DD"— D
A l'aide de la formule ci-dessus , nous allons maintenant en obtenir une autre qui peut être comptée au nombre des théorèmes les plus féconds dans la théorie des surfaces courbes. Introduisons les notations suivantes :
a' +6' +c' =E, aa' + bb'-j-cc'==F, a'- +6''+c''=G.
(6) a ol'-\- 6 (3"+ c y "== m' ,
(■7) a'a+6'(3 +c'y =TO,
(8) aV + 6'(B'4-c'y' = n',
(9) a'a"+ 6'(3"+ cf= vJ', A'+B'+C' = EG— F'=A.
Eliminons des équations (I), (4), (7) les quantités |î, y, ce qui se fera en multipliant ces équations par bc — cb', b'C — c'B, cB — bC, et ajoutant; nous aurons ainsi
[A (6c'— cb') + a {bT. — c'B) + a' (cB — 6C)] « ==D (6c'— c6')4-//m6'C — c'B] + n (cB- 6C\
équation que nous transformons facilement en celle-ci : AD = 3f A4- « («F— mGi + a (/«F— hE).
En éliminant des mêmes équations, soit y. et y, soit x et [î, on obtiendrait de même
BD = |3 A + & («F — mG) + /»' ( wF — nE), CD = 7 A + c (hF — wG) + (•■ (»iF — nE).
Multipliant ces trois équations respectivement par a", JB", 7" et ajoatanl,
nous obtenons
j DD"= K'+rir+77') A
( 4-??i"(hF — »iG) + «"(?nF — nE).
Si nous traitons de même les équations (2). (5), (8), il vient
AD'= a' A 4- « ('^'F — m'G) + a' {m'F — n'E], BD'=5'A + 6 («'F — ?h'G) + i' (w'F — n'E), CD'=: 7' A + C [n'F — m'G] + c' (w'F — n'E);
multipliant ces équations respectivement par a', [0, ■/ et ajoutant, on a
La combinaison de cette équation avec l'équation (10) donne
DD"— D'' = 7.x •+ 55"+ y/ — y.--— ,5'»— 7'«) A + E(h' — nn")-TF{nm" — 2m'n'-\-mn")-\-G[m'* — mm").
Maintenant il est évident que l'on a
(iE , dE . . dF . . dF , .
dp ' dq dp .' d(] '
ou bien
dG „ , (/G „ ;t-=2/i, -^=2n , rfp dq
\ dE ,1 dE „ dF 1 dG
2 dp 2 ^7 t/7 2 dp
dF 1^dE '1^ ' — liË
"~di? 2d9' "~2dp' "— 2dç'
de plus, il est facile de s'assurer que l'on a
2 dq* ^ dpdq 2
dn
dp ~ d'G dp'
dm" dp
dm dq
Si maintenant nous substituons ces expressions diverses dans la formule établie à la fin du § précédent, pour la mesure de la courbure, nous parvenons à la formule suivante, qui ne renferme que les seules quantités E, F, G, avec leurs quotients dilTérentiels du premier et du second ordre :
4(EG-FT/e = Er4-^ ^^ , dF dG /doy"
^ ' [dq dq dp dq \dpj
/dE dG.dE dG,.,dE dF , i^ ij^ , dF ^ dF dG
{dp dq dq dp " dq dq dp dq dp dp
\dp dp "dp dq^\dq}
