TZ TT I

Q v\dx ds ds) ds

VF* — : ^p - etc.,

dx

en sorte que les équations de la trajectoire naturelle prendront la forme

sous cette forme on voit clairement que ces équations sont celles de la courbe qui rend minimum l'intégrale / vds ou / v^dt. Remarquons, d'ailleurs, que ces équations se réduiraient à

-«.(a;] — À(x)=o, -,«ty) — >-(y) = o, -p(z)— À(î) = o,

dans le c;is où le mobile serait absolument libre , et qu'il sutiirait , pour arriver à ce résultat , de reprendre les mêmes calculs dans l'hypothèse 0 = 0.

Considérons les courbes pour lesquelles le rapport -^^ s'annule quand on y fait v — o.

THÉORÈME. — Tûiiles les courbes de cette catégorie sont tangentes à la ligne de plus grande pente ou, ce qui revient au même, normales dur courbes de nireau en tous les points où la vitesse est nulle.

Car on voit (jue. pour ces points, la direction de la tangente est indiquée par les équations

qui sont celles de la ligne de plus grande pente.

Celle catégorie de courbes comprend, en particulier, lesbrachistochrônes, les trajectoires naturelles, etc. ; mais il est évident qu'elle ne comprend point les lignes géodésiques.

Le même théorème s'applique évidemment aux trajectoires pour lesquelles le rapport -^T-^- s'annule pour des valeurs particulières r^, r, ;

toutes ces trajectoires rencontrent orthogonalemeni les courbes de niveau r = v„, '• = '•,

Si un mobile suit l'une des courbes de la classe i.Vi, la résultante des forces appliquées, estimée suivant le rayon de' courbure, peut s'exprimer très-simplement, dans un grand nombre de cas, en fonction de la force centrifuge — (r étant la longueur du ravon de courbure).

On a d'abord

ds

^("a"+("fO'+("0'

et l'on sait que les angles que fait la direction du rayon de courbure avec les

dx ' . d]i , dz

trois axes ont respectivement pour cosinus r ££, »• " -'' , r-J±\ de là ' ^ (/s rfs ds

résulte l'expression N de la projection ou de ia composante dont il s'agit, savoir :

. rr /dr , dx dr , dy de , dz\

'''~'Ws\dx ds Uy ds dz dsj'

D'autre part, 0 étant l'angle que la normale à la surface l'ait avec la direction du rayon de courbure , on a

d¥ j dx , (/F , du , (/F , d:

dx ds dy ds dz ds

Cela posé, si, dans l'équation générale (A) du § W, on multiplie les deux