V.n outre nous ferons, [tour abréger

bc ~ch' = k, ca' — «c =B, a6' — 6«' = C.

Cela posé, nous observons d'abord que l'on a

ou bien

(/; = —- dx ~-^dtj;

en sorte qu'en regardant ; comme une fonction de x, y, on doit avoir

di~^~-r:

dz B

Mais des é(|ualiuns di=adp + adq, dij = bdp -{-b'dq, nous tirons

Cdp = b'dx — a'dij, \ C dq = — bdx -j- ady .

Par là, nous obtenons les différentielles complètes de t et de u :

MainliMKiiil, si dans ces foiiiiules nous substiluoiis les valeurs suivantes :

rfB

J^=a7 + c='- -ay -ce,

-r-—h'y.-\- afj' — bx' — ai , dp ' '

= 1)^:-^ rf,S' — b^:'— a fi',

et si nous remarquons que les valeurs des diflerenlielles (//, du, ainsi obtenues, doivent être égales, indépendamment des dilïéreulielles dx , dy, aux quantités T(/j'+U(/v/, \]dj:-\-\djj respectivement, nous trouverons, après quelques transformations assez aisées,

— 2cc'\bb'— 2[^'Bbb — iy'C.bb'

(;'U= — aArt//— ,SBrt7)— 7(,ft7/

-i-a'A («?>■+ 6fl') + r^'B [ab' +ba) -\- y\^.[ub' +ba')

— x'Aab — [i'Bab — y"Cab , C'V=^Aa'' + |'5Ba'- + 7Ca''

— 2x'Aaa — 2[B'Brta'— '-ly'Caa' + :«"A«.- + ;'i"Brt-+7"C«-.

Si maintenant nous posons, pour abréger,

(1) Aa-^Bri+C7 =1),

(2) Aa' + Bri' + C7' = D',

(3) ; A^"+Bri"+C7"=D",

il viendra

C'U = — U a'b'-i- D'(ab+ ba ) — \)ub, C'V = D a " — 2 \)'aa+ï)"a\

Par là nous obtenons, Ions calculs fails,

C (TV — U') == (DD' — D ') [aV— ba'y= (DD'— IV*) C,

d'où résulte l'expression suivante, pour la mesure de la courbure,