VU

Revenons à l'équation [9] qui donne le rayon y de la sphère osculatrice suivant la direction a. Cette équation montre que y est toujours compris entre AelB, qui sont les valeurs particulières que prend y pour p.=o et pour !J-=^, c'est-à-dire les rayons de courbure des lignes de courbure, ou, si l'on veut, les rayons de courbure principaux de la surface. Si A et B sont de même signe, l'une de ces quantités sera le maximum et l'autre le minimum des valeurs de y. La courbure de la surface est alors dans le même sens pour toutes les directions autour du point M ; en ce point, la surface est dite, dans ce cas, convexo-convexe, ou, ce qui revient au même, concavo-concave. Si A et B sont de signes contraires, ces valeurs seront numériquement, l'une le maximum des valeurs positives de y, l'autre le maximum des valeurs négatives de y; la surface est alors concavo-conuexe, c'est-à-dire qu'elle présente au point que l'on considère deux courbures de sens opposés. C'est dans ce cas qu'un plan peut avoir un contact réel du second ordre avec la surface, suivant deux directions données par l'équation (§11)-

et il est aisé de voir que ces deux directions , symétriques par rapport aux lignes de courbure, sont celles suivant lesquelles la courbure change de sens, c'est-à-dire, suivant lesquelles -, après avoir été positif, devient négatif ou réciproquement, en passant par zéro.

Entre ces deux cas , se place naturellement celui où l'un des coefficients T'jTCstnul, -r par exemple; alors il existe un plan osculateur suivant une seule direction, ou, pour parler plus exactement, suivant deux direc-

lions inliiiimeiit voisines , (|iii , k la iiinile, coïiicidenl avec l'une des lignes de conrliure ; si la condition r = o esl remplie en Ions les points de la surface, alors chacune des lijçnes de courbure correspondanles aux rayons À aura , en Ions ses points, un contact du second ordre avec une ligne droite ; ces lignes de coprbure se réduiront donc, en réalité, à des lignes droites (*). Les surfaces de ce genre peuvent, d'après cela, être considérées comme engendrées par le mouvement d'une droite se déplaçant de telle sorte, que deux positions infiniment voisines soient dans un même plan , le plan osculateur en chaque point de la surface. Par là on voit que ces surfaces sont développables , c'est-à-dire susceptibles d'être appliquées sur nu plan , sans extension ni déchirure. Nous démontrerons plus loin que, réciproquement, toute surface développable doit satisfaire en chacun de ces points à l'équation 7-0 = 0, et il est , du reste, aisé de voir qu'en laissant indéterminées , autour du point M, non-seulement la direction des axes des x et des y, mais même la direction des trois axes, toujours rectangulaires entre eux, cette équation revient à celle-ci {§ IV] :

dx- dy- \dx dy

Enfin, si l'on a A=B, toutes les valeurs de •/ sont égales, et la surface présente, autour du point M, la même courbure dans tous les sens (§ V).

(*) Il est aisé de prouver qu'une courbe qui, en chacun de ses points, a un contact du second ordre avec une droite, se réduit à une ligne droite. Considérons la projection de la courbe dont il s'agit sur un plan quelconque que nous prendrons pour plan des a-?/. Soient ^'="f (P)> y=^ W). les équations de celle projecUun, dans lesquelles /* esl une indéterminée quelconque. La direction de la tangente en un point quelconque sera indiquée par la formule -J}=frë:, et Ton devra avoir, si en ce point il y a contact du second ordre entre

la courbure el sa tangente ^7^=0, ou bien -4^o; d'où Ton lire, en mlégrant deux fois, f (P) = t''/'(p) +1'-', équation dans laquelle C et C sont des constantes : donc on aura y = Cx + C'; la projection de la courbe sur le plan des œy est donc une ligne droite. Comme ce plan est tout à fait arbitraire, la courbe elle-même (que deux projections sufiSsent à déterminer) ne pourra être qu'une ligne droite.

Les deux directions symétriques pour lesquelles a lieu généralement un contact du second ordre entre une surface donnée et une certaine sphère tangente, ou, en un mot, les deux directions d'osculation, se réduisent à une direction unique , ou , ce qui est géométriquement plus exact, à deux directions infiniment voisines pour deux valeurs particulières de •/, savoir •/ = Ael7 = B.

Comme il importe de donner à ce résultat un grand degré de clarté, remarquons que l'équation [9] peut être mise sous la forme

d'où

■I cos' [j. sin' y.

équation qui, par la ditïérentiation, donne

On voit bien nettement, par cette formule, que si l'on asln 2fx = o, c'est-à-dire si l'on considère l'une des deux lignes de courbure, on aura rf-L- -^=0, en sorte que les deux sphères tangentes dont les rayons sont A et

B se trouveront avoir un contact de second ordre, non-seulement suivant les axes coordonnés , mais encore suivant toute direction faisant avec ces axes un angle dy. infiniment petit du premier ordre; de là, pour la direction des axes coordonnés, une sorte de stabilité dans la courbure qu'on ne retrouve point dans les autres directions; c'est en raison d'une telle stabiliié (qui

accompagne du reste toujours les niaxinia et les niinima) que ces lignes singulières de la surface ont été nommées, à bon droit, lignes de courbure.

Le rapport -~- pourrait être appelé variation spécifique de la courbure. Nous venons de voir qu'il est nul pour toute surface, suivant les directions des lignes de courbure ; il est nul dans toutes les directions pour les cas seulement où l'on a A=B; enfin, il a la plus grande valeur possible pour les directions p, = ~ et ,'-'0= -y- correspondant à sin 2;j^=\, c'est-à-dire que la variation spécifique de la courbure est la plus grande possible pour les deux directions faisant 45° avec l'une ou l'autre des lignes de courbure.

A ces deux directions correspond une même valeur de —, savoir:

-/ "~ 2 VB "^ A

La variation spécifique de la courbure dont l'équation [11] donne la valeur en fonction de ,u, peut aussi s'exprimer très-simplement en fonction de •/; en effet, l'équation [9] donne

d'où

y A sin>; ^,

cos' y. = -, ï

1\ /1 1\ AJ Ib •//

on a donc

formule (*) de laquelle on pourrait déduire immédiatement les mêmes conclusions qui nous ont élé fournies tout à l'heure par l'équation [11].

La formule [10] du § précédent nous montre que si l'on considère en général deux directions rectangulaires (j- et ij. -\--^, les valeurs des rayons de courbure •/, et •/, des sections normales correspondant à ces deux directions seront

1 cosV- sin\y.

1 sin" >j. . cos^ p.

et l'on aura

(*) Dans la théorie des dévelopiiées des fourbes planes, il y a aussi à considérer un élément analogue à ce que nous a\nns appelé ici la varialion spécifique de la courbure. Cet

élément n'est autre chose que le rapport de la variation du rayon de courbure rfp à la vado riation de l'arc ds. L'on démontre aisément que rc rapport -rr est équivalent au rapport

du rayon de courbure p' de la développée au rayon de courbure p de la courbe ellemême. L'expression de ce rapport pour les courbes du second deijré oft're une certaine

dp /■'' analogie avec la formule |12| cidessus. Pour l'ellipse, par exemple, on ^ ^ ou ^

= 3 V rf— )'' ""Ml^ ~~ C^)' r Pi ^' P' *''''^'" ^^^ rayons de courbure maximum et minimum, qui se rapportent, comme on sait, aux extrémités des axes, et ont respectivement pour valeurs p, = -r- et p., = — . (On peut voii-, pour plus de détails surce point, le Cours d'Analyse de M. Vieille, rliap. 11.)

so

égalité qui n'esl autre, au l'oiiil, ijuu celle que nous avons déjà lenconlrée au § IV, et d'où résulte un théorème fort connu , dû à Euler , qu'on peut énoncer ainsi, en convenant d'appeler plus spécialement courbure d'une section le quotient qu'on obtient en divisant l'unité par le rayon de courbure de cette section :

La somme des courbures de deux sections normales, orthogonales entre elles, est constante, et égale à la somme des courbures des lignes de courbure.

Les lignes d'osculation de la surface donnée et des diverses sphères osculatrices que nous avons considérées jouissent d'une propriété caractéristique qui se déduit immédiatement de la propriété qu'ont les arcs de grand cercle d'être le plus court chemin entre deux points de la sphère.

Soit, en un point M d'une surface, N M IN' l'arc de grand cercle suivant lequel une sphère de rayon y est osculatrice à la surface , je dis que IN M N' sera le plus court chemin sur la surface entre les deux points N et N'; car, soit un point quelconque m , pris en dehors de la ligne d'osculation , et sur une courbe infiniment peu distante N mN'; cette courbe pourra toujours être considérée comme se trouvant sur la sphère osculatrice, aux infiniment petits du troisième ordre près ; les relations de grandeur entre l'arc IN M IS' et toute autre courbe infiniment voisine IN m N' seront donc les mêmes, sur la sphère et sur la surface, en négligeant des quantités infiniment petites qui sont du troisième ordre quand on regarde M N et M N" comme infiniment petits du premier, c'est-à-dire des quantités infiniment petites du second ordre par rapport à M N et M N''; donc l'arc N M IN' qui a, par hypothèse, les caractères analytiques du minimum sur la sphère, aura aussi ces mêmes caractères sur la surface. Ainsi les lignes d'osculation sur une surface se con-

SI

fondent avec les lignes les plus courtes, on fjéodésiqnes. On voit parla tjue le plan osculatenr d'une ligne géodésique, c'est-à-dire le plan qui passe par deux éléments consécutifs NM, MN', renferme la normale à la surface; propriété tout à fait caractéristique, puisque, réciproquement, toute section normale est une ligne d'osculation et conséquemnient une géodésique.

Parmi ces lignes géodésiques, dont la courbure varie autour d'un point M, suivant la loi exprimée par l'équation [10] ci-dessus, se rangent également les lignes de courbure, qui ne sont autre chose, d'après cela, que les géodésiques dont la courbure est la plus grande ou la plus petite possible.

Pour la sphère, en vertu de la symétrie absolue que celte surface présente, le plus court chemin entre deux points se confond évidemment avec l'arc de grand cercle qui les réunit. Si les deux points dont il s'agit sont placés aux deux extrémités d'un diamètre, il existe une infinité de grands cercles jouissant chacun de la même propriété géodésique, eu égard à toute autre ligne infiniment voisine tracée sur la sphère.

Une des propriétés les plus remarquables des lignes de courbure est celle-ci :

Ixs normales à la surface en deux points d'ttne lùjne de courbure infiniment voisins se rencontrent toujours; et réciproquement, si les normales en deux points infiniment voisins d'une surface se rencontrent , ces deux points appartiennent nécessairement à une même ligne de courbure.

Voici comment cette propriété peut se déduire des considérations précédentes :

Soit MM' un élément d'une ligne de courbure de rayon A ; si , au point M', on conçoit, sur la surface même, un élément linéaire Mm perpendiculaire

il MM', cel élémenl appartiendra, aux quanlilés du troisième ordre près, k la sphère de rayon A, osculalrice k la surface au point M ; car la variation

spécifique de la courbure —^ est nulle , lorsqu'on passe de l'orientation MM' k l'orientation infiniment voisine Mm. Donc la normale k la surface proposée en M' et la normale k la sphère nu même point se confondent, et la rencontre de cette droite avec la normale M- détermine le rayon de courbure de l'arc MM'. Il en sera tout autrement si cet arc n'appartient pas k une ligne de courbure; en effet, le point extrême m de l'élément M'm,

normal k MM', se trouve alors sur une sphère de rayon \y -\- -(— d y. \ ; si

l'on imagine sur la sphère de rayon 7 un élément Wm perpendiculaire k

MM', les deux éléments Wm et M'm' détermineront un plan P normal k

l'arc MM', et feront ensemble un angle infiniment petit dont la valeur est rf!

'^ou^-T^. La normale M'» k la surface proposée en M et la normale

Wq k la sphère de rayon y, au même point, seront l'une et l'autre dans le plan P et feront ensemble le même angle que les éléments M'm et Mm'. Or, la normale M^ rencontre M'q, et par suite le plan P, au centre même de la sphère de rayon 7; elle ne pourrait rencontrer la normale M'p sans avoir, par cela même, deux points dans le plan P, c'est-k-dire sans y être comprise tout entière, ce qui est impossible, puisqu'elle passe par un point H extérieur k ce plan.

On arrive aisément au même résultat en ayant recours k l'analyse. Désignons par X, V, Z les cosinus des angles que fait avec les axes {x, y, z] la normale k la surface au point M'. L'équation de la surface étant supposée mise sous cette forme ' ..

donnera, quelle que soit la direction d'un élément linéaire pris sur la surface,

(W dx dF dy dF dz__ dx ds dy ds "*" 3z ds

S3 Mais on doit avoir, pour le uièiiie éléuieul,

as as as De ces éiiuations, nécessairement idenliqiies, on déduit (en ayant égard à la relation bien connue X' + ^'' + Z' =1),

dx

v/(SJ+(SJ+C©''

dF dy

\/(fJ + (|)' + (0-

dF dz

\/ fdFV , , dFV , IdFV ^tej +^^) ^[d-.]-

Lorsqu'on prend pour axe des z la normale h la surface en M , et pour axes des x et des y les deux lignes de courbure , l'équation de la surface se réduit, ainsi qu'on l'a vu plus haut, à

on a donc, en négligeant Q,

Cela posé, soient îiK=p la longueur tle la perpendiculaire commune aux deux normales M: et M>, 0 l'angle que la projection de NN' sur le plan tmgent fait avec la première ligne de courbure, et {x„, y.., zj les coordonnées rectangulaires du point N', on aura

x„ = pcosB, y,=psix\0.

Si la distance q, comprise entre les deux points M' et N' était connue, les coordonnées {Xo, 2/o, ^o) seraient immédiatement données par les trois équations suivantes :

On déterminera q en exprimant que la ligne NN' est perpendiculaire k la normale M iS', c'est-à-dire au moyen de l'équation

Xcos 9 + Y sin 0 = 0.

Pour abréger les calculs, nous remarquerons que, lorsqu'il est permis de faire absliaction de la quantité 0, ce qui revient k remplacer la surface par la série des sphères osculatrices , les coordonnées [x, y, z) sont liées aux variables (/, u) par les équations suivantes, dans lesquelles G désigne la projection de >■ sur le plan langent,

./• = G cos y.

?/ = G sin y.

I cos- // , sin' u

avec (7 A ' B

La dernière de ces équations montre (]ue (i ne diffère de / que par une quantité du troisième ordre; on peut donc écrire simplement

x = lcosi^, y = Xsinf^;

H5 par suite, les valeurs de X, Y, Z prendront la forme suivante

Z À cos iJ.

Z). siiip.

On aura, en consé(|uence, pour déterminer p, 9 et q, les trois équations

Il cos p. A cos/x — j>cos6

Z>. sin u- À sin f^. — p sin 9

cos u cos 0 , sin p. sin 9

La dernière de ces équations donne

tg Q = — -r col (j-.

et, par suite,

sin 9 =

cos 9 =

■ B cos ij-

l/A'sin'« + B'cos'//' A sin y.

l/A'sin'y. -f-B' cos' y.' D'autre part on a, en éliminant g ,

B cos !■!■ / cos fj. — p cos 9 A sin iJ- X sin fji — p sin 9 '

d'oii l'on conclut

(A — B) X sinu cos p.

l/A*sin*p-|- B* cos' p."

De là résulte le théorème énoncé; en ell'et, p ne peut èlre nul que si l'on a sinp=o, ou bien cos.a=o; c'est-à-dire, si le point M est pl;icé sur l'une ou l'autre des lignes de courbure.

Il est un cas oii p est constamment nul, c'est celui où A = B ; mais alors la courbure est uniforme autour de l'origine M, en sorte que toutes les géodésiques deviennent, en réalité, des lignes de courbure.

Une surface quelconque étant donnée , si on la suppose tlexible , mais inextensible, et que, dans cette supposition, on vienne à la déformer de la manière qu'on voudra , les rayons de courbure des diverses sections normales changeront en général de valeur, mais le produit des deux rayons de courbure principau.x restera le même, avant et après la déformation; en d'autres termes :

Si une surface courbe eut applicable sur une autre surface courbe, le prodtdt des (leur rayons de courbure principaux en chaque point reste invariable.

Ce beau théorème, dû à M. Gauss , peut être démontré très-aisément comme il suit :

Imaginons qu'on ait tracé autour d'un point quelconque M toutes les seclions normales, et qu'on leur ail donné une même longueur intinimenl petite / ; en supposant qu'on joigne ensemble les extrémités de ces lignes, on obtiendra une courbe fermée qui aura , avant et après la déformation , le même périmètre et la même surface. Ces deux quantités sont faciles à calculer, et nous allons voir qu'elles ne dépendent que de / et du produit A B des deux rayons de courbure principaux de la surface, pour un état déterminé ; d'où , en envisageant deux états difïérents, une relation de laquelle /

disparaît nalurellemeiil, et qui se léduit en dernière analyse à A B = constante.

Considérons, par exemple, le périmètre de la petite courbe que nous venons de définir.

Soient x, y, z, les coordonnées d'un point m de ce périmètre, le point central M étant pris pour origine, et le plan tangent étant pris pour plan des xy. En représentant par y. l'angle que la géodésique M m fait avec l'une des lignes de courbure, par y le rayon de la sphère osculatrice correspondante à cette géodésique, et par Ç une l'onction finie de ,«, il est bien facile de voir que nous pourrons poser,

a; = y sin- cos o.

[1 4] (?/ = •/ sin - sin u avec - = — r-^ -f

ce qui revient , sauf la valeur de Ç , k mesurer la longueur / sur les diverses sphères osculatrices qui correspondent aux valeurs successives de l'angle .".

Nous aurons maintenant à évaluer l'intégrale

Or, en faisant

nous aurons

G = V sin - = / Il — ^-T '

dx „ . , dG

-j- = — G sm u 4- -j— cos u ,

ai). dy.

dy ^ , dG .

-j^ = G cos w 4- -^ sm M ; du. dp-

d'où

fê)' + (S) = -+(^)'

en ne conservant maintenant que les termes en /' et /', et observant que -jj- est de l'ordre de /% en sorte que | t— j doit être négligé , nous aurons

on a, d'ailleurs, dans les mêmes limites d'approximation, D'après cela, l'intégrale à évaluer prendra la forme

Jcos',.-2-(^g---Jcos^..^-g,.

D'autre part, ou sait que, généralement,

fày- = 2r., jcos'- iJ.diJ. =y sin* 'mIu. = Ain' 2 f/.(/y. = r. , | cos* ixdiJ. =-^' ,

nous aurons donc

.STT

î'— ■'*.;[»{;-a--G-;)'«-jti-8— j]

Le premier terme "ir.l de cette intégrale serait celui qu'on obtiendrait s'il était permis de négliger les termes d'ordre supérieur au premier; c'est là une première approximation qui donne pour la petite courbe un cercle situé dans le plan tangent, et dont le périmètre est indépendant des valeurs successives de •/. Mais, en ne négligeant que les termes d'ordre supérieur au troisième, on voit que le périmètre total de la courbe ne peut être invariable que si cette condition , à la fois nécessaire et suffisante, est remplie :

A B = constante ;

ce qui démontre le théorème de M. Gauss.

On peut arriver au même résultat eu cherchant quelle est l'aire de la petite courbe. Pour cela, il sulfit de remarquer que cette courbe , tracée par les extrémités de géodésiques issues d'un même point et ayant même longueur, est nécessairement normale à toutes les géodésiques, d'après un théorème bien connu , dii à M. Gauss, et aisé à démontrer géométriquement. Alors on peut prendre, pour mesure de l'aire dont il s'agit, l'intégrale

*l y ri

ni'

qui montre encore que l'on doit avoir AB = constante.

De ce théorème, nous concluons immédiatement, avec M. Gauss, que dans toute surface développable , c'est-à-dire applicable sur un plan, on doit avoir, comme pour le plan lui-même,

nous avons d'ailleurs déjà vu, au § VII, que, réciproquement, toutes les fois que cette équation a lieu pour tous les points d'une surface, la surface est développable.

Lorsque, dans une surface quelconque

on imagine une section faite par un plan parallèle au plan tangent à l'origine M, mené à une distance D de ce plan, on obtient une courbe dont l'équation , en ne tenant compte que des termes du second ordre, est

La nature de cette courbe, que M. Dupin a nommée indicatrice, est intimement liée avec le sens des deux courbures de la surface au point M. Suivant que A et B sont de même signe ou de signes contraires, la courbe est une ellipse ou une hyperbole; elle se réduit à deux droites parallèles à Varète rectilignc de la surface en M si la surface est développable, ou, plus exactement, si l'une des courbures-. y> ^*l "uHe en ce point ('). Dans tous

(') Si l'une des courbures, j par exemple, est nulle au point M, sans être nulle en tout

les cas, les divers rayons qu'on peut mener de l'origine des coordonnées xy à un point quelconque m de l'indicatrice, sous un angle fx compté à partir de l'axe des x, dépendent, suivant une loi remarquable, du rayon de courbure y de la géodésique correspondante à l'orientation y.. En effet, en posant

iC = pcos//, ^ = psinf/. ,

on a

^cosV i sin-pV

,, , , ,1 cosV- I sin^M „

d ou, a cause de -= — j-^ -i — -^ , 1 on tire

D= 1^ etp'' = 2v.I).

Ainsi les carrés des rayons ou des diamètres d'une courbe indicatrice sont entre eux comme les rayons de courbure des géodésiques qiù correspondent à l' orientation de ces diamètres.

L'aire totale de l'ellipse qui correspond au cas où A et B sont de même signe , est

-1^20 A l^2DB = 2-Dl/AB

AB

Cette aire est, comme on voit, inversement proportionnelle à la racine carrée du quotient -rr- , quotient que M. Gauss a nommé la mesure de la courbure de la surface au point M; mais, dans le cas des surfaces convexo-concaves, où A et B sont de signes contraires, la courbe indicatrice est une hyperbole, et l'expression l/AB n'a aucune signification réelle.

autre point voisin, la surface n'esl [las développable; mais la ligne de courbure du système A offre, au point M, une inflexion, par suite de laquelle elle se confond jusqu'aux quantité>i du troisième ordre exclusivement, avec une arête rectiligne intlnimenl petite.

Considérons acluellement la courbe formée autour du point M par la série des points pour chacun desquels la normale à la surface fait avec la normale en M un angle constant infiniment petit; courbe que nous appellerons courbe d'inclinaison.

L'équation d'une telle courbe est aisée à trouver. En elïet, l'angle x d'une normale quelconiiue avec l'axe des z est donné, ainsi qu'on l'a vu précédemment, par la formule

COS a =

d'où l'équation de la courbe d'inclinaison , en projection sur le plan tangent, . ■

1 4-— -+-1^ = -^.= . 1-^ =:'l-|-sin';t = 1-t-a%

^A'^B' COS 'a: 1 — .sm-3! ^ ^ '

ou simplement

Pour toutes les surfaces autres que les surfaces (ou portions de surfaces) développables ou planes, cette courbe sera une ellipse don! Ii's axes, égaux si A=B, seront As:, Ex, et qui aura pour aire totale le produit ra^AB , inversement proportionnel à la mesure de la courbure.

Lorsque la surface est développable, la courbe d'inclinaison se réduit à deux droites parallèles.