f 2p=-- 4dr

a-l-ô-^ y = 6dr. — {a+b + c).

Ces relations subsistant, de quelque manière que soient situés les points A,B,C, ou, ce qui revient au même, de quelque manière que rig. 2. les trois droites soient menées dans le

plan, laissons immobiles les lignes DG, EH, et fnisons passer IF par le point A (fig. 2), de manière qu'elle fasse avec EH le même angle que dans sa position primitive, ou, plus généralement, puiv*que cet angle est arbitraire, de manière qu'elle touibe toujours dans Tintérieur de l'angle a. Nous aurons alors

a~i-b-^-c = 4 dr.

Donc

«-f-p-f-y = 2dr.

Pourrait-on objecter à cela que l'on a bien, par hypothèse,

h {fig. i) - b {fig. 2), mais que l'égalité

c{fig.i)^c{fig.'^)

doit être démontrée?

Il me semble qu'à cause de la valeur arbitraire laissée aux angles, cette démonstration n'est pas indispensable.

Tels sont les principes de la démonstration sur laquelle f attends votre jugement. J'ajouterai seulement, pour justltier mon raisoTinement, qu'il est bien vrai que la seconde opération fait disparaître le triangle ABC4; mais elle ne fait pas disparaître les angles du triangle. De quelque manière que les lignes soient situées, on a toujours

IBH = ^. GCF = 7, DAE = «,

aussi bien dans le triangle fini que dans le triangle évanouissaut; la

somme

lAH + GAF + DAE

est donc toujours égale à la somme des angles d'un triangle rectiligne.

Ainsi, on démontrera la proposition pour un triangle quelconque

(dont les angles sont A,B,C), en tirant les lignes DG, EH, de façon

que l'on ait

et faisant, de plus,

lAH = B, GAF = C.

Si alors lAF n'était pas une ligne droite, mais une ligne brisée lAF', l'angle c se trouverait, il est vrai, plus petit de de; mais l'angle b serait plus grand d'autant, et, par suite, la somme de ces angles n'aurait pas changé, et nous aurions ce qui nous est nécessaire pour la démonstration, l'égalité

b + c{fig.i) = b-^c{fig.^).

Copenhague, 3 mai 1831.