PAR W. BOLYAI

{Tentamen, t. Il, p. 880 et suiv.)

Qu'il me soit permis d'ajouter ici quelques remarques appartenant à l'auteur de Y Appendice, qui voudra bien me pardonner si je n'ai pas toujours bien rendu sa pensée.

Les formules de la Trigonométrie sphérique (démontrées dans le Mémoire précédent, indépendamment de l'Axiome XI d'Euclide) coïncident avec les formules de la Trigonométrie plane, lorsque Von considère (pour nous servir d'une façon de parler provisoire) les côtés d'un triangle sphérique comme réels, ceux d'un triangle rectitigne comme imaginaires ; de sorte que, lorsqu'il s'agit des formules trigonométriques , on peut regarder le plan comme une sphère imaginaire, en prenant pour sphère réelle celle dans laquelle sin R = 1 .

On démontre (§ 30) qu'il existe une certaine quantité i (dans le cas où l'Axiome d'Euclide n'a pas lieu), telle que la quantité correspondante / est égale à la base e des logarithmes naturels. Dans ce cas, on établit encore (§ 31) les formules de la Trigonométrie plane, et de telle manière (§ 32, Vil) que les formules sont .encore vraies pour le cas de la réalité de l'axiome en question, en prenant les limites des valeurs pour i — oo . Ainsi le système euclidien est en quelque sorte la limite du système antieuclidien pour i - — 00 . Prenons, dans le cas de l'existence de t, l'unité = i, et étendons les définitions des sinus et des cosinus aux arcs imaginaires, de sorte que, p désignant un arc soit réel, soit imaginaire, l'expression

DE l'espace. ^4i

soit toujours appelée le cosinus de /), et Texpression

le sinus de p.

On aura alors, pour q réel,

= sin (— q V— l) = — sin (^ V— l), et de même

= CCS (— g K— l) = ces {q V— l),

en admettant que, dans le cercle imaginaire comme dans le cercle réel, les sinus de deux arcs égaux et de signe contraire soient égaux et de signe contraire, et que les cosinus de deux arcs égaux et de signe contraire soient égaux et de même signe.

On démontre, au § 25, d'une manière absolue, c'est-à-dire indépendamment de Taxiôme en question, que, dans tout triangle recliligne, les sinus des angles sont entre eux comme les circonférences qui ont pour rayons les côtes opposés à ces angles. On démontre en outre, pour le cas de l'existence de la quantité i, que

la circonférence de rayon y est égale à xi \e' — e * /, ce qui,

pour ^ = 1 , devient T,\e — e J .

Par suite (§ 31), dans un A rectiligne rectangle dont les côtés de l'angle droit sont a et 6 , et Fhypoténuse c , et dont les angles opposés aux côtés a, 6, c sont a, p, i?, on a (pour i = 1) :

D'après I ,