X-n^ Y - /, '^^' •/ . '^'" «'■ dy dz

If.

La classe de courbes dont je m'occupe ici renferme certaines espèces qui ont déjà été étudiées, savoir:

1" Les courbes géodésiqucs, ijui coriespondeiil au cas de -i (f) == cuiislaiilc , et parmi lesquelles on peut compreiidie les lignes de courbure, i|ui ne sont qu'une variété des géodésiques ;

2» Les brachistochrones ('), pour lesquelles o ((;)=::-;

3° Ouaiid on prend a [v] = v, les courbes qui correspondent à l'intégrale / )-ds= j i:-dt, ne sont autre chose que les trajectoires que le mobile est naturellement entraîné à suivre sous l'action du système donné de forces. Celte propriété si remarquable des trajectoires naturelles , qu'Euler a trouvée le premier, constitue le principe de la moindre action. Elle dérive, comme on le verra ci-après au § VIII , des équations mêmes du mouvement d'un point sur une surface donnée ou dans l'espace.

Dans le cas général, les équations de la courbe qui rend minimum l'inlégrale / ? (c) ds s'obtiennent aisément à l'aide de la méthode des variations, qu'on peut appliquer comme il suit :

Supposons ces équations connues, les lois du mouvement du point matériel s'exprimeront par des équations de la forme

si, au lieu de se mouvoir sur la courbe que ces équations déterminent, le point mobile était forcé de suivre une courbe infiniment rapprochée, les lois du mouvement de ce point pourraient être représentées alors par des équations telles que

i') Dans une Thèse prcscnléc le 1'" juillet 18.i7 à la Faculté des sciences de l'aris, j'ai déjà étudie spécialement les propriélés des couibes hracliislochrônes. Envisageant dan? ie prcscnl Mémoire une question analogue, mais plus générale, j'ai eu à revenir sur quelques unes de ces propriétés, celles qui étaient susceptibles d'être généralisées.

'o, M^, Wj étant des fonctious de / de l'ordre de dl.

Si le mobile est absolument libre, les fonctions '■<, «i , '», pourront être entièrement arbitraires ; mais si le mobile doit se mouvoir sur une surface F [x, y, z) = constante, les fonctions >o, w,, u^ seront liées entre elles par la condition

Cela posé, en admettant d"abord que le point de départ et le point d'arrivée soient donnés de position, la variation de l'intégrale / 9(r)rfs, en passant de la courbe [1] à la courbe [2], sera

â f(f {v) ds= ('^.-f {v) ds = j ds d> (u) + o{v) ods = j dso' {v]

ou bien, d'après un mode de transformation bien connu, â fr^ (V) ds = J« (?' ( V) ^ ds-d ~ 9 (I)))

Or, pour que lintégrale / (f{»]ds soit un minimum , il faudra que la varialion de cette intégrale soit nulle pour toutes les valeurs qu'il sera possible de donner à m, m,, m^. Si le point est absolument libre, on aura, d'après cela, les trois équations symétriques

ifi

de . , (Ir

o'iv) -j- ds — d^ 0 Iv] = 0. ' : t ! ! . : ; -

.'^ ' dz ds^ ^ '

Si le point est assujetti à rester sur une suri'ace donnée, auquel cas les variations '■>, m,, m.^ sont liées entre elles parla condition [3], on multipliera le premier menilire de l'équation [3] par un certain facteur 0; le produit, qui est identiquement nul, étant introduit sous le signe I , on déterminera 6 de manière à faire disparaître '•> de l'expression s | cj,[v)ds. Alors les coefficients de M, et de w. devront être identiquement nuls , ce qui fournit , en égalant les trois valeurs de 0 qu'on obtiendrait ainsi , l'équation à trois membres

, aIc , ,dx , ,, .dv , ,dy , , ./M' , ,dz , ,

dF ~ dF " dF •

dr dy dz

Si le point de départ et le point d'arrivée n'étaient pas donnés de position , un obtiendrait, relativement à ces points limites (1) et (2), des conditions qu'il importe de considérer.

' La variation de l'intégrale / o (t') ds comprendrait- alors , en dehors du signe / , les termes suivants : " • ■ • ' ■

[vc4:"]+t"''E-"j.+[''-'^'->t*'"'"'^' [,,„,^,.,][,,,^^,]-[,,!:H-l-[''"''"'],-

Considérons, en particulier sur une surface donnée les trajectoires pour lesquelles v ? [v] esl constant, ce qui comprendra deux espèces , les géodésiques et les brachistochrônes, et supposons que le point de départ soit fixe, on aura simplement , pour le point d'arrivée .

L J as ' as us

d'où il résulte que, pour le môme temps /, le lieu géométrique des points d'arrivée sera une courbe normale à chacune des trajectoires.

Plus généralement, on voit que si la condition [1] a lieu pour les points de départ , elle aura également lieu pour les points d'arrivée . ce qui donne le théorème suivant :

Si l'on imagine, sw>- une surface donnée, me série de géodésiqurs ou de brachistochrônes issues Hormalement d-une même courbe, et qv.e l'on considère sur chacune d'elles des arcs parcourus dans le même temps, la courbe tautochrône formée par les extrémités de ces arcs sera elle-même normale à chacune des trajectoires ('].

Des considérations analogues s'appliquent évidemment au cas des bra-

(-) Ce théorème est dû à M. Gauss pour le cas des géodésuiiies. M. Bertrand l'a plus tard énoncé et démontré svnthétiquoment pour les brachistochrùnes; j'en ai moi-même donne, •lans le tome XII du Journal de M. Liouville, une démonstration analytique, pour ce même cas des brachistochrônes, en suivant la marche tracée par M. Causs pour les géodésiques. Cette démonstration analytique peut d'ailleurs s'étendre sans diflicullé à une fonc tion ?iv) quelconque , et elle conduit alors à ce résultai, que la propriété des courbes taulochrônes orthogonales n'appartient généralement, dans la classe des trajectoires qui rendent minimum l'iniéiirale/? (i')rf.'. q"'^'"'^ -'""^ seules espèces géodésique et l.r.ichistochrône.

i-Jiisloclirônes absolues el des géodésiques ubsoh(cs ^ligues droites), c'estii-dire au cas oi'i le mobile peut se mouvoir librement , sons l'action des for- (■es données, sans être assujetti à rester sur telle ou telle surface ; on est alors conduit à ce théorème :

Si. l'on imagine anr série de géodésiqiies ou de brachistochrônes absolues, issues normalement d'une surface quelconque, el qve Von considère sur chacune d'elles des arcs parcourus dans le même temps, la surface tautochrnnc formée par les extrémités de ces arcs sera ellemême normale à chacune des trajectoires.

On voit, du reste, i|ue, dans l'un el l'autre cas, la propriété des courbes ou des surfaces (autochrônes orthogonales n'appartiendra pas , généralement, aux autres espèces comprises dans la classe que nous étudions, à cause du terme M ov (s v) — o [v] o [v] j qui ne sera généralement pas nul. -

Eludions maintenant les équations générales (A) du § 111 , que nous représenterons simplement par

= vM = -/.[^)^

en posant

,dx

'^Ts'^

^da-

dx dr\ 1 ^ ds ds ds] ^^' ds

, , . de . ^ ^'^) dx

Posons en outre

, dx ds dv dx do

ds . dx ds ds

dx dx

les équations

qui correspondent au cas où l'on suppose v ou ç [o] constant, représenteront évidemment les géodésiques de la surface F = constante ; d'autre part, les équations

(j.{x) = iJ.{y)=ii{z)

s'appliqueront k une certaine espèce de courbes qu'avant d'aller plus loin il est essentiel de caractériser.

Celte espèce de courbes n'est autre chose, on va le voir, que celle des ligties de plus grande pente, relativement au système donné de forces.

J'appelle ligne de plus grande pente celle dont la tangente, en chaque point, fait avec la direction de la résultante R des forces X , Y, Z, l'angle le plus petit possible.

En d'autres termes, celte courbe sera, sur une surface donnée, l'enveloppe des projections de la force en chaque point, et, dans l'espace absolu , l'enveloppe des directions mêmes de la force.

On peut encore définir, si l'on aime mieux, les lignes de plus grande pente comme étant, en chaque point, normales aux courbes de niveau sur une surface donnée, ou aux surfaces de niveau dans l'espace absolu ; ces courbes et ces surfaces de niveau étant représentées par l'équation de condition

V = conslaiite , jointe , pour les courbes , à l'équation de la surface F =. constante.

Ces définitions, qui n'expriment au fond qu'une seule et même propriété caractéristique, vont nous conduire aisément aux équations des lignes de plus grande pente.

En eiïet, la direction de la force peut s'exprimer par les cosinus des trois angles qu'elle forme avec les axes coordonnés, et ces cosinus sont

. - ■ do dv dv . . ■ ' .,-

■ dx dy dz .

de même la direction de la tangente à la courbe dont il s'agit de trouver les équations étant exprimée par les trois cosinus . :

dx dy dz Ts' ds' Ts'

l'angle « de ces deux directions sera donné par la formule

(dv , , di: , , dv , '\ '[Tx'^'+d^'^y-^irz'^'Lvdr