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que les perpendiculaires ab, cd à mn soient égales entre elles, on aura évidemment A d^c = A ^''6«; par suite, les angles (peutêtre mixtilignes) ecpy eat coïncideront, et l'on aura ec == ea. Si, de plus, cf=agy alors ls.acf^ [s,cag,Qi chacun d'eux est la moitié du quadrilatère fagc. Si fagc, hagk sont deux de ces quadrilatères, de base ag^ compris entre pq et st, on démontrera leur équivalence (comme chez Euclide), ainsi que l'équivalence des triangles agc^ agh, de base commune a^, et ayant leurs sommets SUT pq. On a, de plus, acf = cag, gcq = cga, et acf -\- agc + gcq = 2 iî (§ 32); par suite, on a aussi cag + acg + cga = 2 i?. Donc, dans tout triangle acg de cette espèce, la somme des angles = 2 JR. Soit que la droite ag coïncide avec ag ( || mn), ou non, l'équivalence des triangles agc, agh, tant sous le rapport de leurs aires que sous celui de la somme de leurs angles, est évidente.

Des triangles équivaleiits abc, abd {que nous supposerons désormais rectilignes), ayant un côté égal, ont des sommes d'angles égales. Menons, en effet, mn par les milieux de ac et de 6c, et soit (par le point c) pq \\ mn. Le point d tombera sur pq. Car, si bd

coupe m n au point e , et par conséquent pq â \a distance ef = eb, on aura Aa6c = A^^A^'^pa^'^uiteaussi ^abd = l^ abf, d'où il s'ensuit que d tombe en /". Mais si bd ne coupe pas mn , soit c le point où la perpendiculaire au milieu de a 6 rencontre pq,etsoïigs — ht, de sorte que st rencontre bd prolongée en un certain point k (ce qui peut se faire comme on l'a vu au § 4). Soient, de plus, si = sa, lo W st, et 0 l'intersection de bk avec lo. On aurait alors A abl= A cibo (§ 39), et par suite A abc > A abd, ce qui serait contraire à l'hypothèse.

Des triangles équivalents abc, de f ont des sommes d'angles égales.

Menons mn par les milieux de a c et de bc, et pq par les milieux de dfet de fe; et soient rs \\ mn, to \\ pq. La perpendiculaire

ag à rs sera égale à la perpendiculaire dhhtOfOU elle en différera; par exemple, d/tsera la plus grande.

Dans chacun de ces deux cas, la O df, décrite du centre a , aura avec ^5' quelque point commun k, et alors (§ 39) on aura A abk= ^abc= A def. Or, le A a A; 6 (§ 40) a même somme d'angles que le A def, et (§ 39) même somme d'angles que le A cibc. Donc les triangles abc, défont même somme d'angles.

Dans le système .S, la réciproque de ce théorème est vraie. Soient, en effet, abc, de/" deux triangles ayant même somme d'angles, et A ^«^ = A def. Ces derniers triangles auront, d'après ce qui précède, la même somme d'angles, et il en sera par suite de même des triangles abc, abl.W résulte de là évidemment

hcl+ blc + cbl = ^R.

Or (§ 31 ) la somme des angles de tout triangle, dans le système S, est < 2 iî. Donc l tombe nécessairement en c.

Soit u le supplément à 2 iî de la somme des angles du A (^bc, V le supplément à 2 iî de la somme des angles du A def. On aura

Aabc : A def= u : v.

Soit, en effet, p la valeur commune de chacun des triangles acg, gch,hcb, dfk, kfe, et soit A ci'bc = mp, A def= np. Désignons par s la

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somme des angles d'un quelconque des triangles égaux à p. On aura évidemment 2iî — u = ms — (m — 1). 2iî=2i?

— m (2 /î — 5), et w — m (2 R — s) ; de même v = w (2 /? — s). Donc ^ abc : A def=^ m : n = u : v.La démonstration s'étend sans peine au cas de Tincommensurabilité des triangles abc, def.

On démontre de la même manière que les triangles sur la surface de la sphère sont entre eux comme les excès des sommes de leurs angles sur 2 R. Si deux des angles du A sphérique sont droits, le troisième z sera Vexcès en question. Or, en désignant par p la circonférence d'un grand cercle, ce A est évidemment

— "ô — a~ (§ •"'^» ^^)' ^^^ conséquent, un triangle quelconque

ZÏJ*

dont l'excès des andes sur 2 /î est 2 , est = -7^-

Ainsi, dans le système S, l'aire d'un A rectiligne s'exprime au moyen de la somme des angles. Si a 6 croît jusqu'à l'infini, alors (§42) le rapport l^ abc : {R — ii — v) sera constant. Or A abc -^ bacn (§ 32, Y), et iî — u — v -- z (§ 1). Donc

bacn :z=^I\ abc : (R—u—v)=bac'n' : z'.

On a, de plus, évidemment (§ 30)

bdcn : bd'c'n' z=ir:r'=. tang z : tang z'.

Or, pour y' — 0, on a bd'c'n'

i, et aussi

tang z'

bac' n' Par conséquent,

bdcn : bacn = tang z : z.

Mais nous avons trouvé (§32)

bdcn = r. i

i* lang z.

Donc

bacn =^ z. i*.

En désignant désormais, pour abréger, par A tout triangle dont le supplément de la somme des angles est z , nous aurons ainsi

On conclut de là facilement que, si or \\\ am et ro \\\ab, Vaire comprise entre or, st, bc (laquelle est évidemment la limite absolue de l'aire des triangles rectil ignés indéfiniment croissants, ou la, limite de A pour z .-^ '^ R), sera égale à Tû î* = O i (dansF). En désignant cette limite par D, on aura encore (§ 30)

TT î« = tang* z.U = Qr (dans F) (| 21) = 05(i32,VI),

en représentant la corde cd par s. Si maintenant, au moyen d'une perpendiculaire élevée sur le milieu du rayon donné s du cercle dans un plan (ou du rayon de forme L du cercle dans F), on construit (§ 34) db \\\'é:icn\ en abaissant ca L ^6, et élevant cm L ca, on aura z; d'où (§ 37), en prenant arbitrairement un rayon de forme L pour unité , on 'pourra déterminer géométriquement tang'z, au moyen de deux lignes uniformes de même courbure (lesquelles, leurs seules extrémités étant données, et leurs axes construits, pourront évidemment être traitées comme des droites dans la recherche de leur commune mesure, et équivaudront sous ce rapport à des droites).

On peut, en outre, construire comme il suit un quadrilatère, par exemple, un quadrilatère régulier, d'aire = D- Soit abc = R, bac = ^ R, acb = -f jR, et bc = x. On pourra exprimer X (§ 31, II) par de simples racines carrées, et le construire (§ 37).

DE l'espace. 24f

Connaissant X, on pourra déterminer rc (§ 38, ou encore §§ 29 et 35). L'octuple du A (^bc est évidemment = □ , et par là un cercle 'plan se trouve carré géométriquemenl au moyen d'une figure recliligne et de lignes uniformes de même espèce (c'est-à-dire de lignes équivalentes à des droites quant à leur comparaison entre elles) . Un cercle de la surface F est planifié de la même manière ; alors ou V Axiome XI d'Euclide est vrai, ou l'on a la quadrature géométrique du cercle, quoique rien jusqu'ici ne décide laquelle des deux propositions a réellement lieu. Toutes les fois que tang * z est ou un nombre entier, ou un nombre fractionnaire rationnel, dont le dénominateur (après réduction à la plus simple expression ) est ou un nombre premier de la forme 2"* + i (dont 2 r= 2° + 1 est un cas particulier), ou un produit d'autant de nombres premiers de cette forme que Ton voudra, dont chacun (à l'exception de 2, qui peut seul entrer un nombre quelconque de fois) n'entre qu'une seule fois comme facteur; on pourra, par la théorie des polygones donnée par Gauss (et pour de telles valeurs de z seulement) , construire une figure rectiligne = tang * z = O 5. Car la division de Q (Je théorème du § 42 s'étendant facilement à des polygones quelconques) exige évidemment le partage de 2 iî, lequel (comme on peut le démontrer) n'est possible géométriquement que sous la condition précédente. Dans tous les cas pareils, ce qui précède conduit facilement au but; et toute figure rectiligne peut être transformée géométriquement en un polygone régulier de n côtés , si n est de la forme indiquée par Gauss.

Il resterait encore, pour compléter entièrement nos recherches, à démontrer l'impossibilité de décider (sans avoir recours à quelque hypothèse) si c'est le système 2, ou quelqu'un des systèmes S (et lequel) qui a lieu réellement. C'est ce que nous réserverons pour une occasion plus favorable.