DE L'ESPACE

Soit am L &c, et supposons ah = ac assez petit (§19) pour que, si Ton mène hn \\\ am (§ S^), abn soit > que l'angle donné.

Menons, de plus, cp \\\ am (§ 34), et soient nbg , pcd égaux l'un et l'autre à l'angle donné, bg ei cd se rencontreront; car sïbg (tombant, par construction, à l'intérieur de nbc) coupe cp en e, on aura (à cause de bn-^cp) ebc < ecb^ et par suite ec < eb. Soient ef =^ ec, efr = ecd, ei fs \\\ ep; fs tombera dans l'angle bfr. Car, puisque bn \\\ cp, d'où bn \\\ ep, et bn \\] fs, on aura (§ 14) fbn + bfs <^R = fbn H- bjr. Donc bfs <bfr. Par conséquent, fr coupe ep , et par suite cd coupe aussi eg quelque part en d. Soient maintenant dg = de, et rf^< = dcp = grôn. On aura (à cause de cd^^gd) bn^^gt-dlfcp. Soit k (§ 19) le point ou la ligne Ldebn rencontre bg,eikl l'axe de cette ligne L. On aura bti-^kl, et par suite bkl = bgt =- rfcp. D'ailleurs, kl':^cp. Donc k tombe évidemment en ^, eigt \\\ bn. Si Ton élève maintenant ho \ sur le milieu de bg, on aura construit ho 111 6w.

Étant donnés la droite cp et le plan mah , soit c6 L wia6, bn (dans 6c/)) L 6c, et cq \\\ bn (§ 34). La rencontre de cp (si cette

ligne tombe à l'intérieur de bcq) avec bn (dans cèw), et par suite avec mab, peut se déterminer. Et si Ton donne les deux plans pcq, mab, et que l'on ait cb L mab, cr \ pcq, et (dans bcr), bn \ bcj es \ cr, bn tombera dans mab, eics dans pcq; et lorsqu'on aura trouvé l'intersection de bn et de es (si elle a lieu), la perpendiculaire menée par cette intersection, dans pcq , à la droite es sera sera évidemment l'intersection de mab et de pcq.

Sur am \\\ bn il se trouve un point a, tel quon a am ^ b7i. Si (d'après le § 34) on construit, hors dentm, gt \\\ bn, et qu'on fasse bg \ gt, gc = gb, ei cp 111 gl; soit mené Igd de telle manière qu'il fasse avec tgb un angle égal à celui que fait pca avec pcb. Cherchons ensuite (§ 36) l'intersection dq de tgd avec nôa, et soit enfin 6a L dq. On aura, à cause de la similitude des triangles de lignes L tracés sur le F de bn (l^i), db = da, et aiw^bn.

Il est facile d'en conclure que, des lignes L étant données par leurs seules extrémités, on peut obtenir de cette manière, dans F, une quatrième proportionnelle, ou une moyenne proportionnelle, et exécuter, sans recourir à l'Axiome XI, toutes les constructions géométriques qui se font sur le plan dans le système 2. Ainsi, par exemple, on pourra diviser géométriquement 4 iî en un nombre quelconque de parties égales, si l'on sait faire cette division dans le système 1.

Si l'on construit (§ 37) par exemple, nbq = -^ B, et qu'on mène (§ 35), dans le système <S, am L~bq ei\\\ bn; si l'on détermine, de plus (§ SI), jm -^ bn, on aura, en posant ja = a; (§ 28),

X=l :sin-^iî = 2,

et X sera construit géométriquement. On peut; calculer w6^ de manière que ja diffère de * îiussi peu que l'on voudra, ce qui aura lieu pour sin nbq = -^.

Si (dans un plan) pq et si sont H à la droite mn (§ 27), et