COS '.1 ' " COS M

De là, on conclut

>^'is"— ?«rs =N P f— î— ,--î— ^ =(V^+tg'">' —V^-^tg'Aôy

VCOS''> COS M/ \ J

= [Iff'.i'— t(f'-^)— = l(j'-^ [t(J'"'— t(J'-'') '^''- = — 157 I i^os'y. '^ T + s"'n\'^ ^ -^\-

Si , après avoir multiplié celte expression par /.(/y, on intèjjre de o à i!- , on obtiendra la vaiiation de l'aire ; or, on a ainsi

• " ~5" / r ( cus'p '^ -r + sin';/ 'J ji j (//

À' / /cosl'/ , sin'yA / , , I , . , . I\ ,

On peut remart|uer que celte variation est proportionnelle à la courbure

lors(|ue les rapports —j— et-r— sont idenli(|ues, c'csl-à-dire lorsque la

surface demeure semblable à elle-même.

(Juaiil au volume, l'aire ilu triangle élénieiilaiie \ \ V diffère de celle du triangle ?5N"P d'une quantité mesurée par l'expression

^ N P = —7— [ cos- ;/ 0- + sin' y -; - 1 -;/..

La variation du volume s'obtiendra en iuulti|dianl l'expression précédente par j.d'j et en intégrant ensuite de uii i-, ce qui donnera

--V-J K<v.o- + sm-y.gj./v=: T-'^A + bJ-

Maintenant, si dans les formules |19J on remplace -r par -.- + ^^ t c^»

par - + Cl-, et qu'on ajoute, aux variations qui en résultent, celles que l'on vient de déterminer, on aura

32 L U^B/ ABJ Ki [ \A K/ ^ABJ

= 32-'U'^B; +~F'-'ÂB'

l '^^=-x(."+-rj'^(A+B;-

si l'on suppose que la somme (v+n ) demeure invariable, i; sera constant, et la variation (JS" s'évanouira en même temps que o—-. De là il

résulte que S" sera un minimum lorsque le produit -r-g sera un maximum,

c'est-k-dire lorsque les rayons de courbure -r d ^ seront égaux , et c'est

ce qu'il s'agissait de démontrer.