EG EG
à l'aide desquelles on peut écrire les quatre équations précédentes comme il suit :
a l/EG — F' = I^ËG' . sin (r.) + f.» — ■ '^ ] , ,- l/E'G — F' = l/GG' . sin (63 — ■} ) , ■/l^E'G'— F'' = l^ËË'.sin \:\ — "^), oVe'G — F'' = »/GF.sin']/.
Comme par les substitutions dp'=:xdp-\-[idq, dq'=ydp-\-ddq, le trinôme
E' dp'' + 2F'dp'.dq'+G'dq'*
doit se changer en Ed;j'-f âF^/p.ï/ç + G^/v', nous obtenons facilement
EG — F' = (E'G— F''] («-; — ^y/X- ;
et comme, inversement, le deuxième trinôme doit se changer en le premier, par les substitutions
[xo — fjy) dp=:âdp'—Çidq', {x'j — .iy) dq =—y dp' -\- y-dq , nous trouvons aussi
E.-2Fyd^ + G-/=||^;.F;.
E [y] - F (.a-+ ,3y) + Ga-/ = ^,]j ~ ^.^ . F',
E fi' - 2 F <j 4- G ^^ = ^,|:,~ p,-' • G-.
Des recherches tout à fait générales exposées dans le § précédent, nous allons descendre à une application très-étendue dans la(|uelle, en conservant kp ei q leurs significations les plus générales, nous adopterons pour p' et q' les quantités que nous avons appelées r et o au § XV, en nous servant encore de ces mêmes caractères , de sorte que, pour chaque point de la surface, ?• sera la plus courte dislance de ce point à un point pris pour origine, et o l'angle compris à l'origine entre le premier élément et une certaine direction lixe. Nous avons ainsi E = 1, F'=o, '.> = 90°; nous poserons, en outre, ^Q'=m, en sorte qu'un élément linéaire quelconque deviendra ==^dr*-i-m-df. De cette manière, les quatre équations exprimant X, [i, y, ^, auxquelles nous sommes parvenus dans le § précédent, nous donneront :
dr
dp'
(1) I^E'.cos ('.) — !) =
(2) ^/G.cos^ = ^.
(3) l^Ë.sin (■]>-'■>) = m. g|,
(4) l/G.sin]> = m.^.
Les deux dernières équations du § précédent donnent, en outre,
\ dq dpj dq \ dq dp) dp
C'est de ces équations qu'il faudra se servir pour la détermination des quantités r, y, '^ et (au besoin) m, en fonction de p et y; l'intégration de l'équation (5) donnera r; r étant trouvé, l'intégration de l'équation (6) donnera 9; ensuite, l'une ou l'autre des équations (1), (2) fera connaître ■^; enfin m s'obtiendra au moyen de l'une ou l'autre des équations (3), (4).
L'intégration générale des équations (o), (6) doit nécessairement introduire deux fonctions arbitraires dont nous comprendrons facilement la signilicalion si nous réfléchissons que ces équations ne sont pas limitées au cas que nous considérons, mais qu'elles subsistent encore en prenant r et © dans la signification plus générale que nous leur avons donnée au § XVI, de telle sorte que ?• soit la longueur de la ligne géodésiq'ue comptée à partir d'une courbe arbitraire qui la rencontre normalement, et (5; une fonction arbitraire de la longueur de li portion de cette dernière courbe interceptée enlre la géodésique et un point arbitrairement choisi. La solution générale doit embrasser toutes ces choses dans leur généralité ; mais les fonctions arbitraires se changent en des fonctions déterminées (|uand on se donne la ligne arbitraire et la fonction que '-^ doit représenter. Dans le cas
où nous nous sommes placés, on peut adopter un cercle infiniment petit, ayant son centre au point même à partir duquel les distances r sont comptées, et y représentera les portions en lesquelles ce cercle est divisé par les différents rayons; d'où l'on conclut aisément que les équations (o) et (6) suffisent complètement pour ce cas, pourvu que les fondions qu'elles laissent arbitraires soient déterminées par la condition d'exprimer convenablement *■ et 9 , soit pour le point initial , soit pour les points qui en sont inliniment peu distants.
Au reste, pour ce qui regarde l'intégration des équations (5) et (6), on peut la ramènera l'intégration d'équations différentielles ordinaires, mais tellement compliquées qu'elles n'offriraient guère d'utilité. Au contraire, le développement en séries, qui est bien suffisant pour les applications pratiques toutes les fois qu'il s'agit de portions de surfaces restreintes , n'est sujet à aucune difliculté ; des formules auxquelles on arrive ainsi découle, comme d'une source féconde, la solution d"un grand nombre de problèmes extrêmement importants. Nous nous contenterons de traiter ici un exemple particulier, pour montrer le caractère de la méthode.
