EG — F

dq' " dpdq dp'

Si l'on remarque que l'on a toujours

dx' + dy'-^-dz'^Edp' + 'iFdp.dq-i-Gdq*.

on voit de suite que ^Edp'-\-iFdpdq-]-Gdq' est l'expression générale d'un élément linéaire sur une surface courbe. Cela étant, l'analyse exposée dans le § précédent nous apprend que , pour trouver la mesure de la courbure , on n'a pas besoin de formules finies donnant les coordonnées x, y, z, en fonction des indéterminées p et q, mais qu'il suffit d'avoir l'expression générale de la grandeur de chaque élément linéaire. Venons à quelques applications de cet important théorème.

Supposons (jue notre surface courbe puisse être appliquée sur une autre

Miifare , cuiirbr uu [jlaiie, de lelle sorlu iju'a cliaque jjuiiit de la iiieiiiièi'e surface déterminé par les coordonnées ,r, y, z, il vienne correspondre un poiiil déterminé de la seconde surface, dont les coordonnées soient x', y', z'. Il est évident que x, y', z peuvent aussi être considérés comme des fonctions de p et (le q, d'où pour l'élément \/dx-+ily"'+ dz'^ une expression telle que

E', F', G étani aussi des fondions de p et de q. Mais par la notion même de Vappliratioii dont il s'agit ici, les éléments qui se correspondent sur chaque surface seront nécessairement égaux, et l'on aura identiquement

de sorte que la formule du § précédent conduit spontanément à ce théorème remarquable :

Si une surface courbe est appliquée sur -une autre surface courbe quelconque , la mesure de la courbure en chaque point reste invariable (').

Par suite, la courbure intégrale d'une portion finie quelconque de la surface ne changera pas.

Un cas particulier auquel les géomètres avaient jusqu'ici borné leurs recherches est celui des surfaces développables, ou susceptibles d'être appliquées sur un plan. Notre théorie nous apprend spontanément que, pour de telles surfaces, la mesure de la courbure en chaque point sera = o; c'est pourquoi , si l'on déhnit analytiquement ces surfaces en suivant la troisième méthode, on aura, pour chaque point,

drz d'-z dx'

équation caractéristique qui est connue depuis longtemps, mais qu'à notre avis du moins on ne démontre pas d'ordinaire avec toute la rigueur désirable ('].

(') Voir ei-après. Etude des surfaces continuer. § XII. (') Voir ci-après, nom (a).

r' dy' \dxdy) ~ '

Les coiisidéralions que nous venons d'exposer se lient à un mode particulier d'envisager les surfaces, qui nous paraît digne au plus haut degré de lixer l'altenlion des géomètres En effet, si l'on considère une surface non comme la limile d'un solide, mais bien comme un solide flexible et inextensible, dont une dimension est censée s'évanouir, les propriétés de la surface dépendront en partie de la forme particulière qu'elle peut prendre, par suite d'une flexion telle qu'on voudra, et seront, en partie, absolues et invariables, quelle que soit cette forme. C'est à cette dernière sorte de propriétés, dont l'étude ouvre à la géométrie un champ nouveau et très-vaste, que se rapportent la mesure de la courbure et la courbure intégrale, dans le sens que nous donnons à ces expressions ; on peut envisager sous le même point de vue la théorie des lignes géodésiques et d'autres sujets que nous nous réservons de traiter plus tard. Dans cet ordre de considérations, une surface plane ou une surface développable , qu'elle soit cylindrique ou conique, etc., sont regardées comme essentiellement identiques, et nous trouvons un mode générique de caractériser ces surfaces qui consiste à se servir de l'expression \^Edp* + 2Fdpdq + Gdq* qui lie un élément linéaire quelconque aux indéterminées p et q. Mais avant d'entrer dans plus de développements sur ce sujet, il importe de présenter les principes de la théorie des lignes géodésiques sur une surface courbe donnée.

On caractérise, en général, une ligne courbe dans l'espace en considérant les coordonnées x,y, z de tous ces points comme de certaines fonctions d'une seule variable que nous appellerons w. La longueiir d'une telle ligne,

à partir d'un i)oinl initial arbilraire jusqu'au point dont les coordonnées sont X, y, z, est exprimée par l'intégrale

/-■^(0+(£)' + fê)'

Si nous supposons que la position de celte courbe éprouve une variation infiniment petite , de telle sorte que les coordonnées de chaque point reçoivent des variations o.r, oy, d:, la variation de h longueur totale sera

'dx . dox + dy . dSy -j- dz.àoz

expression que l'on peut mettre sous la forme dx.ôx-^dy .oy-\-dz. oz

^dx*-\-dy'- + dz*

- j ^'^ L^ , dy

'■^ \^d:^TdfTd? ^ \/dx' + dy'+dz^

dz

+ dz.d

^dx^ + dy*+dz* ■

Dans le cas où la ligne doit être la plus courte possible entre ses points extrêmes, il est clair que les quantités sous le signe ./' doivent s'évanouir. Si la ligne doit se trouver sur une surface donnée, caractérisée par l'équation ,

¥dx-^(jdy + l{dz = 0,

les variations ox, oy, oz devront aussi satisfaire à l'équation

d'où, par des principes bien connus, l'on conclut facilement que les dilTérentielles

dx . dy dz

^dx' + dy'-i-dz'' ^'^y'dx'-i-dy' + dz'' "'V^dx' + dy' + dz''

doivent être respectivement proportionnelles aux ijuantilés P, 0. R. Soit maintenant dr l'élément de la ligne courbe, / le point de la surface sphéri-

que auxiliaire qui représente la direction de cet élément, L le point de la même surface sphérique qui représente la direction de la normale à la surface courbe; enfin soient l, /;, 'C les coordonnées du point l, etX, Y, Z les coordonnées du point L par rapport au centre de la sphère; on aura

dx:=zldr, dy^r.dr, dz=zÇdr;

d'où nous concluons que les différentielles ci-dessus seront représentées par dl, dr, , de.. Et comme les quantités P, Q, R sont elles-mêmes proportionnelles à X, Y, Z, la ligne la plus courte sera représentée par les équations

di d>) dç

Au reste, il est facile de voir que l^dç^-f d/i^-f-dS' représente l'arc de la surface sphérique qui mesure l'angle des directions des tangentes au commencement et à la fin de l'élément dr, et dont la valeur est —, en représentant par 0 le rayon de courbure de la géodésique en ce point. D'après cela, on aura

c/d: = X(//', odr.=z\'dr, p<iÇ:=Zdr,

XY

Considérons, sur une surface courbe, une inflnité de géodésiques parlant d'un même point donné A, et distinguons ces lignes entre elles par l'angle que fait le premier élément de chacune avec le premier élément de l'une d'elles prise pour terme de comparaison; soit s cet angle, ou, plus généralement, une fonction de cet angle, et r la longueur comprise entre le point A et le point dont les coordonnées sont x,y, z, sur la ligne géodésique correspondantes l'angle o. Comme à des valeurs données de r et 9 il correspond des points déterminés de la surface, on peut regarder x, y, 2 comme des fonctions des variables r et 9. Conservons, d'autre part, les notations À, L, $, ri, Ç, X, Y, Z dans le sens des définitions données ci-dessus, en les

rapportant à un point quelconque de telle ligne géodésique qu'on voudra. Toutes les lignes géodésiques de même longueur r seront terminées à une autre ligne dont nous représenterons par v la longueur, à partir d'un de ses points arbitrairement choisi. On pourra considérer v comme une fonction des indéterminées ?• et =, et si nous désignons par /.' le point de la surface sphérique auxiliaire qui représente la direction de l'élément dv, et, en outre, par r, r/, 'C les coordonnées de ce point par rapport au centre de la sphère, nous aurons

dx ,., dv dy , dv dz , do

' dcp ' dtp' do ' ' df' dri ■ ■ do'

de W, et des équations

dx y dy dz ^

Ir—-' dr — '' J? — "'

il résulte que l'on a

dx dx , dy dy , dz dz ,,.,, , , , y^, dv ... dv

dr do dr do dr do ^ ' do do

Nous désignerons par S le premier membre de cette équation. S sera une fonction des variables r et o, qui nous donnera , en difîérentiant par rapport à r,

dS d^ dx d^ dy . dVs dz dr dr* ' df dr* ' do dr* ' do

"•"2 do

= ^ (i£ dri dy,d^ dz 1 d['i'+r,* + K*] dr ' d? dr * do dr ' d'jj 2 dy

Mais I' + y;' 4- ?• = I , et, par suite, la différentielle de cette quantité = 0 ; d'autre part, d'après le § précédent, nous avons, en désignant maintenant par p le rayon de courbure de la ligne géodésique à son extrémité

dr p' dr~o' dr p'

Nous oblenons ainsi

(ir 0 do p ao

puisque le point /' appartient évidemment au grand cercle dont le pôle est L. Do là nous concluons que S est indépendant de ret n'est fonction que de o. Mais pour r=o, on a évidemment r = o, et conséquemmenl aussi ^ = o, a\ec S = o, indépendamment des. On aura donc généralement, dé toute nécessité, S = o, et par suite cos /./.'= o, c'est-à-dire //.■=9o''. D'où nous concluons :

THÉORÈME. — Si l'on mène, sur tine surface courbe, à partir d'un même point, une infinité de lignes géodésiques de même longueur, la ligne qui joint les extrémités de ces lignes les coupera toutes à angle droit.

Nous avons pensé qu'il importait de déduire ce théorème de la propriété fondamentale des lignes géodésiques, mais on peut le démontrer sans aucun calcul par le raisonnement suivant. Soient AB, AB' deux lignes géodésiques de même longueur, faisant en A un angle infiniment petit; sup{)OSons que l'un ou l'autre des deux angles que fait l'élément BB' avec les lignes BA , BA diffère d'un angle droit d'une quantité finie; alors, par la loi de continuité, l'un de ces angles sera plus grand, l'autre plus petit qu'un angle droit. Supposons que l'angle en B soit =90°— w, et prenons sur la ligne BA un point C tel que l'on ait

BC = BB'. cosécw,

il sera permis de traiter le triangle infiniment petit BB C comme plau , et l'on aura

CB' = BC.cosf.', et par suite

AC -f- CB'= AC -f BC . cos '0 = AB — BC ( 1 — cos w) = AB'— BC(1 — cosw),

c'est-à-dire que le chemin de A en B' par le point C serait plus court que la ligne la plus courte, ce qui est absurde.

Au théorème précédent nous joignons celui-ci :

Si l'on conçoit, sur une surface courbe, une ligne quelconque, de chacun des points de laquelle partent sous des angles droits et du même côté de la surface une infinité de lignes géodésiques de même longueur, la courbe qui joint les extrémités de ces lignes les coupera toutes à angle droit. Pour la démonstration de ce théorème, il n'y a rien à changer dans l'analyse précédente, si ce n'est que 9 doit désigner la longueur de la courbe donnée, comptée à partir d'un point arbitraire, ou, si l'on aime mieux , une fonction de celte longueur ; de cette manière, les mêmes raisonnements s'appliqueront, avec cette modification que l'équation S = o pour r = o est impliquée maintenant dans l'hypothèse elle-même. Du reste, ce nouveau théorème n'est autre chose que le théorème précédent généralisé ; car on en déduit ce dernier en adoptant pour la ligne donnée un cercle infiniment petit décrit autour du point A comme centre. Enfin, nous avertissons qu'on peut remplacer ici comme précédemment l'analyse par des considérations géométriques qui sont, d'ailleurs, si aisées à découvrir, que nous jugeons inutile de nous y arrêter (').

Nous retournons à la formule l^Edp'-f 2Fdp. dq-{-Gdq^ qui représente généralement la grandeur d'un élément linéaire sur une surface courbe, et, avant tout, nous allons examiner la signification géométrique des coefficients E, F, G. Nous avons déjà dit, au § V, que l'on pouvait, sur une surface

(') Voir ci-après, note (6).

courbe, concevoir deux systèmes de lignes : l'un pour lequel ;> est variable, q constant; l'autre pour lequel g est variable, p constant. Chaque point de la surface peut être considéré comme étant l'intersection d'une ligne du premier système avec une ligne du second ; et alors l'élément de la première ligne adjacent à ce point et correspondant à une variation dp, sera==^/E dp ; de même l'élément de la seconde ligne correspondant à une variation dq, sera z=iy^G dq ; enfin, en appelant m l'angle compris entre ces éléments, on voit sans peine que cos '.) = — =^- D'autre part, l'aire du parallélogramme infiniment petit , compris sur la surface courbe, entre deux lignes du premier système auxquelles correspondraient q et q+dq, et deux lignes du second système auxquelles correspondraient p e.\,p-\-dp, sera KEG — F^ dp dq.

Une ligne quelconque, sur la surface courbe, différente de celles qui appartiennent à l'un ou à l'autre de ces deux systèmes , s'obtient en concevant que^^ et q sont des fonctions d'une nouvelle variable, ou que l'une de ces quantités est fonction de l'autre. Soit S la longueur d'une telle courbe, menée à partir d'un point arbitraire comme origine, et dans un certain sens que nous regarderons comme positif. Appelons 0 l'angle que fait l'élément ds = \^Mp^-\-'iVdp.dq-{-(^dq^ avec la ligne du premier système qui passe parle commencement de l'élément; et supposons, pour éviter toute ambiguïté, que l'angle 0 est toujours compté à partir de la branche de cette ligne pour laquelle p augmente, et est regardé comme positif du côté où les valeurs de q augmentent elles-mêmes. Cela posé, il est très-aisé de voir que l'on a

^ — , — , ^dp + ¥dq cos0.ds = l/E.dp-)-KG.cosw.ag=^ — ;=- — •

smG.as = i/G.smo). da — = — 3.

Nous chercherons maintenant (juelle est la condition pour que celte ligne soit une géodésique. Pufsque la longueur s est exprimée par {"intégrale

la condition du minimum exige que la variation de celle intégrale soit nulle pour un changement inliniment petit dans le tracé de la ligne. J.e calcul auquel nous allons être conduits sera le plus simple possible, si nous considérons]) comme une fonction de q. Un aura alors, en représentant la variation de chaque quantité par la caractéristique o

f(^^.dp^ + ^.dp.dq + 'l^.dq^y^pM^i^dp+2Fdq]dâp ^ï.dp + ¥dq ^

lis • y

[d-p-'P''r'W'P-^^^ + Tp-''r ^Y.dp+,dq ) V 2 ds ds /

et il est constant que les quantités comprises sous le signe / doivent s'évanouir indépendamment de ^p. On aura donc

dE' , , , 2dF , , , de, , ■ ,^ . ,Erfp + F£i^ -^.dp^+-^.dp.dq + j-^.dq^=Uh.d ^l ^

^ , , .— ds.dE.cosO , , , — .

= 2t/s.(/.J/Ecosôz= -= — — 2(/s.f e.l E.smO

{Edp+Fdq)dE

— 2l^EG—¥'.dq.dB

i:i lie là nous lirons, pour h ligne géodésiqne , l'équalion de condition suivante

IF (iE j ,1 F dE , , I (lE

il: dp '■ 2E dq ' idq ^ dF , I de, ,

-rp''P-idj,-'''^'

qu'il est permis d'écrire ainsi

1/ EG — F* . */ 0 = - - . rfE + -ï -7- . dp j- ■ dp —T\-j~ ■ dq.

'2E 2 dq ' dp ^ idp '

Du reste, au moyen de l'équation

E dp F

cot y :

l/EG— F' ■ <i'} l^EG — F''

on pourrait éliminer 5 de l'équation ci-dessus, et obtenir ainsi une équation ditTérenlielle entre p et q; mais elle serait plus compliquée et moins utile pour les applications.

Les formules générales, propres à représenter la mesure de la courbure et la variation de la direction de la géodésique , auxquelles nous sommes parvenus dans les §§ XI et XVIII, deviennent beaucoup plus simples lorsque les quantités p ei q sont choisies de telle manière que les lignes du premier système coupent partout orthogonalemenl les lignes du second, c'est-k-dire de manière que l'on ait généralement m = 90", ou F = o. On a alors, en effet, pour la mesure de la courbure,

et pour la variation de l'angle 9,

Parmi les différents cas dans lesquels celte condition d'orthogonalilé est remplie, il faut en premier lieu remarquer celui où toutes les lignes de l'un ou lie l'autre système, par exemple du premier, sont des géodésiques. Alors, pour une valeur constante de q, l'angle 9 devient = o, et par suite l'équation ci-dessus , qui donne la variation de l'angle 6 , montre que l'on doit avoir jj =0, ce qui veut dire que le coefficient E sera indépendant de q, et sera, par conséquent, ou bien constant ou bien fonction de la seule indéterminée p. On pourra d'ailleurs adopter simplement pourp la longueur elle-même de chaque ligne du premier système, comptée, si toutes les lignes du premier système concourent en un point, à partir de ce point, ou, autrement, à partir d'une ligne quelconque du second système. Cela posé, il est clair que les indéterminées p et ç ne sont pas autre chose que les quantités que nous avons désignées par r et 9 dans les §§ XV et X\I ; il est clair aussi que l'on a E = 1 . De cette manière les formules précédentes se changent en celles-ci :

ou , en posant l^G = m , .

, I d*m , , dm ,

k = j^ , d 9 = T- ■ dq.

m dp* dp ^

Généralement, m sera une fonction dep et de q, et mdq l'expression d'un élément quelconque d'une ligne du second système. Mais dans le cas particulier où toutes les lignes p partent d'un même point, on aura évidemment pourp=o, m=o; si donc, dans ce cas, nous adoptons pour 9 l'angle même que le premier élément d'une ligne quelconque du premier système fait avec l'élément de l'une d'elles choisie pour terme de comparaison, et si nous re-

marquons que, pour une valeur infiniment petite de p, l'élément d'une ligne

du second système (que l'on peut considérer comme un cercle décrit d'un

rayon p], sera. =pdq, nous aurons , pour une valeur infiniment petite de p,

im dp

m,=p, et par suite, pour])=o, à la fois m = o ^ = 1-

Arrêtons-nous encore un moment à cette supposition, dans laquelle p désigne la longueur indéfinie d'une ligne géodésique , menée d'un point déterminé A à un point quelconque de la surface, et q l'angle que le premier élément de cette ligne fait avec le premier élément dune ligne géodésique donnée, partant du point A. Soit B un point déterminé sur cette ligne, pour laquelle q=o, et C un autre point déterminé sur la surface, pour lequel q aura une valeur que nous désignerons simplement par A. Supposons que les points B et C soient joints par une ligne géodésique, dont nous désignerons, d'une manière indéfinie, par s, comme au § XVIII, la longueur comptée k partir du point B; nous désignerons aussi par 0, comme dans ce même § , l'angle que chaque élément ds fait, en un point quelconque, avec l'élément dp: et, enfin , par G% 6' les valeurs de l'angle 5 dans les points B et C. Nous aurons ainsi sur la surface courbe un triangle compris entre trois lignes géodésiques, et les angles en BetC, que nous désignerons simplement par ces mêmes lettres , seront égaux , celui-là au complément de l'angle 5° à 180°, celui-ci à l'angle 9' lui-même. Mais comme, dans notre analyse, ainsi qu'il est facile de le voir, tous les angles doivent être censés exprimés, non en degrés, mais par des nombres, de telle sorte que l'angle de 57" M' 45", auquel correspond un arc égal au rayon, soit pris pour unité, il faut poser, en appelant 2r la circonférence du cercle

Cherchons maintenant quelle est la courbure intégrale de ce triangle ; la courbure, en un point donné, est ^kdu, d^ représentant un élément su-

perliciel; et comme cet élément est exprimé par indp.dq. on voit qu'il faut calculer l'intégrale / fkmdp.dq, pour toute la surface du triangle. Commençons par l'intégration suivant p, qui , à cause de A; == — ' •''-", nous donne

dm '" "1'

dq. (const. — — ) pour la courbure intégrale de l'aire comprise entre les lignes du premier système auxquelles correspondent les valeurs de la seconde indéterminée q, q + dq; comme cette courbure intégrale doit s'évanouir pour p = o, la quantité constante introduite par l'intégration doit être égale à la valeur même de ^"' pourp=o, c'est-k-dire k l'unité. Nous avons ainsi dq (1— ^), expression dans laquelle nous devons donner k |^ la valeur que prend cette fonction au point où l'élément superficiel que l'on considère vient aboutir k la ligne CB. .Mais, sur celte ligne, on a, d'après le paragraphe précédent, ;r^dq = — dO, en sorte que noire expression se cliange en dq-{-d^j. Intégrant maintenant entre les limites ^=o elq=\, nous obtenons, pour la courbure intégrale du triangle, 4-)-0' — ';''=.\4-B+C — r..

La courbure intégrale n'est autre chose que l'aire de cette portion de la surface sphérique auxiliaire (|ui correspond an triangle, affectée du signe positif ou du signe négatif, suivant que la surface courbe sur laquelle le triangle est tracé est concavo-concave, ou concavo-convexe; il faut d'ailleurs prendre pour unité de superficie le carré dont le côté est l'unité (le rayon de la sphèrei, ce qui donne i:: pour la surface totale de la sphère. Cela étant, la portion de surface sphérique qui correspond au triangle^stà la surface entière de la sphère comme r±= (A-)-B-f C— t:) est k 4?:. Ce théorème, qui, si nous ne nous abusons point, peut être compté au nombre des plus élégants dans la théorie des surfaces courbes, peut aussi s'énoncer de la manière suivante :

La somme des angles d'un tnun(jle formé par des lignes géodésiqucs sur une surface quelconque, est supérieure à 180" si cette surface est concavo-concave , et inférieure à 180" si elle est concavo-convexe , d'une quantité qui a pour mesure l'aire du triangle sphérique qui lui correspond, d'après les directions des normales, en comptant la surface totale de la sphère pour liO" (').

(') Voir ci-après, note (c).

Ai

Plus généralement, dans un polygone de n côtés, dont chaque côté serait formé par une ligne géodésiqiie, la dilïérence (en plus ou en moins , suivant la nature de la surface) entre la somme des angles et 2.t — 4 droits est égale à l'aire du polygone correspondant sur la surface sphérique , pourvu que l'on prenne 720° pour la surface totale de la sphère ; c'est ce qui découle immédiatement du théorème précédent, en imaginant qu'on ail divisé le polygone donné en triangles.

Restituons aux caractères p, q, F, F, G, ''> les significations générales qui leur avaient été attribuées précédemment , et supposons que la nature de la surface courbe que l'on considère soit, en outre, définie à l'aide de deux variables du même genre , mais différentes , p' et q' ; de telle sorte qu'un élément linéaire quelconque ait pour expression :

^E'dp''-{-2F'dp'.dq+G'dq'\

Par là, à chaque point de la surface, défini par des valeurs déterminées des variables p et q, correspondront des valeurs déterminées des variables // et q', en sorte que celles-ci seront de certaines fondions de p et de q, fonctions dont nous supposerons que la différeutiation donne

dp'=xdp-\- [idq, dq =ydp-\-ddq.

Nous nous proposons en ce moment de découvrir la signification géométrique de ces coefficients, y., [i, y, â.

On peut, d'après ce qui précède, concevoir, sur la surface courbe, quatre systèmes de lignes , pour lesquelles, respectivement , p, q, p' et q' seront des constantes. Si , jtar le point déterminé auquel correspondent les valeurs p, fj, p', 1 , nous supposons qu'on mène les quatre lignes de ces systèmes,

les cléments de ces lignes qui correspondront aux variations positives dp, dq, dp', dq, seront

\yE.dp, \yG.dq, \yW.dp', l-^ïy.dq'.

Les angles que les directions de ces éléments font avec une direction fixe arbitraire, nous les appellerons M, N, M', N', en les comptant dans le sens où la seconde ligne est placée par rapport à la première, de telle sorte que sin (N — M) soit une quantité positive; nous supposerons (ce qui est permis) que la quatrième ligne soit placée de la même manière par rapport à la seconde, de telle sorte que sin (N' — M') soit aussi une quantité positive. Cela posé, si nous considérons un autre point, intiniment peu distant du premier, auquel correspondent les valeurs p-^dp, q-}-dq, p'-j-dp', q'-\- dq', il nous suffira d'une légère attention pour voir que l'on a généralement, c'est-à-dire indépendamment des valeurs des variations dp, dq, dp', dq',

l/Ë". dj; . sin M-f l ^G". df/ . sin N =:l/f". dp' . sin M'+ l/(f . dç' . sin N',

car chacune de ces expressions n'est autre chose que la dislance du nouveau point à la ligne à partir de laquelle les angles des directions sont comptés. Mais nous avons, d'après une notation déjà introduite, N — M=w. et nous ferons, par analogie, IN' — M'=m'; nous poserons aussi N — W= !^. De celte manière, l'équation que nous venons de trouver prendra la forme suivante : .

l^W. dp . sin ( M'— oi + ■]- ) 4- l ^G . dq . sin (M'-f ^ ] = iyW .dp .s'inM'+l^W .dq' .sin [m'+ m'),

ou celle-ci :

\y"¥.dp. sm (N'— w— f.>'-|-'|) + l-'G".dy.sin (N'— r.)'+'|) ^l/r.dp'.sinlN'— «') + |/(V.dr/.sinIS'.

Et comme ré(|uation qui nous a conduits à ces deux formules doit évidemment exister indépendamment de la direction initiale, nous pouvons choisir

arbitrairement cette direction. Faisant donc N'=o dans la seconde formule, et M =0 dans la première, nous obtiendrons les équations suivantes :

l/E'. sin &)' . dp'=: l^Ë. sin (m + './— •]>) . dp + l/G . sin ('.)'— |) . dq, l/G'.sinM'.</^':=t/E.sin (■} — w).dp+ l^G-sin |.dg.

Ces équations devant être identiques à celles-ci :

dp'=x dp-{-[:j dp, dq' = y dp-\-o dq,

on pourra, par là, déterminer les valeurs des coeQicients x, ,3, •/, d. Ces valeurs seront

E' sin '.)' ' E' sin «'

G' sin w' G' sin w'

à quoi il faut joindre les équations