rî*(X* — X-*) — 27rî'a

La surface engendrée par la révolution de la ligne et/ autour de «/> est égale à

^nip{Q-^-Q-') n,

et le solide engendré par cabdc est égal à

Tc i 3 Sh — T- — 2 TT i « ac.

TT îoSh — r-*

Nous supprimons, pour abréger, la méthode par laquelle on peut obtenir sans intégration tous les résultats obtenus jusqu'ici, à partir de (IV).

On peut démontrer que la limite de toute expression contenant la lettre i (et fondée par conséquent sur l'hypothèse qu't7 existe une grandeur i), lorsque i croît jusqu'à Vinflni, donne l'expression correspondante dans le système 2 (et par suite dans Thypothèse où il n'existe pas de grandeur i), pourvu qu'Une se rencontre pas d'équations identiques. Mais il faut se garder de croire que le système lui-même puisse être changé à volonté (car il est entièrement déterminé en soi et par soi) ; c'est seulement X hypothèse qui peut varier, et que Ton peut successivement changer, tant que l'on n'est pas conduit à une absurdité. En supposant donc que, dans une telle expression, la lettre i , au cas où le système S serait celui de la réalité, désigne la quantité unique dont le / a pour valeur e ; si l'on vient à reconnaître que c'est le système 2 qui est réellement vrai, imaginons que la limite en question soit prise au lieu de l'expression primitive. Alors il est évident que toutes les expressions fondées sur l'hypothèse de la réalité du système § seront (dans ce cas) absolument vraies, lors même qu'on ignore complètement si c'est le système 2 qui est ou non le système de la réalité.

Ainsi, par exemple, de l'expression obtenue au § 30 on tire facilement (soit au moyen de la difîérentiation, soit autrement) la valeur connue dans le système ^ ,

O X:= iLnX.

De I (§ 31 ) on conclut, par des transformations convenables, 1 : sin a = c : a ;

de II on tire

ces a

sin p et par suite

La première équation de III devient identique, et par suite elle

DE l'espace. 233

est vraie dans le système 2, quoiqu'elle n'y détermine rien. De la seconde on conclut

Ce sont là les équations fondamentales connues de la Trigonométrie plane dans le système 1. On trouve, de plus (d'après le § 32), dans le système 2, pour l'aire et le volume dans 111, la même valeur pç. On a, d'après IV,

D'après VII, la sphère de rayon a; est =• 4 ^^ ^S etc. Les théorèmes énoncés à la fin de VI sont évidemment vrais sans conditions.

Il reste encore à exposer (comme nous l'avons annoncé au § 32) quel est le but de cette théorie.

I. Est-ce le système 1 op le système S qui a lieu dans la réalité? C'est ce qu'on ne saurait décider.

II. Toutes les hypothèses tirées de la fausseté de l'Axiome XI (en prenant toujours ces mots dans le sens du § 32) sont absolument vraies, et en ce sens, ne s'appuient sur aucune hypothèse. Il y a donc une Trigonométrie plane a priori, dans laquelle le système seul vrai reste inconnu, et où l'on ignore seulement les grandeurs absolues des expressions, mais où un seul cas connu fixerait évidemment tout le système. La Trigonométrie sphérique, au contraire, est établie d'une manière absolue au § 26.

On a, sur la surface F, une géométrie entièrement analogue à la géométrie plane dans le système 1.

III. S'il était établi que c'est le système 1 qui a lieu, il ne resterait plus rien d'inconnu sur ce point. Mais s'il était établi que le système 1 n'est pas vrai, alors (§ 31 ), étant donnés, par exemple, d'une manière concrète, les côtés x^ y et l'angle rectiligne qu'ils comprennent, il est clair qu'il serait impossible en soi et par soi de résoudre absolument le triangle, c'est-à-dire de déterminer a priori les autres angles et les rapports du troisième côté aux

deux côtés donnés, à moins que l'on ne déterminât les quantités X, Y. Pour cela, il faudrait que l'on eût sous forme concrète quelque longueur a dont le A fût connu. Alors i seraxi Y unité naturelle de longueur (comme e est la base des logarithmes naturels). Si Texistence de cette quantité i est supposée reconnue, nous verrons comment on peut la construire, au moins avec une grande approximation, pour la pratique.

IV. Dans le sens expliqué (I et II), on pourra évidemment appliquer partout la méthode analytique moderne (si utile, lorsqu'on l'emploie dans des limites convenables).

V. Enfin, le lecteur ne sera pas fâché de voir que, dans le cas où c'est le système 5, et non le système 2, qui a réellement lieu, on peut construire une figure rectiligne égale à un cercle.

Par d, on mènera dm\\\ an de la manière suivante. Du point d abaissons db { an; en un point quelconque a de la droite aby élevons ac \ an (dans le plan d6a), et abaissons de \ ac. On aura (§27)

O ed : O ab = l : sin z,

pourvu que dm soit Hl bn. Or, sin z n'est pas > 1 ; donc ab n'est pas > de. Donc un quadrant décrit du centre a dans bac, avec un rayon = de, aura un point 6 ou o commun avec bd. Dans le premier cas, on a évidemment z ~ R. Dans le second cas, on aura (§ 25)

O ao {= O ed) : O ab = i : sin aob,

et par suite z = aob. Si donc on prend z — aob, dm sera 1II bn.

Si c'est le système S qui a lieu, on pourra, comme il suit, mener une droite L à l'un des côtés d'un angle aigu, et qui soit en même temps 111 à l'autre côté.