U 3AB"^B

Si l'on désigne par — la courbure de la surface au point M, par L„ le

périmètre et par So l'aire du cercle décrit sur le plan tangent avec le point M pour centre et la distance / pour rayon , on pourra écrire L et S ainsi qu'il suit : '

Lo-

La courbe i" peut être considérée comme une sorte d'indicatrice, par rapport à la conrbure de la surface , attendu que les différences L„ — L et

S„ — S sont l'une et l'autre proportionnelles à —-f-

On obtiendrait une indicatrice du même genre en projetant sur le plan tangent la série des points dilués , sur la surface , k une même distance / de l'origine. En effet, le périmètre L' et l'aire S' de cette nouvelle courbe X' résulteraient de calculs identiques à ceux qu'on vient de développer, avec cette seule ddîérence que la variable auxiliaire G ne dépendrai! plus de / mais de À, en vertu de l'équation

On aura donc

Les valeurs précédentes de L, L', S, S donneni , par l'élimination de la courbure, et en admettant que les caractéristiques arbitraires / et / soient identiques,

Lq — -L Sq — o *

l-in i-. On 5 O

é(|uations qu'on peul iiiellre sous celle forme

Ces relations sont indépendantes de la nature de la surface; elles se réduisent à des identités lorsque la surface est plane , puisque , dans ce cas, onaLo = L = L, et Sa = S = S'.

Nous rechercherons encore le périmètre I. "t-t l'aire S" de la courbe fermée qu'on obtient, sur une surface continue, en prolongeant chaque section normale jusqu'à une nièine distance /. de l'origine M.

En exprimant, comme au § XI, les coordonnées {x, y, z) d'un point quelconque IS en foncliou des variables indépendantes /. et y et de l'auxiliaire G, on aura -