V-fV = 4V, et par suite

D'aiilre pari, on ;i, quel que soit Tordre de grandeur du rapport -,

a; = Gcos,u, !/=Gsiny., ^^^5T~' ^* = '* 4^;

on obtiendra donc V ainsi qu'il suit:

""J J J \.d\\>l[i. dw Oi>. ihr/^dXdy- dir dft dir/(n.\d:^ dw d/ duJi * '

= 1 / I r^ cosf».Gcos,>J^.^+^sin,".(;sin,".^+^(-Gsin.u.-7-^sinp-Gcos;^.^co8a)l</>(/arfic' J J J Ld'k ik a I 2A A' (Iw aw j

=/7'7iè> ,!-¥'> S]-'-- ^f' /'Vise - w)-" ■ £]«"■'•

ÎA S 7: ! 2A

En conséquence, on a

V — Il — ^^

Reprenons les formules précédemment trouvées ,„ 271).' n'/.' /] , 'I \

^="-3 — tU+bJ'

qui expriment, la première, le volume intercepté entre une surface donnée

et une splièie de rayon /. ayant pour centre un point M de celte surface, la seconde, l'aire totale comprise entre le point M et la courbe d'intersection S de la surface et de la sphère. Si l'on fait subir aux rayons principaux une

modification qui n'altère pas la courbure moyenne - (-- + —) et qui di-

minue 1 écart -5— r ) entre les courbures extrêmes, ce qui est toujours

\D A/ possible lorsque la courbure n'est pas uniforme, le volume U' demeurera

invariable et l'aire S" sera diminuée. Admettons que la modification dont il s'agit n'affecte que les points dont la distance à l'origine M est tout au plus égale à /. ; la courbe ï sera remplacée, sur la surface transformée, par une nouvelle courbe -', et il se produira une solution de continuité entre les deux portions de surface situées, l'une à l'intérieur, l'autre en dehors de la sphère de rayon /. S'il était permis de faire abstraction de cette solution de continuité, il résulterait évidemment des deux formules précédentes que :

De toutes les surfaces continues et fermées qui interceptent un volume donné, la sphère est celle qui possède une aire totale minimum.

Abordons maintenant la question de la continuité. Soit I" la courbe d'intersection de la surface avec une sphère de rayon /.4-'^^- Réunissons deux à deux les points des deux courbes ï' et s" qui correspondent à une même orientation , il est facile de voir que la continuité sera complètement rétablie , pourvu que l'altération de chaque rayon de courbure soit sullisamment petite par rapport à oÀ. En effet, supposons que l'on attribue aux

courbures -, rr des variations o~, s-; on aura

Ad .\ d • .