COS

R ds R ds '

équation que nous aurions pu écrire immédiatement , car , mise sous la forme R cos « =-t^ , elle exprime que la projection de la force R , suivant une certaine direction , donne la mesure de l'accroissement instantané de la vitesse dans cette direction.

Maintenant, quelle que soit la direction que l'on voudra considérer autour du point M, R et v auront des valeurs invariables qui ne dépendent que de la position même de ce point. Par conséquent, la direction qui rendra minimum a, c'est-à-dire la direction de la ligne de plus grande pente, sera aussi

celle qui rendra maximum le rapport -7-, que nous appellerons Vaccéléra-

te S

tion spécifique. Mais on a, généralement.

^do ds è dv — dv â ds .

ds ds'

d'autre part, si au lieu de la direction dont les trois cosinus sont ^j-' -r-' n-' ^ ds ds ds

on considère une direction infiniment voisine, on pourra poser adx = (>\ 'jdy=^(>\, (îdj = w,,

pt l'on aura

avec

, j dx , dy , dz dx ds ' ds -

^ . dv , do , dv

on aura, de plus, si le mobile doit rester sur la surface F = constante , ,,, dF , dF , dV

D'après cela , la variation ^-j- s'exprimera ici par la formule

, dv (dv , dx , \ . /de , du , \ , /dv , dz , \ '?i^ (Tx'''-d^^V '■'+ (d^'^'-Ts'^")"'^-^(Tz^'-Ts'^')'"^-

et devra être nulle, m, 'j),, ',>, étant assujettis seulement à satisfaire à l'équation de condition [1], ce qui donnera pour les équations des lignes de plus grande pente

. dr j • dx j dv j dy , dv , dz , -j- du —-7- dv -T-ds — T^ dv -j-ds — -r- dv dx ds dy ds dz ds

rfF ~ rfF ~ ^F ^'■

dit dy dz

011 bien '•.

Ces équations se réduisent d'ailleurs à -

a (a;) = 0, fx («/) = 0, u. [z) = 0,

quand le mobile est absolument libre, et représentent alors la ligne de plus grande pente absolue.

D'après ce qui précède , les équations des courbes qui rendent minimum l'intégrale A [v) du peuvent se mettre sous la forme

en prenant • - . w, - -

ou bien sous la forme