dx , dy , dz

termes de chaque rapport respectivement par d -j-, d -p, «-i-, et qu on

ajoute, on aura, après quelques réductions, V r

expression fort remarquable en elle-même en ce qu'elle donne le symbole X sous forme d'une fonction très-simple, symétriquement composée en x. y, z; dans les écjuations (A), au contraire. / a trois valeurs qui ne présentent ([u'une symétrie partielle , c'est-à-dire telles que de l'une quelconque on peut déduire les deux autres par un simple changement entre les lettres

Pour le cas particulier des Ingecloires naturelles, sur une surface donnée, on a déjà vu que l'on a

on doit donc avoir, pour ces courbes,

^ JL — 0 V r

V cos 0 '

d'où

[1] iN + <J cos û =-^.

Ce résultat est aisé à démontrer à priori. Kn effet, à chaque instant du mouvement et pour une trajectoire quelconque, les forces appliquées X, ï, Z, combinées avec la résistance Q de l;i surface, peuvent se ramener, en définitive, à deux composantes: r une composante dirigée suivant le rayon de courbure, et ayant évidemment pour valeur N -|- Q cos 6 ; 2° une composante ayant une certaine direction dans le plan langent à la surface. S'il s'agit d'une trajectoire naturelle, le mobile étant alors libre de glisser dans tous les sens, sur le plan tangent, cette deuxième composante ne peut être que tangentielle à la trajectoire, et elle n'aura conséquemment d'autre effet que de produire un changement dans la vitesse v ('). La seule force N-f-QcosO devra donc équilibrer la lorce centrifuge -7-

Ce mode de raisonnement ne s'appliquerait i»as à toute autre ligne qu'à une trajectoire naturelle , car alors le mobile étant obligé de suivre une trajectoire autre que celle qui convient à la libre action, sur la surface F = constante , des forces données , il faudrait tenir compte , non plus de la résis-

(') Cela revient à ce Ihéoréme, (|iii est pour ainsi dire évideni par liil-nième : Le plati nsrviateur d'une Irajecloirc naturclterontifiil tonjourf lu rùnilunle des forces appliquées, en comprenant parmi ces forces la résistance de la surface, si l'on se donne une surface.

De là, comme cas particulier, le théorème relatif aux géodésiques (pag. 136). Le plan ofcnlateur d'une géoilèsiqxie passt toujour!< pur lu normale a la anrfacc.

lance d de la surlace, mais rie la résistance de la Irajecloire donnée ellemême.

Si les forces X, Y, Z sont constamment nulles , alors la vitesse v du mobile est constante; l'intégrale /yds qui caractérise les trajectoires naturelles équivaut à l'intégrale fds qui caractérise les géodésiques, lesquelles ne sont, k ce point de vue, qu'une variété des trajectoires naturelles, comme elles sont, du reste, une variété de toutes les espèces de la classe (A) pour le cas où la force R = o. D'ailleurs , il est évident que l'équation [11 ci-dessus doit subsister toujours ; seulement la composante !S s'évanouit ; de plus, l'angle 9 = o, comme nous le ferons voir tout à l'heure. L'équation précédente se réduit donc simplement à celle-ci :

de là les théorèmes suivants :

1. Lorsqu'un mobile, après avoir reçu une certaine vitesse initiale, se meut librement siir une surface, il décrit , d'un mowiement uniforme, une géodésique.

i. La force centrifuge qui tend à chaque instant à se développer dans ce mouvement , est équilibrée par la résistance de la surface , et cette résistance , qui mesure aussi la pression du mobile, est toujours en raison inverse du rayon de courbure de la géodésique. .

3. Si la surface donnée est plane, ou si le mobile est absolument libre dans l'espace, il décrit une ligne droite ; les forces centrifuges et les pressions s évanouissent.

Quant aux équations dilférentielles des géodésiques sur une surface donnée, nous les obtenons, d'après ce qui précède, sous la forme :

, dx

d -jds

etc.

ou t!nc(jrH sous la l'oiniL' suivante:

J dx

dF ,

■ -r- COS 6 dx

ds ds

Us) +U2/J ^U-J

dF , dy

ds ~

,dz

rd-r-

[dxl \dy) '^\dzj

dF ,

-5— COS 5 dz

" ^(iJ+(f)V(|

Si l'on élève au carré les deux membres de chacune de ces équations, el qu'on ajoute, on voit de suite que cos' 0=1, ce qui revient à ce théorème bien connu :

Le rayon de courbure des géodésiques est toujours dirigé suivant la normale à la surface; théorème identique, au fond, à celui-ci :

Le j^lan osculatew en chaque point d'une ligne géodésique, passe par la normale à la surface.

Celte propriété est tout à fait caractéristique, en ce sens qu'elle fournit immédiatement les équations différentielles de ces lignes, sous la forme cidessus , avec cos 0 = 1. ■

Maintenant considérons en particulier, dans la classe générale (.\) :

1" Les courbes ;>/a/iM, ou, pourmieux dire, celles qui correspondent au cas où la surface donnée est un plan: pour tontes ces courbes, la ligne droite exceptée, on a cosQ = o;

2° Les courbes absolues, c'est-à-dire celles qui correspondent au cas où le mobile est absolument libre; pour ces dernières courbes, y compris la ligne droite , on a / = 0.

Dans ces deux cas, la valeur générale de/, énoncée précédemment, donnera

et l'on en tire

ou, plus siuipleineiil,

On se rappelle que la caractéristique '^ [v) distingue entre elles les diverses espèces de courbes qui composent la classe (A). Le résultat ci-dessus nous apprend que, dans les cas où l'on a -^ (*;) = ± -. c'est-k-dire pour les hrachistochrônes el les trajectoires naturelles , la composante N est égale

en grandeur absolue à la force centrifuge y, quand le mobile est libre ou doit se mouvoir dans un plan donné {'].

Ce théorème, en ce qui concerne les brachistochrônes planes, a été établi par Euler [Mechanica, tome II), qui l'avait regardé comme exprimant une l)ropriété de ces courbes tout à fait caractéristique; on voit que cette propriété s'étend encore aux bracliistochrônes absolues, el aussi aux trajectoires naturelles, absolues ou dans un plan donné. Mais elle n'appartient qu'à ces deux espèces, parmi les courbes de la classe (A); en effet, l'intégration de l'équation différentielle

Vrf'{v

{'} Les géodésiques se réduisent ici à des lignes droites, el l'on a évidemment

ne donne, poui la lonclion 9, que deux formes

Généialeaienl, pour lotîtes les covrbes qui rendent minimum l'intéqrale f's>{r)ds, le mobile étant d'ailleurs ou libre ou assujetti à rester sur un plan donné, le rapport de la force centrifuge — à la composante N, est une certaine fonction de *;, et par conséquent est constant dans toute l'étendue d'une même courbe de niveau; et il est, du reste, aisé de voir que ce rapport est, en outre, absolument invariable pour chacune des courbes caractérisées par une fonction de la forme 'i{(:)=i'\ i< étant une constante arbitraire qui n'est autre chose que la valeur même du

rapport—.

Il y aura toujours deux espèces conjuguées pour lesquelles ce rapport aura la rnètne expression numérique mais en signes contraires; ces deux espèces, telles que sont, par exemple, les brachistochrônes et les trajectoires naturelles, correspondront à deux fonctions '^ {c) égales et de signes contraires, ou, ce qui revient au même, à deux fonctions 9 («) et 9, [v) telles que l'on ait . .' . , . -if)-) 9, ()•) = constante.

THKOKKMK. — Si une courbe donnée appartient à la fois éi deux des espèces représentées par l'équation (A), toutes les espèces se réunissent en cette courbe , qui alors est à la fois, en tous ses points, géodésique, bra'ckistocïirôné , trajectoire naturelle, ligne de plus grande pente, etc. ('). ■ ■••■•■■ • ■• '■•■ .-.:-. -.^

{') Exemiile, pour le cas de la pesanteur, une verlicalc sur un plan ou sur une surface cylindrique, à arêtes verticales, ou encore, un méridien quelconque d'une surface de révolution à axe vertical.

Il snlTit de prouver que l'équation

ne peut subsister pour deux valeurs différentes de | {()) sans avoir lieu aussi quel que soit 'I' W- Or, si l'on avait

^ [v] f. [x] — / {X) = <h (r) y. {y) — / in) = i {>■) ^ (:) — / (s) et

+ > (f ) ,'■'■ (:'•) — ^- (■»') = '-Pi ('-') .'^- (?/) — '■ <?/) = '^' (") ■" (-) ~ '■ ^-J •

on en déduirait, par voie de soustraction ,

fj. (x) [!^ {») - i, (")] = [j. [y] [h [v] - 'i, m = V- [z] [h ((•) - 4-, m ,

d'où la conclusion que, si M'") — ^. (") "'est pas identiquement nul, on

devra avoir

p.[x) = ^.\jj) = lj.{z),

et par suite aussi

l'on aura donc

X (*) = X («/) = X (=) q»el que soit A (t:). C. Q- F. n.

Ce théorème s'applique , du reste , également aux espèces considérées sur une surface donnée et aux espèces absolues; et il est bien clair que la démonstration ci-dessus embrasse les deux cas.

Jusqu'ici nous avons considéré un point mobile soumis à un système donné de forces X, Y, Z, en sorte que v était une fonction déterminée des

coordonnées j, y, z du point; les diverses espèces de courbes comprises dans la classe ainsi obtenue étaient caractérisées par la forme de la l'onction'f qui entre dans l'intégrale /'i(r) r/x, nu, plus généralement, dans l'intégrale Kfo{o) ds.

Mais on peut laisser indéterminé le système X, Y, Z des lorces appliquées au point mobile. Alors l'intégrale K y' y (r) ds représentera conmie une famille de courbes, qui comprendra diverses classes suivant les systèmes de forces , ou , pour parler plus exactement, suivant la forme de la fonction r. Dans cet ordre d'idées, on voit de suite qu'il pourra se faire qu'une même courbe représente des espèces différentes dans des classes différentes ; en désignant par r, Vi, o et ç, certaines fonctions caractéristiques de classe et d'espèce, cela aura lieu toutes les fois que l'équation

[1] -^^^^r constante,

pourra être satisfaite pour plusieurs systèmes de formes différentes attribuées aux caractéristiques v, r,, «p et 'f,.

A ce même point de vue , on peut dire que les géodésiques forment une espèce proprement dite appartenant à la fois à toutes les classes, de même qu'elles sont une variété de chaque espèce pour le cas particulier de (;i= fonstante ou 11=; o (§ 10); pour mieux dire, toute la classe (• = constante se réduit, en réalité, aux seules géodésiques. On pourra aussi considérer toute courbe d'une classe v comme étant, par exemple, une brachistochrône, pourvu que, pour obtenir cette brachistochrône , on choisisse convenablement le système de forces. Ainsi une trajectoire naturelle , c!'/frf.s = o, est

rds -—:=zo, pourvu que l'on ait

cr, = constante;

équation propre à déterminer i\ et, par suite, le système de forces correspondant lorsque r est connu , ou réciproquement.

Si dans l'équation [1] on prend pour les caractéristiques o/ et 9, une seule même l'onction -j, alors on aura l'équation symbolique

9 iV,]

-H-f- = constante,

laquelle admettra d'abord, comme solution évidente,

si celte solution est la seule, la courbe de l'espèce 9 n'appartiendra qu'à une seule classe. C'est ce qui arrive, par exemple, pour les trajectoires naturelles, les bracliistochrônes, etc. Mais il peut se présenter des solutions multiples dont on devra tenir compte; par exemple, les courbes de l'espèce ofr^ds = o correspondent à deux classes + '' et — '"i à cause des deux solutions de l'équation

<;,'= r% d'où l\ = +r;

pour ces deux solutions, réellement distinctes, les forces sont égales quand on considère le même point, et l'on a alors une seule et même trajectoire, parcourue par le mobile, ici dans un sens, là en sens inverse. De même, les courbes de l'espèce àfsïnvds = o correspondent à la même espèce dans une infinité de classes renfermées dans la formule

où K est un nombre entier quelconque, le signe supérieur élanl pris lorsque K est pair, et le signe inférieur lorsque K est impair.

Il ne sera peut-être pas inutile d'éclaircir encore, par une application d'ailleurs intéressante en elle-même, le sens des généralisations indiquées dans le § précédent.

Supposons que, d'une manière quelconque, l'on ait démontré le pmcipe de la moindre action {'), d'après lequel la trajectoire suivie naturellement par un mobile sous l'influence d'un système donné de forces jouit.de la propriété caractérislique de rendre minimum l'intégrale / r- dt ou /vds, entre deux quelconques de ces points.

Les équations de cette trajectoire, fournies immédiatement par les principes élémentaires de la mécanique, sont, comme on l'a vu au § VIII,

,dx

dv dx dr ds

— 0 dx ds ds ds

=elr.

\/ IdFY , /(/F\' , (dFV dF

Cela posé, la courbe qui rendrait minimum l'inlégrale ./o (r) ds, les forces données étant

dv ,. dr „ dv dx dy dz

serait aussi une trajectoire de moindre action si, au lieu des forces précédentes, on appliquait au mobile les forces

' ' ' ' dx ' ' ^ ' dy ' ■ ^ ' dz

car alors la vitesse , pour une position donnée du mobile , serait r, = s (r) ; les équations différentielles de la courbe cliercliée seront donc

(') Ce principe a été démontré pour la proniière fois par Euler; Lagrange l'a ensuite dérivé des lois primordiales du mouvement. (Voir VExposé du nyslème du monde de Laplare, rhap. Il, et la Uetanique rélnti' du même auteur, liv. 1, l'Iiap. II.)

'<"'^(iHiHi

. dx

<J'^[v) dx drf{o) ^ Ts

Qi dx ds ds ' ^ ' ds

= etc.,

dj-

équations qu'on peul iiieUie sous la foiine

,, , /dv dx dc\ . '* ds

' ^ \dx ds dx) ' ^ ' ds

, dx d

el l'on voil qu'on lelonibe sur les équations (A) du § \ .

Ce mode de calcul nous conduit k une nouvelle inleiprélaliun du symbole / déjà étudié au § X. En effet — Q, n'est anlie chose que la pression qui serait supportée par la surface si le mobile, au lieu d'être assujetti à suivre une certaine courbe de la classe (A) sous l'action des forces X, V, Z, suivait librement sa trajectoire naturelle sous l'action des forces X,, V,, Z,. Mais il est bien clair que les forces X, , Y,, Z, peuvent se déduire des forces X, Y, Z en ajoutant à chaque instant k ces dernières une certaine composante qui représenterait alors la résislance propre de la courbe. Un peut donc dire que —0, est précisément la pression exercée par le mobile sur la surface, calculée en tenant compte, non-seulement des forces motrices, mais de ce que nous venons de nommer la résistance propre de la courbe qu'on l'oblige à suivre. De cette manière la formule

prend une signilicalion générale Irés-claire, d'où dérive, comme cas particulier, l'énoncé donné au § X pour les trajectoires naturelles; ces dernières