avons déjà publié sous le même titre, offre quelques dillVrenees essentielles. En premier lieu, nous développons (§§ XIX, XX et XXI) quelques vues nou\ elles sur la courhure des surfaces. Nous avons ensuite abordé et résolu, à l'aide d'un système particulier de coordonnées curvilignes, diverses questions de physique matliémaliiiue et de géométrie pure qui présentent, quand on arecours à d'autri's méthodes de calcul, des (liflu'nllé> presqui! insurtiionlables.

fi()

Si aucune de ces constantes n'est infinie, il existera im cnntnct dv premier ordre enire cette surface et le pian dont l'équation serait

iè)f+(M)j'

c'est-à-dire que les valeurs de :■ qui correspondronl , pour le plan et pour la surface, à des valeurs égales, mais quelconques, de x et y, ne ditïéreront que de quantités du second ordre; tout autre plan ; = <-'../ -j-v;/ n'aurait un contact du premier ordre avec la surface que suivant une direction donnée, en projection ./■//, par l'équation

dz dj'

d'où

'dz d.

dz dy..

Le plan [I], ainsi caractérisé, n'est autre chose que le plan tangent de la surface, au point choisi pour origine des coordonnées. Que si l'on veut adopter ce plan même pour plan des xy, alors l'équation générale de la surface prendra simplement la forme

= £:+:^ , ll + o 2 A ^ C ^ 2 B ^

Réciproquement, toute surface qui a, en un point donné M, un plan tangent, c'est-à-dire, qui est telle que les directions de toutes les droites qu'on peut mener de ce point à tous les points infiniment peu distants s'éloignei\t infiniment peu d'un seul et même plan passant par le point M, aura évidemment une équation de cette forme, en prenant ce plan pour plan des xy, et cette équation sera telle que les coefficients des termes en ,r% xy et y^

seront nécessairement finis, ù étant d'ailleurs une quantité finie et d'ordre supérieur au second. Une telle surface est dite continue autour du point M, et c'est seulement de ce genre de surfaces que nous nous occuperons.

Jl ne saurait y avoir, en général, un contact du second ordre entre une surface courbe et un plan ; cela ne peut avoir lieu que pour les points de la surface dont les coordonnées satisfont à la condition

équation (lui donne deu.x valeurs de-, c'est-à-dire, deu.\ directions autour

du point M, réelles ou imaginaires suivant le signe de la quantité -T-^ — pj.

I I Ad 1/

Ces deux directions se réduisent à une seule si -7^5 — 7^ = 0. Nous reviendrons tout à l'heure sur la signification géométrique de ces résultais (§ VII).

Sdil maintenant

l'équalioii d'une sphère qui passera par l'origine des coordonnées si l'on a x--\-[:>'-\-y''- = \{-, condition que nous supposerons remplie. Développons l'ordonnée r en série, suivant les puissances croissantes de .ret de?/. Nous aurons ;i cet effet

dz X — a el,k\'o-fdz^

dy - — 7 \dyj„ ;

a et, àlo-M-N ^

y rigine, i,ïïxjo~ y

dx'

, .dz

d^z [z-yy + {y-[iY ^Jd^-^L±L

dy'- iz-vY ' W-Jo'^ V' '

[x~y., dxdy ~" [z — y ]-~ (z—y]

'' ' '\dxdy)„ y''

Ainsi ré(|ualion de la sphère ijouna s'écrire

ou, en prenant le plan langent pour plan des xy, ce qui revient à faire x = o, |3 = o (et par là on voit que tout rayon est normal à la surface de la sphère, c'est-à-dire au plan tangent)

/ étant alors le rayon uiènie de la sphère.

Cette sphère est évidemment tanyenle à la surface donnée, c'est-à-dire ([u'elle a un contact du premier ordre avec cette surface, et cela quel que soit le rayon y; nous allons à présent examiner s'il est possible d'établir un contact du second ordre entre la surface donnée et une sphère tangente, c'est-à-dire , s'il est possible d'identifier les équations des deux surfaces pout tous les points à l'égard desquels il serait permis de négliger seulement les termes en x, y e[ z d'ordre supérieur au second.

Mais avant d'aller plus loin, il l'aul renian|uer que jusqu'ici la posilioii des axes coordonnées x et y, dans le plan langent, est restée arbitraire. Or on peut simplifier la discussion, sans nuire à la généralité des résultats, au moyen d'un choix convenable d'axes; on peut, par exemple, faire disparaître de l'équation générale [2] le rectangle xy. Soit, en effet, en déplaçant les axes M./;, My d'un angle x'}Ax = yli\y = oc,

./; = x'cosa — y's'm x y = ic'sin a + y'cos, «.

L'équation [t] deviendra, en coordonnées x, y',

2 = — [x^ cos'a-}-^'- sin^a — 2a;'2/'sinacosa) -\-

^ [«''' sin a cos a — «/'* sin acosa-f-a;'^' (cos-a — sin'a)]

+ ôD (*'* sin' « 4- y''co$* y- -f 'lx!y'%va^ c. cos a),

et l'on fera disparaître le rectangle xy' en posant '1 1\ • . \

[4] (S"^i J si n a cos a -1-^ (cos 'z — 8in°5:) = 0

d'où

f\ 1\ ■ ,1 , 2 cos '2a

lgia=i —

ce qui donne poui io. ileux anijies 2^-^ et 'iy.,,-\--, et par suite, pour a, deux valeurs a^ et ^^o + i. se rapportant à deux directions rectangulaires. En donnant à l'axe des.c l'une de ces directions, l'axe des y prendra l'autre, et l'on aura, pour la siu-l'ace, l'équation transformée

'^^ ^ = lr + ft + -

A' et B' étant des lonclions des constantes A, B, ('. et des lignes trigonoiné- Iriques de l'angle 5'., savoir:

I cos'a 2sinacosa sin' z J--J- + C +"B~'

I sin- s: isin xcosz cos'î; F Â C ^ HT"

Keniarqnons en passant que de ces deux équations on peut déduire cellesci : . . ■

Â' + ly~A + B' 1 1 1

AB AB r. =

la première de ces deux équations a lieu quel que soil y , et nous indiquerons tout à l'heure (§ IX) quelle eu est la signification géoniétriciue. I.a seconde, qu'on obtient en se servant de la valeur de y fournie par l'équation 14], prouve que, quelle que soit l'orientation des axes coordonnés dans le planlangeiit, la quantité -^^-~; = j5f, j|^-(;^)' est invariable; c'est du signe de cette quantité, ou de son équivalente-^., i|ue dépend, comme on l'a vu au J; II, l'existence vécllc d'un plan oscalalctir à la surface suivant certaines directions.

Adoptons le système d'axes dans loquel l'éqiialinn d'nne surface (|uelconque prend la l'orme [-■)] , on , en supprimant des accents maintenant inutiles, celle-ci

L'pqnalion de la spin-re tangente sera toujours de la forme

Cela posé, on pourra établir entre ces deux surfaces un contact du second ordre dans toutes les directions si l'on ax=]j (ce qui arrive, par exemple, aux extrémités de l'axe principal de toute surface de révolution) ; et le rayon de la sphère osculatrice ombilicale est alors 7== A = B. Mais en général, -.- sera ^r., et il ne pourra y avoir de contact de second ordre entre la surface donnée et une sphère tangente de rayon •/, que pour les points dont les coordonnées x, y, satisferont à la condition