sin a

= — sin (c V— l) : — sin (a V— l)

= sin (c |/^) : sin (a |/^) ; D'après II ,

cos « ; sin p =: cos (a V — l) : 1 ; D'après III ,

cos (c K^) = cos (a I/^n). cos (6 V^^).

Ces formules, comme toutes les formules de Trigonométrie plane qui en découlent , coïncident complètement avec les formules de la Trigonométrie sphérique, à cela près que si, par exemple, les côtés et les angles d'un A rectiligne rectangle sont désignés par les mêrties lettres que ceux d'un A sphérique rectangle, les côtés du A rectiligne devront être divisés par V— 1 pour que l'on obtienne les formules relatives au A sphérique.

Il vient ainsi, pour Uû A sphérique,

par 1 , 1 : sin a = sin c : sin a ;

par II , 4 : cos a = sin p : cos « ;

par III , cos c = cos a cos b.

Le lecteur pouvant se trouver arrêté par l'omission d'une démonstration (p, 233), il ne sera pas inutile de faire voir, par exemple, comment de l'équation

e -{- e on déduit la formule

c* = rt" -I- 6',

ou le théorème de Pylhagore pour le système euclidien. C'est pro-

DE l'espace. 245

bablement ainsi que Tauteur y est parvenu , et les autres conséquences s'en tirent d'une manière analogue. On a, par la formule connue,

2^■* ±d.i' 2.3.4.Î* et par suite

en désignant par — :— la somme de tous les termes qui suivent -7^ ;

et l'on a w -— 0, lorsque i —-00 . Car tous les termes qui suivent

-tj- étant divisés par i\ le premier de ces termes sera ; et

comme le rapport d'un terme au précédent est partout < -r— , la

k* somme est moindre qu'elle ne serait, si ce rapport était =—r^, c'est-

à-dire moindre que

quantité qui évidemment -— ^ 0 lorsque t - —- 00 . De l'équation

il résulte (en appelant w, v, X des quantités analogues à u)

d'où

a' + 2a6 4- 6' + a^—lah + 6' + »; + X — w

quantité qui — a' + ^/

Remarque. • — Le rayon de la sphère dans laquelle le sinus total l =z i est l'ordonnée y d'une ligne L, égale à i =z i et menée par une des extrémités de L perpendiculairement à l'axe passant par l'autre extrémité. Car, dans la surface appelée F (§ 21), toute la Géométrie euclidienne a lieu, les lignes L jouant le rôle des lignes droites; et pour un rayon de forme L égal à 1, lequel sera le sinus total dans F, le rayon de la même circonférence dans son plan sera le y en question ; ce qui s'applique facilement à la sphère imaginaire à laquelle le plan se ramène dans le système antieuclidien.

{Kurxer Grundriss u. v. w., p. 82).

Lobatschewsky et l'Auteur de VAppendix considèrent l'un et l'autre deux points a,b de la sphère-limite et les axes correspondants am , bn (§ 23). Us démontrent que, si a, p, y désignent les arcs de cercle-limite ab, cdyhl, séparés par les segments d'axe ac — i, ah = X , on a

^ = {jî-

Lobatschwesky représente la valeur de —par e~* , e ayant une valeur quelconque > 1, dépendante de l'unité de longueur qu'on a choisie, et pouvant être supposée égale à la base népérienne.

L'auteur de VAppendix est conduit directement à introduire la

base des logarithmes naturels. Si Ton pose -—=:§, et que y, y' soient des arcs situés aux distances y, i de a, on aura

d'où

Il démontre ensuite (§ 29) que, si u est l'angle que fait une droite

DE l/ESPACE. 247

avec la perpendiculaii'e y h sa parallèle, on a

r = cot -f M.

Si l'on pose donc ^ = -3 w, il viendra

r=tang (2+ -!-«)=:-

tang;: + tang yw

tangztang^w

d'où l'on lire, en ayant égard à la valeur de tang -^-u ^ Y ' ,

langz=3 -;-(F-r-*) = -f (/^ - /" "^) (i 30).

Si maintenant y est la demi-corde de l'arc de cercle-limite 2 r,

r on prouve (§ 30) que = constante. En représentant par t

2r celte constante, et faisant tendre y vers zéro, on aura -^ — ^^ 1,

d'où

ly — 2 1 tang 2 — t.

2 m ou en posant — :— =A:, I=e^,

kl • — e '— l.^A:/(l + w),

&) étant infiniment petit en même temps que k. Donc, à la limite, 1 — /, et par suite I = e.

La circonférence tracée sur la sphère-limite avec l'arc r de courbe-limite pour rayon, a pour longueur 2i:r. Donc

Cy = 2:Tr=r27rîiang2 = 7rt(r— F"*) •

Dans le A rectiligne où a, p désignent les angles opposés aux côtés fl, 6, on a (§25)

sinaisinp = Oa:Ob = izi{A^A~^): ni{B — B~^) = sin (a l/H?) : sin (b l/Hi) .

Ainsi dans la Trigonométrie plane comme dans la Trigonométrie

248 LA SCIENCE ABSOLUE DE l'eSPACE.

sphérique, les sinus des angles sont entre eux comme les sinus des côtés opposés, si ce n'est que, sur la sphère, les côtés sont réels, et que dans le plan on doit les considérer comme imaginaires, de même que si le plan était une sphère imaginaire.

On peut arriver à cette proposition sans avoir déterminé préalablement la valeur de /. Si Ton désigne, en effet, la constante

par ^, on aura, comme précédemment,

d'où l'on déduit la même proportion que ci-dessus, en prenant pour i la distance pour laquelle le rapport / est égal à e.

Si l'axiome XI n'est pas vrai, il existe un i déterminé, qu'il faut substituer dans les formules. Si, au contraire, cet axiome est vrai, il faudra faire dans les formules i = oo . Car, dans ce cas, la

quantité — = F est toujours = 1, la sphère-limite étant un plan,

et les axes étant des parallèles dans le sens d'Euclide. L'exposant

-r- doit donc être nul, et par suite i = oo .

Il est facile de voir que nos formules de Trigonométrie plane s'accordent avec celles de Lobatschewsky. Prenons, par exemple la formule de l'art. 37, p. 116,

tang n (a) = sin B tang n (j)) ,

a étant l'hypoténuse d'un A rectangle, p un côté de l'angle droit, et B Tangle opposé à ce côté. Notre formule du § 31 , 1, donne

l:sinB = (i— A~'):(P-P~') .

Or, en faisant, pour abréger, -f n (/c) = A;', on a

tang2;î' :tang2a' = (cota'— tanga'):(cotp'— tang/)')

= i : sin 5.