I-Si
courbes élaiil siinpleuient celles poiii' lesquelles la pression exercée parle mobile sur sa Irajecloiie, ou , lécipioquement, la réslslauce de celle-ci se tiouve être nulle. " -
D'api'ès ces réflexions, léqualidii pailiiulicie aux trajectoires naturelles
N + OcosO=-^,
qu'il est aisé , comme on l'a vu au § X , de démontrer sans aucun calcul peut conduire à la valeur générale de /. trouvée dans ce même §. En effet, cette formule peut se généraliser sous la forme
>,-rO,cosû=^:
mais la résultante >, correspond aux forces
de la môme manière que la résultante >' correspond aux forces
de .. di- ., dv . d.r dy dz
d'après cela, il est clair que l'on aura
Au moyeu de cette valeur, nous obtenons ' ' cos ^
et l'on voit (|iie la lormiilo [I] donne ainsi , presque sans calcul , la valeur cliercliée
^ ?'(«) liii
-^^^m-^iïï^m''
On a vu, dans le § XI, que pour une classe donnée, c'esl-à-dire pour une ('onction /• donnée, deux espèces ne peuvent coïncider en une seule courbe sans que celte courbe ne représente en même temps la classe tout entière, y compris les lignes de plus grande pente. On peut se demander si cette courbe unique, qui représente alors toutes les espèces d'une classe v, ne pourrait pas représenter encore toutes les espèces d'une autre classe v', en établissant entre les deux fonctions v et v' certaines relations convenables.
Pour résoudre cette question, il suffit, puisque la géodésique appartient déjà à toutes les classes, de chercher sous quelles conditions une courbe peut à la fois être ligne de plus grande pente pour les deux systèmes différents de forces qui correspondent aux vitesses v et v'. Or, pour qu'un élément quelconque d'une ligne de plus grande pente ne change pas, quand la force change , il est nécessaire et suffisant que la force reste constamment dans un même plan normal à la surface donnée; soit, d'après cela,
Xx-\-By-\-Cz = o
l'équation d'un certain plan passant par le point que l'on considère, choisi l)0ur origine des coordonnées, on exprimera que ce plan conlientà la fois la normale à la surface et les deux forces des systèmes v et r', en écrivant les trois équations de condition
dx dy dz
, dv , ,. de , ,. dr
(/;■ (h/ dz
i dr' , „ (/(•' , „ dr'
dx dy d z
De ces équations on déduit aisément , par l'élimination des coenieienls A, B, (], une condition unique qu'on peut écrire ainsi
dF dr dr d¥ ^ ^ ^ ^ d^ dF dF dr
dy Jz ~ dy Tz dy dz dy dz __ dy dz dy dz
dF dv dv dF ^ dx d£ dt^ dv ~ dv^ dF __ dF^ dv
Jx Iz ~~ Ib- Ifz Uxllz dx dz dx dz dx dz
ou bien
(/F /(k d£<j£ d£\ dF/dr dr dr di^^\,dF/d£ ^^ (/£ dt^\ ^ ^'^dx\dyd: dy d^r dy\dz dx dzdxrdz\dxdy dxdyj^
On peut encore arriver à ce résultat à l'aide des équations des lignes de plus grande pente, savoir, pour le système r (§ VI),
dv r dx , de , dy , dr , dz ,
-r- ds T-dr -^ds ~ dr -j- ds j-dr
dx ds dy dx dz ds
dF ^ dF ~ dF
dx dy dz
l.e problème analytique à résoudre consiste évidemment à éliminer ^, '-J^, et |j^ entre ces équations et celles relatives au système v'. Celte élimination, qui au premier abord paraît presque impraticable, à cause de la nécessité de faire disparaître aussi les dilïérenlielles totales dv et dv', qui dépendent des quantités à éliminer, peut s'efl'ectuer très-aisément par un procédé qui revient, en définitive, à l'algorithme employé tout à l'heure. En effet, multi-
plions lesiieclivement par trois constantes A, B, C le numérateur et le dénominateur de chacun des membres de l'équation ci-dessus; la fraction dont le numérateur sera la somme des produits des trois numérateurs par A, B, C et dont le dénominateur sera la somme des produits des trois dénominateurs par les mêmes facteurs A, B, C sera évidemment égale à l'un quelconque des membres de l'équation. Cela posé, choisissons A, B, C, de telle sorte que l'on ait
lix dy dz et
ffs ds ds
il est clair que l'on devra alors avoir aussi
dv dr do
dr dy dz
Un procédé identique, appliqué aux équations des lignes de plus grande [)ente du système r', donnerait, avec la première et la seconde des équations ci-dessus, celle-ci
, dv' de' de'
A -j \-ii-, [-L-T- =10.
dx dy dz
Des quatre équations qui précèdent, la première, la troisième et la quatrième ne renferment plus^'V^'^, ni les différentielles totales t/r etdr'. Il ne reste
' ils as fl.s
donc qu'à faire disparaître les quantités auxiliaires A, B, C, ce qui ramène au calcul effectué tout à l'heure. Quant à l'équation A— -\-B'-f{-\-C-j^:=o, on peut remarquer qu'elle exprime simplement que chaque élément de la ligne de plus grande pente est situé dans le plan normal qui contient la force , ainsi que cela doit être , d'après la définition même des lignes de plus grande pente (§ VI).
Cuiisidéioiis iiiaiiileiiaul le cas où les deux luioes des syslùnies /" et v' seiaioni conslainmenl parallèles l'une à l'autre ; on a alors
de dr dr
dx dy (/r
dv' dr' dv'
dx dy dz
et l'équalion de condition [2] sera salislaile, (juels que soient^.- 'j-' -jz' niiisi qu"on devait s'y attendre. Un voit d'ailleurs immédiatement qifen introduisant ces conditions dans les équations des lignes de plus grande pente des systèmes v et v', ces équations coïncident, c'est-k-dire ne déterminent plus, pour les deux systèmes, i[u'une seule et même courbe.
Un cas très-simple mérite d'être remarqué. C'est celui m la valeur des quotients qui forment l'équation ci-dessus, et conséquemment celle du quotient '-^., serait supposée constante, ou, plus généralement, fonction de ' (lu de f'. Alors on aura une équation différentielle de la forme
dr'
qui donnera , par l'intégration
r = I f{r)dr=f,[v).
Dans ce cas, toute courbe de la classe i: appartiendra évidemment aussi à la classe v, et il est naturel (|ue, puisqu'une même courbe représente toutes les espèces de la classe v, celle courbe représente également toutes les espèces de la classe r'.
Dans loul ce qui |>récè(Je, nous n'avons l'ail aucune iiypollièse particulière sur la nature de la force qui sollicite le mobile, excepté loulefois le cas où nous avons supposé celte force nulle, pour arriver aux géodésiques. En particularisant de telle ou telle manière la nature de la force, on se trouverait conduit il un ordre de recherches spéciales que nous n'avons pas l'intention d'aborder ici : toutefois, nous nous arrêterons un moment à un cas assez remarquable , en ce qu'il comprend les attractions newtoniennes et la pesanteur , celui où la force est constamment dirigée vers un centre tixe et variable avec la distance /• du point mobile à ce centre.
Soit R cette force, on aura, en prenant le centre d'attraction pour origine des coordonnées,
en sorte que la vitesse s'exprimera, à une constaute prés, par l'intégrale v^ = 2 Tr £ d.r + R ^ dif -f- R ^ d: = i fndr ;
nous pourrons donc poser
Cela étant, les é(|uations d'une courbe propre it rendre minimum l'intégrale fo ((■) ds, le mobile étant supposé absolument libre, seront, en représentant par V une certaine fonction de r et posant 9 [v] == V,
d^V ds
dr dx
ds,
ds
dr dy
ds,
d^V ds
dr d:
ds.
En divisant les deux [)iemières équations membre a membre, nous au-
rons
as ax
, dy ,, dr'
