VA'^B

Pour donner encore un exemple de la facilité avec laquelle l'emploi des coordonnées curvilignes (/., y., w) permet de résoudre certains problèmes , presque insolubles autrement , nous supposerons que chaque élément tJU exerce sur le point M , considéré comme un point matériel , une attraction qui ne dépende que de la distance / de cet élément au point M. L'ensemble de ces attractions, pour tous les éléments compris entre le plan tangent et la surface, donnera lieu , en vertu de la symétrie, à une résultante normale, si toutefois, ainsi que nous l'admettrons, les attractions décroissent assez rapidement avec la distance pour qu'il soit permis, en imaginant une série de molécules oU disposés sur une seclion normale de l'une des surfaces M7 = const., de remplacer cette courbe par son cercle osculateur. On va voir que notre système de coordonnées permet d'obtenir, presque sans calcul, la valeur de cette résultante.

En effet, l'attraction de l'élément oU peut s'exprimer par une fonction telle que (?(/.) 5 U. Cette force donne, dans la direction de la normale en M , une composante y 9(/.)oU; on a donc, en réunissant toutes les composantes de la même nature ,

''=/7'/^p-)^"=,/'V'V'tw>.)(^+'^")'.m,..

I / / -, ,., /COS'u sin-y.\' :^- , I 2 1 \ ,•

Si le point M n'était attiré que par les molécules appartenant à la surface elle-même, l'attraction totale se réduirait encore à une résultante normale; et la valeur de cette résultante serait

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Dans la première hypothèse, la résultante dépend , on le voit, de la courbure de la surface, el , tians la seconde, de la moyenne entre les courbures extrêmes.

La formule

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qui donne le volume V d'une sphère de rayon A , peut se démontrer aisément k l'aide de la même méthode de calcul.

Il est clair, tout d'abord, que l'expression du volume V en fonction de A . ne saurait varier lorsqu'on change l'unité de longueur, sous la condiiion que l'unité de volume éprouvera un changement correspondant. Kn conséquence, V est nécessairement proportionnel 4 A'.

Concevons maintenant que, par un point quelconque M de la sphère de rayon A , on décrive une deuxième sphère ayant ce point M pour centre et un rayon 2A , le volume de cette sphère sera i'V ou 8V. Mais si l'on mène en M le plan tangent à la première sphère, et qu'on désigne par V le volume intercepté entre les deux sphères et le plan tangent, la somme V-fV reproduira évidemment la moitié du volume de la sphère de rayon 2A. Un aura donc