II. Du § 27 on tire (pm étant [H yn

ces a : sin /3 = 1 : sin u.

Op, on a (§ 29) 1 : sin m = -f (^ + -'^' '); donc

CCS a : sin p = Y (A -<- A - •) =:

équation entre a, g, a [*'].

m. Soient aa' L^ay; ^^' ei yf |I aa'(§27), etg'ay Lolol'. On aura évidemment (comme au § 27)

sm u

sin« Sh-= Sh-t t

cori « = sin p Ch

DE l'espace. 225

Par conséquent,

-i-(c-i-c-») = i-(A-f-A-»).4(fî + 5-»),

équation entre a, ft, c [*].

Si j/a^ = iî, et qu'on ait i3(î [ a(î, alors il viendra

Oc : 0* = * • sin a, et

Oc : 0[A = p'i) — \ :co%oL.

En désignant donc par O^*» pour une valeur quelconque de a;, le produit O ^ • O ^> on aura évidemment

Oa'' + Od^ — Qc\

Or, nous avons trouvé (§ 27 et § 31, II)

Od = Oh.~{A-^A-').

Par conséquent [**]

(— — \* / -1 ^\* { — *\* /— - — \' .•-/ 'J =zl\.'-H. <) .{e'^-e"^) +\e^-e \) ,

autre relation entre a , 6 , c , dont le second membre se ramène aisément à une forme symétrique ou invariable [***]. Enfin, des équations

sin |3 * ^ " sm a ' ^

n Gh — = Ch — Ch — •

[**] Sh» -r = Ch« — Sh» — + Sh* — •

i*'*J Sh»- = Gh«-Gh« - - t

= Sh« — Sh' — + Sh« - + Sh« — • } ' t t t

3% LA SCIENCR ABSOLUE

on tire (d'après 11)

col a col ^ = Y V • + e V [*] , équation entre a, p, c.

Il reste encore à montrer brièvement le moyen de résoudre les problèmes dans le système S. Après l'avoir expliqué sur les exemples les plus ordinaires, nous verrons enfin ce que peut donner cette théorie.

I. Soit ab une ligne dans le plan, et î/=i/"(j7) son équation en coordonnées rectangulaires. Désignons par dz un accroissement quelconque de z, et par dx^ dy^dules accroissements de a;, de y et de l'aire u , correspondants à cet accrois-

sèment dz. Soit bh || c/"; exprimons (§ 31) — — au moyen de y,

tttJO u T

et cherchons la limite de -^— , lorsque dx tend vers la limite zéro (ce qui est toujours sous-entendu , lorsqu'on cherche de pareilles limites). On connaîtra alors la limite de —^, et par suite

tang hbg\ et par conséquent {hbc ne pouvant évidemment être ni >, ni < iî, et par suite étant = jR), la tangente en 6 à la ligne bg sera^déterminée au moyen de y. H. On peut démontrer que l'on a

dy* -h bh^

dz On déduit de là la limite de — — , et l'on en tire, par l'intégration,

l'expression de z au moyen de x. Étant donnée une courbe réelle

quelconque, on peut trouver son équation dans le système S. Gher-

[*] col a cot ^ = Gh — •

DE l'espace. 227

chons, par exemple, Téquation d'une ligne L. Soit am l'axe de la ligne L; toute droite menée par a, autre que aniy rencontrant L (§ 19), la droite quelconque cb, partant d'un point de am, rencontrera L. Or, si 6 n est un axe, on a

X=i :sinc6»(i28),

F=cot7 c6w(i29), d'où Ton tire

Y=X+ KX'— 1, ou '

ce qui est l'équation cherchée [*]. On tire de là

Donc

bh . . , ^ — — = 1 : sin cbn = X. dx

*+4!^-^MX'-i)-\

bh dz

dz -L

-jP"X.(X.-1) .,

[*] On peut écrire cette équation sous la forme

Cii^ = e'.

d'où, en intégrant, on tire (comme au § 30)

z = i (X*— 1) »"=: i cet cbn ['].

m. On a évidemment

du hfcbh dx dx

Si cette quantité n'est pas donnée en y , il faut l'exprimer au moyen de 7/, puis en tirer u par l'intégration.

En posant ab = p, ac = q, cd=^r et cabd = s, on pourra faire voir (comme dans U) que

l'on a r , quantité égale à

d'où, en intégrant,

On peut aussi obtenir ce résultat sans intégration. Si l'on établit, par exemple, les équations du cercle (d'après le § 31, III), de la droite (d'après le § 31, II), d'une section conique (d'après ce qui précède), on pourra exprimer aussi les aires limitées par ces lignes.

On sait qu'une surface t, \\ h une figure plane p (à la distance </), est à p dans le rapport des secondes puissances des lignes homo-

logues, c'est-à-dire dans le rapport de -J-\e' -\- e '/ : 1. Il est aisé de voir, de plus, que le calcul du volume , traité de la même manière, exige deux intégrations (la différentielle elle-même ne pouvant se déterminer que par l'intégration). Il faut avant tout

[-J . = ip Sh l

DE L ESPACK.

chercher le volume renfermé entre p et tj et l'ensemble de toutes les droites L P et reliant les limites de p et de t. On trouve, pour le volume de ce solide (soit au moyen de Tintégration, soit autrement)

( Jl 2l\

^pi\e' —e •■ / -i--^pq [*].

Les surfaces des corps peuvent aussi se calculer dans le système S, ainsi que ]cs courbures, les développées et les développantes des lignes quelconques, etc. Quant à la courbure, dans le système S y ou elle sera la courbure de la ligne L elle-même , ou on la déterminera soit par le rayon d'un cercle, soit par la distance d'une droite à la courbe || à cette droite; et il est aisé de faire voir, d'après ce qui précède, qu'il n'y a pas, dans un plan, d'autres lignes uniformes que les lignes L , les lignes circulaires et les courbes H aux lignes droites.