XXI

Nous considérerons le cas où toutes les lignes pour lesquelles p est constant sont des lignes géodésiques coupant normalement la ligne pour laquelle 0 = 0, ligne que nous pourrons regarder comme axe des abscisses. Soit A le point pour lequel /=o, D un point quelconque sur l'axe des abscisses, \[)=p, B un point quelconque sur la ligne gèodésique normale à AD en D, etBD = ç, de telle sorte que p puisse être considéré comme l'abscisse, q comme l'ordonnée du point B ; nous prenons les abscisses positives sur cette branche de l'axe des abscisses pour laquelle 9=:o, r étant toujours pour nous une quantité positive; et quant aux ordonnées, nous regardons comme positives celles qui se rapportent à cette région de la surface où l'angle s a des valeurs comptées de 0" à 180".

D'après le théorème du g XVI, nous aurons m = 90", F = o, et aussi G=l; nous poserons , en outre, ^E = n; n sera une certaine fonction de p et de q, telle que pour q = o, sa valeur sera = 1 . L'application de la formule donnée dans le § XVIII au cas actuel , montre que dans une géodésique quelconque, on doit avoir dO = — '£-dp, 5 représentant l'angle compris entre un élément de cette ligne, et un élément de la ligne pour laquelle q est constant; et comme la ligne des abscisses est elle-même ici une géodésique, et que, pour tous ses points, on a 0 = o, il est clair que pour q= 0, on aura partout '1^ = 0. De là nous concluons que si «est développé en série suivant les puissances croissantes de q, celte série aura la forme suivante :

n-=\-\-IY- + gq' + hq' -{-elc,

f, (j, h, etc., étant des fonctions de p ; nous poserons, d'autre part,

/■=/■" +rp + rP* + etc., 5'— 5" + £'> + . 7 "P' + etc., h= /i"+ h'p + h"p* + etc.,

et nous aurons ainsi

n=\+ foq' + f'pq* + ["fq^ + elc. ,

+ .7° 7' +9'Pf +etc., + h'q' -l-elc.

Les équations du § XXII nous donnent, dans le cas actuel, ,.sm.f = ^,cos.| = ^, -ncos.| = m.^,smt-m.|i.

\dqj \dpj dq dq^dp dp "•

A l'aide de ces équations, dont la cinquième et la sixième sont maintenant renfermées dans les autres, on pourra développer en série r, z, ■!>, m, ou des fonctions quelconques de ces quantités; parmi ces séries, nous établirons ici celles qui sont le plus dignes d'attention.

Puisque, pour des valeurs infiniment petites de p et de 7, on doit avoir r'=zp'-f ^», la série qui donne /■' doit commencer par les termes p*-)- 7' : nous obtenons les termes d'ordre supérieur par la méthode des coetïicienls indéterminés ('), au moyen de léqualion

^n dp y> \dq / savoir :

[1] r'=p'4-î'+§r/'?' + 2r;'=9'4-Jr-^r')p'?*+etc.

+ (î''"-ki''")p''i'-

Et de là nous tirons , en nous aidant de la formule r sin | := — ■ -^ ,

[^H — i^g'pg'—fg'p'f

-(i"'-hi''')p'^''

et de même , à l'aide de la formule r cos 1 ^^ ^ "70"'

(') Nous avons jugé inutile de donner iei re calcul, (ju^on |ieul il'ailleuis abrégera l'aide de quelciucs arlifices. {!Sole de W. Gauss.)

équations dont la combinaison fait connaître l'angle 4'- De même l'angle (f s'obtiendra, sous la forme la plus convenable, au moyen des séries dans lesquelles se développeront r cos 9 et r sin 9 ; pour cela, il faut se servir des équations aux diiïérentielles partielles

d.rcoscp . , . d*

— ^-— î: = n cos 9, sm ({> — r sm ?. -^ ,

d.rcosç , . d9

— -T — i = cos çp . cos 'J^i — r sin ç . y- .

d-rsinq/ . • , , d?

— -^j-^ = n sm 9 . sm I + r cos çp. -^ ,

(Z.j'sino . , , d(»

— i = sm 9 . cos •} + r cos ç . -p.

7^cos^-| + sin^^ = o,

dont la combinaison donne

rsini d.rcostp , , d.rcos9

. -, — ~ + r cos '1 . j — i = r cos 9 ,

n dp ' ^ dq ^

ï'sin-l/ d.rsinw , , d.rsino

■ — j — -^ +rcos'}. — -j — - = rsm 9.

n dp ^ dq ^

De là on déduit facilement les séries qui donnent r cos cp, r sin ç ; ces séries, dont les premiers termes doivent évidemment êtrep et q, sont les suivantes :

cos^^=.p+lrpr+^^f'fq^+(^f-j'--f^r^^p^q^ + ...

(*M + T^g'pq'+éiy'p'q'

rsin

'i='i-lrp'q-lrv'<i-{l,r-^,f-)p^9--

(^) ( —ig''p'q'-^<j'p'q'

De la combinaison des équations [2], [3], [4], [5], on pourrait tirer une série pour r^ cos (']> + !}') , et de là, en divisant par la série [1] , une série pour cos ('j'+'f), à l'aide de laquelle on pourrait arriver à une série donnant l'angle 4^ + ? lui-même. Mais on obtient ce dernier résultat d'une manière plus élégante comme il suit. En différentianl la première et la deuxième des équations que nous avons écrites au commencement de ce § , nous obtenons

sm 'II. T- + « cos 'v.-T- + sin 1 . V- = <"> ; ^ dq ^ dq ^ dp

équation qui , combinée avec celle-ci :

U cos ■{/ . y- 4- SU) 'i

nous donnera

/• sin 'h dn r sin 'l (/ {'1> + 9)

-^rco^'l '^*'^ + '^

» ' dq n ' dp

+-/tOSy. ^^

De cette équation nous tirerons facilement, |iar la méthode des coefficients indéterminés, une série pour <\'-\-'j'; cette série, dont le premier terme doit êlreâ 77 (le rayon étant pris pour unité , et 2- étant la circonférence du cercle) sera la suivante :

Il nous parait utile de développer aussi en série l'aire du triangle ABD. Pour ce développement , nous nous servirons de l'équation de condition suivante, q^ue l'on déduit de considérations géométriques aisées à découvrir ('). et dans laquelle S est l'aire cherchée :

r sin 'i dS , , dS r sin 'l . ,

• j- + r cos ■} • -T- = S ndq,

n dp ^ dq n '

l'intégration ayant pour point de départ la valeur g = o. El de là nous obtenons, par la méthode des coefficients indéterminés :

{ro''-mf'')p'^'-

Des formules du § précédent, se rapportant à un triangle rectangle formé par des lignes géodésiques, nous allons nous élever à des formules tout il fait générales. Soit C un autre point sur la même ligne géodésique DB, pour lequel , p restant le même, les caractères q', r', 9', 'Y, S', désigneront les mêmes choses que q, r, 9, ■]>, S pour le point B. Nous obtenons ainsi un triangle ABC , dont nous représenterons les angles par A, B, C, les côtés opposés à ces angles par a, b, c, et la surface par a; nous exprimerons

C) Voir ri-après noie (d).

para, f-i, y, la mesure de la courbure dans les points A, B, C; supposant d'ailleurs (ce qui nous est permis) que les quantités p,q, q — q' soient positives, nous avons

Avant tout, nous développerons 7 en série. En changeant, dans la formule [7], chacune des quantités qui se rapportent à B, en celles qui se rapportent à C, on obtient S', et par là, en poussant le calcul jusqu'aux quantités du sixième ordre,

^ — IriP' + q' + qq' + g''] ''=^p{q-q'){ -^f'p{(>p'+^q'+^qq'+^fr)

-4(^ 9" [q + q') [dp' + iq'-hiqq'+iq") Cette formule, au moyen de la série [2], savoir :

csiilB=p(l-i/-Vy=-irP9*-^(/»î= -...), se change en celle-ci :

i^-lfir-q' + qq+q'')

7=-acsinBJ A/-p(Gp*8y'-f799' + 7(/'')

— rfi^fq+^p'q-^q'+^q'q'+^qq'+^q'V

La mesure de la courbure pour un point quelconque de la surface (d'après le § XIX, où 711, p, q avaient respectivement les significations que nous attribuons ici à n, q, p] est

\ d'n 2f-\-C)Cjq-r]2hq^ + ...

n' dq'~ ]-\-fq' -{-...