XVI

C'est ici le lieu d'examiner de plus près la si^mificalion géométrique de

l'expression mesure de la courbnre , dont M. (îauss s'est servi le premier

\ pour désigner la quantité ---^■

M. Gauss considère sur la surface M un élément triangulaire inliniment petit, Mm//i' dont le point M est l'un des sommets. Il considère semblablement sur une sphère d'un rayon = 1 , trois points N, n, n' tels que les normales qui se correspondent dans les deux surfaces pour les points M et N ,

et n, m' et n' soient parallèles deux à deux. Le rapport des aires triangu-

laires INn/t' et Mmm', qu'il démontre être égal à j^, est ce qu'il prend géo métri(iuement pour la mesure de la courbure de la surface donnée en M. Afin de rattacher la détermination de ce rapport aux considérations précédentes, remarquons d'abord que les points met» appartiennent, sur la surface et sur la sphère, à deux courbes d'inclinaison analogues , représentées respectivement par les équations

Exprimons maintenant que dans les deux points m et n les normales à la surface et à la sphère, non-seulement doivent faire le même angle avec l'axe des ;, mais encore doivent être parallèles, nous obtiendrons, au moyen des équations [13], les deux conditions suivantes,

qui sont indépendantes, comme on voit, de l'angle 2. On aurait de même, pour les points m et n,

et (le ces quatre équations l'on conclut

Or ïij' — y'x n'est autre chose que le double de l'aire triangulaire Mmm , en projection sur le plan tangent, de même ?■/•/ — ^'/; est le double de la projection de l'aire N?m' surle même plan; mais le rapport des aires triangulaires est évidemment le même que le rapport des projections; l'on voit donc, par

a formule ci-dessus , que 1 on a r^ , := t-t pour R ^ 1 .

^ M mm AB '

Lorsqu'il s'agit d'une surface développable , la construction précédemment indiquée est en défaut. L'expression mesure de la courbure appliquée au quotient— j- perd alors toute signification. On va voir tout à l'iieure de quelle manière il convient d'entendre et de mesurer la courbure d'une surl'ace continue, développable ou autre.

A cet effet, nous considérerons, parmi les courbes qu'on peut tracer sur une surface, autour d'un point M, celles qu'on obtient en imaginant qu'on mène en ce point les diverses géodésiques de la surface, et qu'on prenne sur chacune de ces lignes, un élément Mm inversoment proportionnel au rayon de courbure •/ de la géodésique.

L'équation d'une courbe de celte nature s'obtiendra en coordonnées X, y, z en faisant /•/ = constante = K dans les équations [14] du § XII, et éliminant ensuite •/ et ,u ; on aura ainsi , pour la projection de la courbe sur le plan tangent en M, l'équation

qui donne simplement un cercle dans le cas de A = B.

On peut regarder les variables / et p. comme formant sur le plan tangent un système de coordonnées polaires; l'équation de la courbe, dans un tel système de coordonnées, est aisé à trouver, puisqu'on doit avoir

et que, d'autre part, on a (§ VIII),

1 cos* u sin* a

de là on déduit immédiatement

/ = K ( -n-sin' y + ycos' « j.

La discussion des propriétés de la courbe dont nous venons d'obtenir les équations et qui est liée, comme on le voit, aussi intimement que possible, avec la nature même de la surface, reviendrait au fond aux considérations présentées ci-dessus et notamment dans les §§ VIII et IX, sur les diverses valeurs que prend la courbure- suivant l'orientation tJ. que l'on considère; il serait donc inutile de nous y arrêter; nous ferons seulement observer que la courbe se compose: 1" pour les surfaces convexo-concaves, de quatre branches fermées, symétriques deux à deux, réunies ensemble k l'origine par un nœud multiple; i" pour les surfaces développables, de deux branches symétriques, fermées et réunies 'h l'origine par un n(eud simple; 3° enfin, pour les surfaces convexo-convexes, d'une brandie uniiiue fermée, de forme, iiour ainsi dire, quasi-elliptique. Les lignes de courbure partagent, dans tous les cas, l'espace occupé par la courbe, en quatre régions parfaitement symétriques.

On remarquera que, d'après la formule l = -, chaque valeur de / représente la force centrifuge (jui se développerait dans le mouvement d'un point sur la géodésique correspoiulanto, ce point étant supposé animé d'une

vitesse in\aiiable exprimée par l-^ K ('1. D'après cela, l'aire totale de la courbe que nous éludions en ce moment pourra servir à apprécier ce qu'on peut appeler la force centrifuge intégrale de la surface autour du point M, eu égard à des mobiles qui suivraient les différentes géodésiques avec une vitesse donnée l-^ K.

ra par 1 intégrale K' /

iir

L'aire totale cherchée S s'exprimera par l'intégrale K' / -^ «iy, elcomme

on a

I cos' u. , sin' ij. 1 , /'l A • ,

il viendra

/lit /«ITT

et enliii

=-[?+4(M)^+(îi-ir¥]'

expression qu'on peut aussi écrire de cette manière :

(') On peut voir ci-apré?, ]iour plus île détails sur ce poinl, le ti X de noire niénioiro sur les courlies (|ui rendent inininiuni une intégrale de la forme / ? (c) ils. Nous nous bornerons'à rappeler ici les deux lliéorènies suivants, démontrés dans ce mémoire :

1. Loifqu'un mobile, nprès uroir reçu une cerlaiiie vitesse initinle, f( meul librement sHc une surface, il décrit, il'uit moutemenl uiiifonne, une géodésiijue.

i. La force centrifuge qui tend ii chaque instant ii »« développer dans ce mouvement esl équilibrée par la résistance de la surface, et cette résistance, qui mesure aussi la pression du mobile, esl toujours en raison inverse du rayon de courbure de la (jéodésique.

De même que pour les courbes iiidicalrices, les courbes d'inclinaison el les courbes considérées dans le § XII, l'aire lolale ci-dessus S ne dépend, comme on pouvait s'y attendre, que des courbures extrêmes -r- et tt et d'un coeflicient infinitésimal. Il serait superflu, d'ailleurs, de discuter en détail les formules précédentes [13] et [16]; nous remarquerons seulement que, dans le cas des surfaces développables, on a simplement

A étant le rayon minimum, et que, d'autre part, on a

dans le cas de A = B, c'est-à-dire dans le cas où la surface a la même courbure en tous sens.

Lue surface étant donnée, supposée flexible, mais inextensible, on a vu, au § XII, que, dans toutes les déformations qu'on peut faire subir à cette surface, le produit AB des rayons de courbure extrêmes est invariable pour un point donné.

De là et des formules données dans les §§ XIV, XY et XVII, on conclut immédiatement: 1" Que les aires totales des courbes indicatrices analogues (D constant) ou des courbes d' inclinaison analogues (a conslant) restent invariables, pour un même point.

2° Que les aires totales des courbes centrifuges (*) analogues (K constant) croissent ou décroissent proportionnellement au carré de la dif-

,(') Nous appelons ainsi, pour abréger, les courbes délinies et éludiées dans le paragraphe précédent.

férencr des courbures extrêmes, et que le ininiinum de l'aire totale correspond à l'état de la surface dans lequel la courbure , autour du point donné, est uniforme dans tous les sens.

Il est bien clair, d'ailleurs, que, dans le cas des courbes indicatrices, il faut que la surface donnée soit convexe-convexe. Une telle surface, dans toutes les déformations dont il est question ici , restera toujours convexoconvexe ; en efïet, le produit AB reste conslani , en sorte que l'un des rayons A, B ne peut changer de signe sans que l'autre ne change également; or, par un double changement de ce genre, la surface, supposée d'abord convexo-convexe, ne change pas de caractère; seulement elle tourne sa convexité en sens inverse.

Lorsqu'on imagine, autour d'un point, toutes les géodésiques que l'on peut tracer sur une surface, l'ensemble des étendues linéaires / attribuées à ces géodésiques détermine une étendue superlîcieile mesurée, ou, ce qui

revient au même , défi

nie par l'intégrale -j / /V/y. D après cela, si Ion

veut s'élever de la notion de la courbure linéaire à celle de la courbure superficielle de la même manière que l'on s'élève de la notion de l'étendue linéaire à celle de retendue superficielle, il est clair (pie l'on devra mesurer

ou définir la courbure d'une surface au moyen de l'intégrale l'on aura, en effectuant comme précédemment l'intégration,