TT" ^ -J

a s dtf

Mais, h cause de /■- = ./•- + ?/^ + ;% on a

(//■ ./■ d r Il di__ :■ dx /■' d/i r' il: r

en sorte que l'équation précédente devient

, dx ..

d-j-\ ds r

d'où

, dy .. , dx ..

équation qui, par l'inlégration , donne

x-^-^ — ■'/-j- \ = constante = r.

dx ^ (/,v

ou

, , cds

xdy — ijdx=:z-—-

■ on aurait de même ^

ydz — :d!j = ^ \ [A]

et

, , bds

zdx — xdz =:— ;t-

si l'on multiplie maintenant ces (rois équations respecUvemenl par z, r, y. et qu'on ajoute les produits, il viendra

on simplement

0= Y^(iJ--{-by -\-cz]

u.r-\-hy -\-cz = (> ,

éqiialion d'un plan qui passe par l'origine des coordonnées. Ainsi la courbe est tout entière dans un même plan. Ce plan sera , si le point de départ et le point d'arrivée sont donnés, celui qui passe par ces deux points el le centre d'attraction ; si l'on donne le point de départ el la direction de la vitesse initiale, ce qui déterminera le premier élément de la courbe, le plan de la courbe sera celui qui contiendra ce premier élément avec le centre d'attraction {').

En prenant le plan de la courbe pour plan des xz , et en désignant par 0 l'orientation du rayon vecteur par rapport à une direction lise choisie arbitrairement, la troisième des équations [A] deviendra

ou bien

r'clB

dt ç {V)

Dans le cas des brachistochrônes , on a 0(1')=-; I équation ci-dessus donne alors

r'dO , ,

(') Il convient de remarquer ici deux cas particuliers: celui où la droite qui joint les points de départ et d'arrivée passe par le centre d'attraction, et celui où ce centre d'attraction se trouve dans la direction même de la vitesse initiale. Ilans le premier cas, les coefficients a, b, c prendront la forme — , et la courtie sera indélerminée; dans le second, ces coefficients sont nuls et il n'y a pas alors d'autre courbe que la droite obtenue en prolongeant la direction initiale ; une telle droite comprend d'ailleurs toutes les espèces particulières qu'on peut imaginer (§ XI).

pl elle montre que faire décrite par le rayon ceclevr dam un tempx infiniment petit ext proportionnelle au carré de la vitesse. Dans le ros des Irajectoires naturelles, 0(0) = r; alors on a simplement

rhb ,

df

ce qui est la deuxième loi de Kepler, dont l'énoncé est indépendant , comme on sait, de la fonction de la dislance par laquelle s'exprime la foicc d'alti action.

Enlin , dans le cas des géodésiques, on a '^ (v) == 1 , et par suite

-dr='''

l'aire décrite par le rayon recteur est dans ce cas simplement proj^octionnelle à lu ritesse ; on voit tout de suite qu'il doit en être ainsi, puisque alors la courbe se réduit à une ligne droite ('). La deuxième loi de Kepler s'applique encore ici, car la vitesse du mobile est invariable.

(les résultats subsistent quelle que soit la position du centre d'attraction ; si l'on suppose que ce centre vienne à s'évanouir à l'infini, sur une droite donnée , alors on arrive au cas d'une force constante , toujours parallèle à elle-même , comme est ordinairement considérée la pesanteur à la surface de la terre , et les mêmes théorèmes s'appliquent avec certaines modifications aisées à découvrir.

{'• L'expression —^ dr l'aire déerile par le rayon vecieur pendant un instant dt pourrait aussi s'écrire sous la forme -^, ). étant la perpendiculaire abaissée du centre d'atiraction sur la tangente à la courbe en un point donné. De là résulteraient, pour les théorèmes que nous donnons ici, des énoncés un peu différents; on retrouverait, de celte manière, pour le cas des brachistorhrijnes, un énonce qui est dû à Euler (Mecli., loni. II.)

Nous étndiemns, en teiiriinant, la liajedoire que suivrai! im niobilt^ ;.tliiv par un rentre tixe en raison inverse dn carré de sa dislance ii ce cenire, la puissance allraclive :^ du cenire fixe, nu sa masse, étant supposée varier avec le temps, ainsi que l'indique la formule

011 f désigne la base des logarithmes liyperboliques, v-, la valeur de y. à lorigine du temps, d'ailleurs arbitraire, j: la diminuli(.n, supposée constante, de l'unité de masse dans l'unité de temps.

Lorsque a = o, la masse i>. est invariable ; la trajectoire est alors, comme on sait, une section conique, ellipse, hyperbole ou parabole.

Quelles que soient les variations de la masse u., les équations du mouvement se déduisent sans difficulté des formules générales du § précédent. Nous écrirons ces équations ainsi qu'il suil :

dt ^'

"Al

dH(

o=-r:T + « —ti-

en désignant par - la distance du mobile au centre fixe , par r la longitude

Il 1 ■ u

ou l'angle que fait le rayon vecteur avec une direction donnée et par ti une constante arbitraire qui dépend de la vitesse et de la dislance initiales. L'intégration effectuée dans l'hypothèse de y constant, donne ('), en écartant

•i>) l-aT3laT?e,-.Wré. «'/., T. I, t.i\ H. €ha|i. III.

les liiliiti'S li v|ierbuliqu('!- mi punibdiiqtics.

;f = -A 1-|-ecos(o — w) ,

ii; I '.V i '8;

[C] /i( + :=ti + Esin(c— 75)4-3Esin2^c— 5i)4-ôEsin3(r — !?)-)

La première fie oes équations est celle d'une ellipse dont le demi grand

h* yxe, que nous désifruerons par a, es! . ^. ; e est le rapport de l'ex-

cenlricilé au grand axe, t la longitude du périhélie; l'origine 'le soleil;

est ;i l'un des fovers ; £ est une arbitraire qui dépend de l'époque choisie

pour l'orijiinf' du lenqx : K, E.... sont des tondions de e déflnies par la

formule

le signe -j- ou le signe — ayant lieu selon que t est pair ou impair. Ënlin. la constante n est le moyen mouvement et a pour valeur

Supposons maintenant que x soit ditïérent de zéro. L'équation ^B] conviendra encore à la trajectoire, pourvu qu'on y considère y , f et w comme variables. La loi suivant laquelle y. varie est donnée, et l'on a

, , nx de

11 reste k déterminer e et ?r. Or, la trajectoire à éléments variables «, e et w et l'ellipse pour laquelle y-, e et w sont des constantes peuvent être amenées à avoir un point commun et une tangente commune. Les rayons de

courbure , qui dépendent de -j—;, seront seul;; différents, et la différence ,d'M d'-u ^^

°dr* ^^^ ^'^^^ valeurs de ^^ propres, l'une à la trajectoire, l'autre à l'ellipse tangentielle, sera donnée par l'équatioJi

^d*u dy.

Cela posé, la direction de la tangente est déterminée, pour lellipse. par l'équation

[Dj j|r^ = — -pcsinir— 77),

qu'on obtient en différentiant l'équation [B] dans la supposition de fi, ^ et w constants. I.a même équation, différentiée dans la supposition de u, e et

BT variables, donnerait la valeur de-r- relative à la trajectoire. Or, ces va-

du ^''

leurs de-j-; doivent être identiques de part et d'autre : on a donc

0 «x [1 -f- 0 cos (r — Tr)j da -f- y. cos [v — >Ti)dc-\- ye sin (i' — w; dis.

Si l'on différentiait maintenant l'équation [D; en y considérant y, e et ^s

d'u comme des constantes , on obtiendrait la valeur de t— 7 relative à l'ellipse ;

la valeur de -j-^ qui convient à la trajectoire doit comprendre les mêmes

termes et, en outre, ceux qui proviendraient de la différentiation par rapport à a, 1? et CT considérés comme des fonctions de c. De là résulte une nouvelle expression de ^ -r-i ou de -^, savoir:

dp- dtX ■ . UL . : J , '-^ . J

-JT^ — -T7?Sin(l" — m\ TT^in (^' — ro)ae-|--rv CCOS X — cr) ars.

Les deux équations précédentes permettent de déterminer de et ffo au moven de rfu; nous les écrirons comme il suit :

coî- [f — w)dc + esin(i' — ■^)dw = — 1 + ^cos((; — v) — ^, sin (r — r;;)de — econt: — w) t/w =z — 1-(-esin(r — ^) -7--

De ces éqiialioiis on tire, en éliininanl alternativement de e[ d'^ el en

, , d'j y- de

remplaçant ~ par — 7- —; .

j ^ r • , ^ / ri'i'^ "■ " ■ ■' "

rrf5::=-T- siinr — wi — cos(t' — w) — 5-.

dez^j\ cosk; — wi-fsint/; — ^)-\- e — :•

Si 0^ est très-petit, et a'esl ce que nous supposerons, on pourra, en intégrant les lieux équations précéiientes , obtenir, sous la forme de séries ordonnées par rapport aux puissances croissantes de «, les variations At el Al? qui correspondent à un intervalle de temps fini , embrassant un certain nombre de révolutions complètes. Nous rechercherons seulement le premier terme de chaque série. Dans ce calcul, nous devrons évidemment considérer les quantités e et w comme des constantes, toutes les fois (ju'elles sont multipliées par y..

On a tout d'abord à considérer l'intégrale / sin (r — '^i — ï- En subsliliiani il— r sa valeur en fonction de c , on aura

di: h^ /• sin(i; — ct) rfr __h^ l

.\ux deux limites de l'intégration , cette expression prend une valeur identique ; l'intégrale est donc nulle. ' :.

On a, en second lieu, à calculer / cos^r — w) —;. Or, en développant — ^ suivant les juiissances croissantes de r . on obtient

j COS(«— W,^^,

dv

z—^j cos(u— w) 1 — 2ecos(r— w)4-3^'cos'(ti— w) — ie'cos*{v—ir) \d{v — wî,

L'intégraliftii fait loul d'abord disparaître tous les termes qui renferment des puissances impaires de cos (o — w), attendu que, dans le cours d'une révolution, les valeurs successives de cos {v — sr) se détruisent muluellemenl. On a donc simplement, en désignant par / un nombre entier quelconque ,

/ COS(« — ct)

dil u'-

=r j I 2cos((3— 77)+4ecos(v— w)+6ecos(y — w)+-4-2ie cos(i;-î!r)+- \d{v—iz].

Mais d'autre part on a, quelles que soient les limites de l'intégration .

I COS V dv^= j cos »; de— j cos r sin v dv

/ ' '^'~'' J , <^os V sin V I / • -' ,

^jcos vdv-\- ^.^ --^-jcOS^.,

et par suite, lorsque y s'accroît d'un nombre entier de circonférences.

/ cos (;ri(5= — r^— / cos i- dv=z ^. —. — - - -v.

J il .1 2? 2i— 2 4 2

En conséquence, l'intégrale / cos ('-• — ??)— j se composera d'une série

de termes tels que celui-ci : r ^-r-^ ^^-T,^ (2t-f 21 e (v—rs).

Or, si l'on développe (1 — e')"', on a

Le ternie général de ce développement équiv.iui. à -^ i ^~r^' ^ .