A' 3AB"^B

La courbure, ainsi définie, est proportionflelle à ia force centrifuge intégrale correspondant à des mobiles qui suivraient, avec une même vitesse, les différentes géodésiques issues de l'origine M, et, par suite, à ia résistance dont la surface doit être capable pour supporter la pression due à ces mouvements.

Supposons que l'on trace , comme au § XII , autour d'un point M d'une surface, toutes les sections normales en leur donnant une même longueur infiniment petite /; les extrémités de ces lignes, projetées sur le plan tangent en M , formeront une courbe fermée -. Le périmètre L de cette courbe s'exprimera, en conservant les notations du § précité, par l'intégrale suivante :

=/""ni)'HI)' ^^'

et l'on aura, en recherchant seulement les deux premiers termes de ia valeur de L, •

8 VA'^3AB^B' L'aire lotaie S de la courbe ï dépend de l'intégrale

dans laquelle A' désigne l'angle que forment, sur le plan langent, les deux directions caractérisées par les deux équations

u = const. i = C0DSt.

Cet angle est donné par l'équation

cos V:=

dx dx dy dy

dp. dl d[j. dl

^m-^ ^m^iMj'

Mais on a

dx dx , dy dy ,, . , dG , rfG , ,„ , dG . ,

-T- -rr + -T- -iT=^[ — G sin u -f- -7- ces « ^y-cos ■/+ Gcos'/H — r- sinw dfj- dl d[j. dl ^ dfj. ■ dl ^ ^ dy- ' '

(/G . dÇ. (/G

dl d'j. dl

-r^ esl de l'ordre de /' ; d'autiv i)art— ,-y = I , aux uuanlités du second ordu. ' dl ^

dre près. En conséquence, cos V esl une quantité du second ordre, cl, par suite, sin V=l, aux quantités près du quatrième ordre. Un a d'ailleurs

va'+(|y =f.

D'après cela , la valeur de S sera

S=f'7'G§,/.d/={/-G^rf.=:i;'r(l-|.)rf,