V ' 7' ~ ^8-/ et, par suite

^■■=./''/î+rG-ÎJ^'-.»]''^^''=-+wG-5)"

Supposons que le point M appartienne à une sphère de rayon A. On aura alors

L" = / Gdw = 2 ttG = 2i: V ;,'— — , J 4A*

Les calculs qu'on vient d'effectuer sont indépendants de l'ordre de grandeur du rapport — . En introduisant, au lieu de la distance A, la hauteur h de la zone, on auniit

S" = 27rAft;

c'est l'expression bien connue; si h = 2A, on a S =47: A* ; théorème (J'Ai'cliimède).

Soient Mx, My, M:, trois axes rectangulaires. La position d'un point quelconque N de l'espace peut être définie, soit au moyen des coordonnées [x, y, z) de ce point, soil à l'aide de trois autres variables (À, u, w) liées à (x, y, z] par des équations telles que celles-ci :

Si l'on considère maintenant les trois équations

[18] / = const. ,u = const. w = consl.,

on obtiendra , en attribuant aux constantes des valeurs qui croissent ou diminuent uniformément par degrés infwiimenl petits, trois séries de surfaces qui décomposeront l'espace en une série de parallélipipèdes ayant pour côtés les éléments linéaires des trajectoires résultant de la rencontre deux à deux des surfaces appartenant à des séries différentes.

Cela posé, nous rechercherons l'expression du volume de l'un quelconque de ces parallélipipèdes.

Désignons par ds,, ds^, du, les éléments linéaires des trois trajectoires qui se coupent au point N. Nous aurons

[dwl ^[dwj ^[dwj Si les surfaces [18] étaient orthogonales, le parallélipipède dont il s'agit

aurait pour volume ds, ds, ds,; on obtiendrait d'ailleurs -j^, -~ ....en fonction des variables indépendantes (>., m, ic) par la différenliation des équations [17].

Dans le cas le plus général, les surfaces [18] se rencontreront obliquement en N; les angles «, Ci, y que font deux à deux en ce point les trois trajectoires seront donnés en fonction de (À, [j-, w) par trois équations, dont une seule, celle qui exprime x, nous suffit, savoir:

cos a =

dx dx__,dy dy dz dz

du dw dy. div dy. dw

ds^ ds,

dy. dw

Désignons maintenant par X, Y, Z les cosinus des angles que fait avec les trois axes {x, y, z) la normale k la surface / = consl. au point N. Ces trois cosinus seront déterminés par les équations suivantes :

dy. dy dy

^dx dy dz

div ' dw dic

L'angle V que fait avec cette normale l'élément ds, est d'ailleurs donné par l'équation

dx dy dz

cosV = -

ds,

en conséquence, le volume (JU du parallélipipède infinitésimal pourra s'exprimer ainsi qu'il suit :

âl] = ds, dSt ds, sin x cos V.

Il nous reste à calculer le produit sin x cos V, qui doit évidemment se

réiluire ii une fonction symétrique des v;iriables (/. , ,«, w) et des diiïéren-

tielles -rr-, -^ Or, on a d'abord

dÀ d/.

I dy dz dz dy

dp

dw

dp-

dw

dz

du.

d,v dw

dx

dy.

dz dw

dx du.

dy dw

dy dy.

dx dîc

en posant

D \/ (iMl dz dz^ lllV-uT— ^^' ^^ ^Y ur— ^^ ^Y uly dîo du d'w) v/u. dw dy. dw) \dy dw dy dw)

D'autre part, on a

sina:= V 1 — COS* a

l\dyj ^XdjiJ \di>./ J l\duJ \dwj \dtrj J Vrf^ (/«' (/f* du- il;^ du/

ds., ds, d'J dw

ds., ds.,

On déduit de là

>.[ rdx/dy d£ (/£ dy\ dy/dz (Le dx dz\ dz/ilx djj dy ilx\-\

° ^ — idï\dy. rfH.~(/fx dJi:J^dï\d]li dw~ dy dwJ^TtXdli dw~ dy licjj ' '^ "'*'•

On peut remarquer que le coefficient différentiel qui multiplie dl dy. dw n'est autre chose que le déterminant des neuf quantités

fdx dx dx dy dy dy dz dz d z~\

|d/i ' Jy' dw' dl' dy' dw' dA' dy' dwj

Ce résultat ne doil point surprendre ; car si l"on exprime dx, dy et dz au moyen de (/À, du, dw, en diiïérentiant les trois équations [17], el qu'on cherche ensuite, à l'aide des trois équations diiïérentielles ainsi obtenues, à exprimer réciproquement dl, diJ., dw en fonction de dx, dy, dz , ces déterminations ne pourront évidemment s'effectuer que si, à chaque paralléiipipède dxdy dz de l'espace, il correspond un parallélipipède o U ; îîU doit donc s'annuler en même temps que le déterminant des trois équations différentielles.

Il peut arriver que deux des trois équations [17] ne renferment que deux des trois variables (/ , u., w), )^ et p. par exemple; la valeur de âU devient alors

... dzldx du dy dx\ ,^ , ,

(JLI = -j— -n- -/ jv -r-] dldiJ-dw.

dw \aA diJ. a/ af/./

L'expression ( -tt- — • ~ -j-]d'kd[j., n'est autre chose que l'aire

de la projection, sur le plan xy, du parallélipipède infinitésimal; c'est qu'en effet le système de coordonnées (^.,/j, w) décompose l'espace en une série d'éléments à trois dimensions, appartenant tous à une série de prismes perpendiculaires au plan xy.

Imaginons une sphère de rayon À , ayant son centre en un point M d'une surface continue. Il est facile de déterminer le volume intercepté entre cette sphère, le plan tangent k la surface en M et la surface elle-même.

A cet effet, en conservant les variables (À, u) définies précédemment, introduisons une troisième variable w, choisie de telle sorte que les coordonnées [x, y, z) soient exprimées en fonction de (X, u, w) par les équations suivantes :