X.(*)=Xi(^) = Xi

en prenant

avec

X,.A—ÎM

çp (i;)

Pour chaque valeur disliiicle de o (r), ou , pour mieux dire, de ^ {c), on obtiendra des courbes de dilïérente espèce , et , parmi ces courbes , on pourra compter, comme espèce singulière, les Hgnes de plus grande penle, i|ui correspondent au cas de 'i (v) = se, ou si l'on aime mieux deV^=:o quel que soit e. L on voit, du reSle, que les équations des courbes qui rendent minimum l'intégrale / r^{v)ds ne dépendent pas, en réalité, de la fonction 9, mais bien du rapport i^T-- C'est ce qu'il est aisé de s'expliquer : car soient s et t* deux l'onctions de 0 telles que l'on ait

on tirera de là, par l'intégration;

log 0 = log «l< -)- K , K étant une constante arbitraire ; d'où

ainsi le rapport^ sera une constante K; il est donc naturel que les mêmes courbes correspondent aux lonclions 7 et <^, quel que soit r, car cela revient il dire que la même courbe rend minimum toutes les intégrales de la forme K/'-^iujàs, chose évidente à priori.

Ylll.

Nous avons déj'i dit, au § II, que les courbes qui correspondent k l'intégrale / c(h ^fv^dt ne sont autre chose que les trajectoires qui seraient naturellement suivies par le mobile sur la surface F = constante, sous l'iniluence des forces X, Y, Z. Pour le démontrer, rappelons que les équations

du mouvenienl d'un point de relie surface peuvent, comme on sait, être mises sous la forme

= \ + Ocos., d'y

= Z + Ocosv, •

/, ;j, V étant les angles que la normale fait respectivement avec les trois axes coordonnés, et Q étant la valeur variable à chaque instant de la résistance de la surface, force égale et inverse à la pression exercée normalement par le mobile. D';iu!re part, en posant, pour abréger.

on a

dV d¥ d¥

dx dy dz

COS / = — r: — , COS y = — ~— , COS V = — p — ; \ V V

on pourra donc écrire

^ ^ dF dr~ '^\ rf.v'

dr ~'- ' \ dz'

d'où l'on lire , en égalant les trois valeurs de y- '?■■* équations de la trajectoire naturelle sous la forme suivante :

C> dr dr dr

V~ dl El ~ ^

dx dy ds

Dans le cas où il existe une (onction des forces, un a

^ do .. do „ do o* ay aj

el par suit

J dj: , dx

dv dt dv ds dx dt dx dt

dv --^'dx

dx dv dt dt

, dx

" dt

^dx

fdv dx dv\ , ds

dg on aura donc

J dx \ /dv dx dv\ ds