I2/1 — SP

D'où il suit que, si p el rj sq rapportent au point B , on a

ri — -'2r-2f'p-6g''q — 2f"p'-Qg'pq

— (12/1» — a/'o'jg» — ...,

on a de même, pour les points C et A ,

y = -2r-irp-6(fq'--2rP'-^9'Pfl'

Introduisant ces quantités dans la série qui donne o-, nous obtiendrons l'expression suivante, qui est rigoureusement exacte jusqu'aux quantités du sixième ordre (exclusivement)

a = iacsinBJ +-1- (3 (3^* 6^' + 6^^' + 3^1

On peut, sans sortir des mêmes limites d'approximation, remplacer p, q et q respectivement par c sin B, c cos B, c cos B — a, et l'on a ainsi

1 + 7^- « (3 a' + 4 C — 9 ac cos B)

(8) (7=-acsinB + p (3 «^ -f 3 c' — 12 ac cos B) ^

+ ~y [!ta'-\-^c'-^ ac cos B)

El comme, dans cette équation, tout ce qui se rapporte à la ligne AD, menée perpendiculairement sur BC , a disparu , nous pouvons permuter ensemble

les points A, B, C, et nous obtiendrons, toujours dans les mêmes limites d'approximation ,

I + y^ a ( ;3 6' + 3 C — U> 6c eus i )

(9) '7 — -bcs\nx{ j-L 5 (36'+ 4c*— 9 6c cos A) + y^ •/ (4 6* + 3 c* — 9 6c cos A)

1 + -1^ a (3 a' + 4 6' — 9 a6 cos C)

(10) «Jz=ia6sinC( + ^ (3 (4 a' + 3 6' — 9 «6 cos C) + -i^y (3a' + 3 6= — l2fl6cosC)|

On peut, avec avantage, introduire ici la considération du triangle plan rectiligne dont les côtés sont a, b, c; les angles de ce triangle, que nous désignerons par A*, B*, C*, diffèrent des angles du triangle sur la surface courbe, c'est-à-dire, de A, B, C, de quantités du second ordre, et il n'est pas sans intérêt de développer avec soin ces différences. iNous nous contenterons du reste de poser les bases des calculs auxquels on est ainsi conduit, calculs plus prolixes que difficiles.

En changeant dans les formules [11, [4], [5] les quantités qui se rapportent à B en celles qui se rapportent à C, nous trouverons les formules propres à donner /•', r'cos9', r'siny'. Alors le développement de l'expression

r* + r'* — {(j — q'y — 2 r cos 9 . r' cos 9 — 2 r sin 9 . r' sin 9',

qui est

= 6' + c' — a* — 2 6c (cos A*— cos A),

combiné avec le développement de l'expression

r sin 'f . r cos 'f — r cos 'f . r sm y

qui est = bc sin A, fournit la formule suivante :

cos A* — cos A

= — (q — q']p sin A.

D'où l'on tire, jusqu'aux quantités du cinquième ordre,

k* — k^ — {q — q']p{-i-^g'p{q + q')+-^h'>{q*-^qq' + q'')

-^ r (lp' + lq'+\2qq+lq'')

En combinant cette formule avec celle-ci

2a = ap[^4-ir(P* + 9' + 9î' + î"--)].

et avec les valeurs des quantités a, |3, y trouvées dans le § précédent, nous obtenons, jusqu'aux quantités du cinquième ordre,

Par des opérations semblables, nous trouvons

Réunissant ces résultats, et remarquant que la somme A*+B* + C* est ^ale k deux angles droi sur deux droits, savoir :

égale k deux angles droits, nous en concluons l'excès de la somme A+B+C

il 1 1 I 4

3^+3H + 37 + 3/ p*-i-^yp(q-\-q) + [^h^-^r) iq'-qq'-q')

On aurait pu, du reste, déduire aussi cette dernière équation de la formule [6].

si la surface courbe est une sphère dont le rayon =11, on aura

ou bien

Par suite, la formule [14] devient

laquelle jouit d'une exactitude absolue; d'autre part, les formules [11], [12], [13] donnent

ou, dans les mêmes limites d'approximation.

Rn négli.ueanl les quanlilés ilii qiiniriènte ordre, ces formules doniieiil immédinlemiMit le théorème si connu, dû à l'illiislre Legendre.

INos formules générales, quand nn rejette les termes du quatrième ordre, deviennent extrêmement simples, savoir :

A*==A-^a(-2« + rH-y).

c/ = (: — ^^(^ + ri + 27).

Ainsi, les anyles A, lî, C, sur une surface non spliérique, doivent subir des réductions inégales, pour que leurs sinus deviennent proportionnels aux côtés opposés. L'inégalité, généralement parlant, sera du troisième ordre; mais si la surlacp dilTèrc peu d'une splière, alors l'inégalité atteint un ordre plus élevé: sur la surface de la terre, dans les triangles mêmes les plus étendus dont il soit possible de mesurer les angles, ou peut regarder la différence comme tout à fait insensible. Par exemple, dans le plus grand triangle parmi ceux que nous avons eu l'occasion de mesurer, il y a quelques années, celui conquis entre les points Hohehagen, Brocken, Inselsberg, dans lequel l'excès de la somme des angles se trouva être de '14", 83348, le calcul nous donna, [loiir les réductions applicables à chaque angle,

Hohehagen — 4",95H3,

Brocken — 4",95104,

Inselsberg — 4", 951 31

Pour terminer ces recherches, nous ajouterons encore la comparaison de l'aire d'un triangle sur une surface courbe avec l'aire d'un triangle recliligne ayant a, b, r pour côtés. Nous désignerons l'aire de ce triangle rectiligne par o-*, qui sera

= TT bc sin A* z=~ ac sin B* := ^ ab sin C*.

Nous avons, jusqu'aux quantités du quatiième ordre, sin A* = sin A — — ^ ■7 cos A. (i 5= + h + 7),

ou, dans les nrêmes limites d'approximation.

sin A = sin A*

I 4-,^bccosA. {2a + |3 + y)

En substituant cette valeur dans la lormule [9], an aura, jusqu'aux quantités du sixième ordre ,

'+t1ô^^'^''*+'^'"~ - '"^ '"' ^' '7 = ^bcsmA*l +-j4q r^ (3/>'+ iC— i bc cos \]\

+ 1^0 '^ {ib*-\-:ic'— 4 i(;cos a;

ou, avec la même approximation,

I' + Tfô ^ («' + - ^'' + 2 c'] + j4j r^ (2 a' + ^' + 2 r ;

Tour une surface sphérique, celle équalion prend la forme

Au lieu de celle formule, on peul aussi, comme il eslaisé de s'en assurer, adopter la suivanle, dans les mêmes limites d'approximalion :

sin A . sin B . sin C sin A*, sin B*. sin C*

Si l'on applique 'ces formules à des Iriangles Iracés sur une surface courbe non sphérique, l'erreur, généralement parlanl, sera du cinquième ordre , el loul k fait insensible dans tous les Iriangles qu'il esl possible de mesurer sur la surface de la terre.