DE LA

Depuis le temps où le génie de la Grèce s'est illustré par l'invention de la Géométrie rationnelle, on s'est occupé, à toutes les périodes d'activité intellectuelle, de discuter les vérités fondamentales sur lesquelles cette science repose; et cependant, quels qu'aient été le nombre et le mérite des savants qui ont pris part à ce débat, les questions pendantes, relatives aux premiers principes, semblent attendre encore leur solution définitive.

Les auteurs modernes qui ont écrit les premiers sur la Géométrie, en prenant naturellement l'antiquité pour modèle, n'ont pas toujours aperçu la diversité des points de vue des géomètres auxquels ils faisaient des emprunts ('). De là les incohérences de principes qui se sont perpétuées dans les livres élémentaires jusqu'à nos jours, ptque la force de l'habitude empêche de reconnaître, malgré leur contraste choquant avec l'état actuel de la Science.

Sans doute ces imperfections n'ont pas échappé à la généralité des mathématiciens éminents de notre époque. Malheureusement on serait tenté de croire que ces vices des méthodes didactiques, adoptées pour l'enseignement des éléments, n'étendent pas leur influence funeste jusqu'à la région des hautes théories, où se font

(') Voir, par exemple, la Note IV, où est expliquée la divergence des doctrines développées par Euclide et par Archimède, et que les auteurs modernes ont cru pouvoir confondre en une seule.

UoiiEL. — Essai. i

2 introduction:.

les bi'illanles découvertes, et les maîtrcs'de la Science ne paraissent pas se préoccuper de délivrer les leçons données aux commençants des fausses idées qui s'y rencontrent et d'appuyer de leur imposante autorité les changements queréclament les méthodes en usage.

En attendant que le secours nous vienne d'en haut, j'ai cru qu'il ne serait peut-être pas inutile de recourir à une autre autorité, consacrée par une tradition plus de vingt fois séculaire, et dont le nom seul commande l'attention. Euclidc, il est vrai, compte aujourd'hui chez nous plus d'admirateurs que de lecteurs, et cet abandon a son excuse dans l'absence d'une traduction française en langage géométrique moderne, pareille à celles qu'ont données depuis longtemps Barrow, en Angleterre, et Lorenz, en Allemagne, et tout récemment M. V.-Zakhartchenko, en Russie. Il n'est pas étonnant que la forme pesante et embarrassée du texte ancien, reproduite dans nos versions littérales, ait puissamment contribué à rebulcr les lecteurs. Pourvus d'une traduction plus lisible, nos auteurs nriodernes, en étudiant sérieusement le grand géomètre grec, auraient pu constater les fautes de méthode et de logique qui déparent leurs ouvrages et qu'Euclide se serait bien gardé de commettre.

Le but principal du présent travail est de mettre en lumière la supériorité d'Euclide sur la plupart des auteurs contemporains, pour tout ce qui touche l'exposition des premiers principes de la Géométrie. Notre admiration pour l'auteur des Eléments ne nous entraînera pas, il est vrai, jusqu'à proposer la substitution pure et simple du texte d'Euclide aux Traités modernes. La forme de l'exposition, même dans une traduction libre, choquerait les habitudes des lecteurs. Ensuite, plusieurs passages, défigurés peutêtre parles commentateurs ou les copistes, devraient être modifiés. Enfin les tendances des Mathématiques modernes visent à introduire de plus en plus dans l'enseignement la méthode analytique et inductive, dont les avantages sur la méthode dogmatique des anciens ne sont plus aujourd'hui contestés.

Mais, tel qu'il est, le vieil Euclide offre encore à nosauteurs actuels la matière de nombreux emprunts, qui amélioreraient notablement leurs ouvrages. Ils y verraient avec quel soin les axiomes sont posés et réduits au moindre nombre possible. Ils apprendraient que jamais Euclide n'a songé à donner de la ligne droite la prétendue

définition qui se lit en tête de presque tous nos Traités classiques, et que tant de gens attribuent au grand géomètre, sur la foi de quelques traductions infidèles (').

Pour établir sur une base solide les principes de la Géométrie, il faut commencer par établir les axiomes sur lesquels la Science repose, et savoir préciser la dépendance qui existe entre chacune des propositions et les axiomes admis.

Cette question conduit à chercher ce que deviendraient les propositions d'Euclide, à partir de la 29*, dans le cas où l'on ferait abstraction de l'axiome des parallèles, et nous dirons, à ce propos, quelques mots des découvertes profondes faites sur cet objet, dans les premières années de ce siècle, par Lobatchefsky etBoljai, qui, tous les deux, sans s'être entendus, sont parvenus en même temps à reconstituer la théorie que Gauss possédait depuis longues années sans la communiquer au public. Cette nouvelle géométrie, après avoir soulevé de vives oppositions, fondées en grande partie sur des malentendus, a fini par trouver accès chez la généralité des mathématiciens, et déjà elle a rendu de grands services à l'Analyse, en lui offrant un nouveau moyen de représentation géométrique des symboles analytiques, dont la représentation par la Géométrie usuelle n'est qu'un cas particulier.

La source de ce désaccord passager entre les géomètres doit être cherchée, croyons-nous, dans le faux point de vue métaphysique où l'on s'est placé en considérant la Géométrie comme une science de pur raisonnement et ne voulant admettre parmi ses axiomes que des vérités nécessaires et du domaine de la logique abstraite. On a été conduit ainsi à attribuer aux axiomes une nature toute différente de celle des autres vérités géométriques que l'expérience nous révèle en dehors de toute étude scientifique, et que le géomètre rattache à ces axiomes comme conséquences.

Cependant la Géométrie, de même que la Mécanique et la Phy-

(*) Ce théorème sur la ligne de plus courte distance ne signifie pas autre chose

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que l'énoncé des conditions de minimum de l'intégrale définie /, i^i dx'-^dy--i-dz'*

et ne peut être compris qu'après l'explication, plus ou moins élémentaire, de l'opération indiquée parle signe sonimatoire. Autrement, on fait du Calcul intégral comme M. Jourdain faisait de la prose, et nous ajoutons qu'on le fait mai. ( Voir Note IV.)

sique, a pour objet l'ëtude d'une grandeur concrète, l'étendue ('), affectant nos sens d'une certaine manière, et c'est seulement parles révélations des sens que nous avons pu connaître les propriétés . fondamentales de cette espèce particulière de grandeur. Ces propriétés, indéfinissables et indémontrables, sont les termes de comparaison obligés auxquels nous ne pouvons que rapporter les autres propriétés, à l'aide du raisonnement.

D'après cela, les sens peuvent seuls nous mettre en relation avec l'étendue, et ils nous en font connaître déjà un grand nombre de propriétés, sans emprunter le secours de la logique déductive. Parmi ces propriétés, les unes sont tellement simples, tellement faciles à constater, que la force de l'habitude, jointe à la tradition constante de l'École, a bien pu faire oublier leur véritable origine, et le rôle essentiel qu'ont joué les sens dans leur découverte. On a confondu, sous le nom d'axiomes, ces vérités avec les vérités abstraites, qui se rapportent à la science des grandeurs en général . ou à l'Arithmétique universelle (*).

D'autres propriétés, enseignées également par l'expérience et jouissant de la même certitude immédiate que les précédentes, se déduisent néanmoins de celles-ci comme conséquences, et on les a classées, sous le nom de théorèmes, à côté des vérités plus cachées, que Je raisonnement seul pouvait faire apercevoir.

Le partage de ces vérités fondamentales en axiomes et en théorèmes est, jusqu'à un certain point, arbitraire. Ainsi, lorsque deux de ces vérités sont des conséquences réciproques l'une de l'autre, on peut prendre celle des deux que l'on voudra pour axiome, l'autre devenant alors un théorème.

Le nombre des axiomes peut varier, suivant l'ordre que l'on adopte dans la subordination des propositions. Il y a cependant un minimum au-dessous duquel ce nombre ne saurait être réduit, comme le prouvent les tentatives infructueuses auquelles nous faisions tout à l'heure allusion.

Nous nous proposons, dans ce travail, de présenter quelques

(') Voir Noie I.

(') Ainsi, parmi les douze propositions qu'Euclide désigne sous le nom de xotval êvvotai, les trois dernières seules appartiennent spécialement à la Géomélrre. Les sept premières s'appliquent à toute espèce de grandeur.

considérations sur le nombre et la nature des axiomes nécessaires de la Géométrie rationnelle. Nous avons dû examiner, à celte occasion, les idées qui ont servi de base aux Eléments de Legendre, et qui dominent encore dans la plupart des Traités modernes, auxquels celui de Legendre a servi de type. Pour y reconnaître de nombreuses inexactitudes, il nous a suffi d'en faire la comparaison' avec les principes d'Euclide et les discussions des géomètres qui ont su se pénétrer de l'esprit de l'immortel auteur des anciens Eléments.

L'ouvrage d'Euclide lui-même, quelque supériorité que l'on doive lui reconnaître sur ses successeurs, ne nous a pas paru à l'abri de toute critique, et nous avons cru pouvoir y signaler de légères imperfections, qu'il serait d'ailleurs aisé de faire disparaître, sans altérer au fond l'admirable enchaînement des vérités que renferme ce chef-d'œuvre de logique.

L'immense succès qu'ont eu les Eléments de Legendre, à leur apparition, n'est pas dû seulement à la renommée scientifique de cet illustre analyste. Il tient aussi aux éminentes qualités de précision et de clarté qui distinguent la rédaction de ce livre, où l'auteur a si bien su reproduire la forme et le style des géomètres de l'antiquité. Malheureusement Legendre, entraîné par l'exemple de ses contemporains, n'a pas su conserver dans toute leur pureté les méthodes vraiment géométriques des anciens, et il les a profondément altérées, en y mêlant les procédés arithmétiques de l'Ana- Ij'se moderne.

Chez Euclide, la Géométrie forme une science complète, qui se suffit à elle-même et n'invoque nulle part, dans ses démonstrations; le secours de la science des nombres. C'est plutôt celle-ci qui empruntera à la Géométrie ses dénominations et qui, rendue sensible aux yeux par Je moyen des figures, pourra fonder ses premiers principes sur une évidence tout intuitive.

Legendre, au contraire, introduit à chaque instant dans ses raisonnements des considérations qui supposent les grandeurs géométriques remplacées par des nombres. C'est ainsi qu'il parle de produit de lignes multipliées par des lignes ou par des surfaces. Dans les démonstrations où il fait usage des proportions, il applique immédiatement aux proportions entre lignes des théorèmes d'Arithmétique établis seulement pour les proportions entre nombres

rationnels, et l'extension au cas des incommensurables, qu'il croit démontrer par un artifice imité des géomètres anciens, ne peut être justifiée, tant que l'on n'a pas défini avec plus de précision l'égalité de deux rapports entre quantités incommensurables. Nous n'insisterons pas davantage sur les défauts de ces méthodes, qui aujourd'hui sont en partie abandonnées.

Nous nous occuperons plus particulièrement des propositions fondamentales du premier Livre, qui se rattachent immédiatement aux axiomes. Gomme nous l'avons déjà fait entendre, si l'on n'avait d'autre but que de mettre hors de doute chacune des vérités géométriques, on pourrait faire un bien plus large appel à l'expérience, en supprimant la plupart des démonstrations dans cette partie de la Géométrie, et prenant pour axiomes le plus grand nombre des propositions énoncées. Nul homme de bon sens aujourd'iïui ne se donnerait la peine de réfuter un sophiste niant que, pour aller d'un point à une droite, la perpendiculaire soit j)lus courte que l'oblique, et ce n'est pas l'évidence qui manquerait à cette proposition pour être rangée parmi les axiomes de la Géométrie.

Mais l'auteur d'un Traité de Géométrie ne doit pas seulement chercher à convaincre l'esprit du lecteur, il doit chercher à l'éclairer et, s'il ne s'attache pas à établir avec soin l'enchaînement et la subordination des propositions, il arrivera à rassembler des vérités qui resteront isolées et stériles. Faute de connaître le lien qui les unit, le lecteur ne sera nullement préparé à passer des vérités connues à d'autres plus cachées, et il aura perdu l'occasion de se familiariser, sur des exemples simples, avec les procédés de recherche de la Géométrie.

Il importe donc de bien préciser d'abord quelle est la nature des axiomes, et de les réduire au plus petit nombre possible. Pour nous guider dans cette recherche, nous ne perdrons jamais de vue celte maxime, trop souvent méconnue, que les vérités simples doivent pouvoir se démontrer simplement. Si quelqu'un des premiers principes de la Science ne peut se déduire d'une manière courte et facile des principes précédemment posés, on aura lieu de soupçonner qu'il n'en est pas une conséquence et qu'il est luimême un axiome indémontrable. Il faut donc se défier des démonstrations longues et compliquées, par lesquelles on a souvent pré-

tendu établir des propositions qu'on s'obslinait à ne pas admettre parmi les axiomes. Par un examen approfondi, on a fini généralement par constater qu'il en est de ces démonstrations comme des appareils ingénieux au moyen desquels on espère quelquefois réaliser le mouvement perpétuel. 11 s'en faut de bien peu que l'appareil ne marche; mais il ne marche pa^. D'autres fois, on s'aperçoit que la proposition à démontrer n'avait pas été rattachée à celles dont elle est naturellement la conséquence.

Si nous appliquons ces considérations à l'examen des Traités de Géométrie qui ont paru jusqu'à ce jour, nous verrons sans peine qu'ils laissent presque tous à désirer sous ces divers rapports.

Au point de vue de la rigueur des déductions et du choix des axiomes, aucun Traité, jusqu'à présent, n'a surpassé les Eléments d'Euclide, malgré quelques points défectueux, qu'il serait facile de corriger. Si les démonstrations d'Euclide n'ont pas toujours la simplicité qui semble régner dans les Ouvrages modernes, cela tient bien moins au fond même de ces démonstrations qu'à la forme dogmatique adoptée par l'auteur dans sa préoccupation de fermer avant tout la bouche à des sophistes que la Grèce avait le tort de prendre au sérieux. De là son habitude de démontrer toujours qu'une chose ne peut pas ne pas être, au lieu d'établir qu'elle est et de faire voir en même temps pourquoi elle est et comment on a été conduit à reconnaître son existence. Il sufdrait souvent de quelques légères modifications pour transformer les raisonnements indirects d'Euclide en raisonnements directs. On ne peut d'ailleurs lui faire un reproche de n'avoir pas usé dans certains cas des procédés beaucoup plus courts de l'Analyse moderne.

On est forcé de convenir aussi que l'ordre des propositions du premier Livre d'Euclide n'est pas complètement satisfaisant; il semble quelquefois que l'auteur ait rangé ses propositions sans avoir égard à leur simplicité ou à leur importance, et en s'imposant pour seule condition que la démonstration de chaque proposition ne s'appuyât que sur les propositions qui la précèdent (').

Si l'on joint à cela l'absence d'une bonne traduction française, faite en dehors de toute préoccupation archéologique, et repro-

(') Voir les notes relatives aux propositions 5 et 13 du premier Livre d'Euclide, pages 19 et 25,

duisant les idées de l'auteur dans le langage plus clair et plus précis de la Géométrie moderne, on comprend que la lecture d'Euclide puisse offrir quelque difficulté aux commençants, et ainsi s'explique, jusqu'à un certain point, l'oubli où il est tombé dans nos écoles.

Et cependant, pour un géomètre intimement pénétré de l'esprit de rigueur qui règne dans cet admirable Ouvrage, et joignant à cela la connaissance des ressources de la science actuelle, rien ne serait plus aisé que de tirer du Livre des Éléments un Traité aussi correct pour le fond des idées, et débarrassé de ce que la forme offre d'aride et de rebutant ('). Il lui suffirait de subordonner les propositions à un ordre plus rationnel, de remplacer autant que possible les démonstrations par l'absurde par des démonstrations directes, plus simples et plus lumineuses, et enfin d'invoquer, quand il y a lieu, le grand principe des limites, que les anciens n'avaient osé formuler dans toute sa généralité.

Sans vouloir entreprendre une lâche aussi longue, je me bornerai ici à soumettre aux auteurs, qui seraient disposés à concourir à cette œuvre si utile, le résultat de mes recherches sur le premier Livre d'Euclide.

J'ai commencé par donner la traduction des trente-deux premières propositions de ce Livre, qui font l'objet de mon travail. En abandonnant le système littéral suivi par R. Simson et par Peyrard, j'ai pris pour modèle l'édition allemande de Lorenz, où le langage ordinaire est remplacé autant que possible par les signes algébriques, plus concis et plus clairs.

J'indique, dans les notes placées au bas des pages, les endroits où le texte d'Euclide m'a semblé défectueux ou incomplet, tout en pensant, avec R. Simson, qu'une grande partie des défauts signalés peut être attribuée à la maladresse des commentateurs par les mains desquels les Eléments nous ont été transmis, et qui ne se sont pas fait faute de substituer leurs idées à celles de l'auteur, quand ils n'en comprenaient pas la portée.

Je me suis efforcé de délimiter avec plus de précision les axiomes purement géométriques, en les rattachant à leur origine expéri-

(') C'est ce que vient de réaliser avec succès le récent éditeur des Éléments, M. V.-Zakhartchenko.

INTRODOCTlOir. 9

mentale. Parmi les vérités qu'Euclide a rassemblées sous le nom de Notions communes, j'ai déjà fait remarquer que les sept premières appartiennent à la science des grandeurs en général. Les deux suivantes (les axiomes 8 et 9) ne sont pas, à proprement parler, des axiomes , mais des définitions. Enfin on n'y trouve pas l'énoncé de certains principes fondamentaux, qui se rattachent à l'origine expérimentale de la science géométrique.

Les dem,andes sont au nombre de trois. Nous proposons d'en ajouter une quatrième, dont Euclide fait souvent un usage tacite, quoiqu'il semble avoir voulu d'abord l'éviter à l'aide des propositions 2 et 3. Nous demanderons qu'une figure invariable de forme puisse être transportée d'une manière quelconque dans son plan ou dans l'espace (^).

J'expose ensuite, sous forme de commentaire sur les 32 premières propositions d'Euclide, l'esquisse d'un pian suivant lequel on pourrait reconstruire plus régulièrement cette partie du premier Livre. J'ai essayé de montrer comment, en ne perdant jamais de vue l'origine des idées géométriques, et rapportant toujours chaque proposition à sa véritable source, on introduit dans la théorie plus de clarté et de généralité, tout en restant plus près des applications pratiques, et l'on est tout préparé, par l'analogie des procédés, à l'étude des méthodes de la nouvelle Géométrie.

Les premières propositions an premier Livre pourront se classer d'après les divisions suivantes :

1° Propriétés des angles ayant même sommet.

2° Propriétés des angles ayant des sommets différents (théorie des parallèles).

3° Propriétés d'un triangle. — Egalités et inégalités dans un triangle.

4" Comparaison de deux triangles. — Cas d'égalité. — Cas d'inégalité.

Viendraient ensuite les propriétés des quadrilatères et des polygones en général.

Mon but n'étant nullement de rédiger le commencement d'un Traité classique, je me suis attaché à la discussion des principes

(') Voir Notes 1 et II.

lO INTRODUCTION.

et à la comparaison des méthodes, sans chercher à proportionner les développements suivant la régularité didactique.

L'Appendice, composé de plusieurs Notes trop longues pour trouver place dans le texte, est terminé par quelques réflexions sur l'importance de l'enseignement de la Géométrie élémentaire, sur les moyens de rendre cet enseignement plus fructueux au double point de vue de la théorie et des applications, et sur les avantagesque la Géométrie présente sur l'Analjse abstraite, comme première préparation à l'étude des parties plus élevées des Mathématiques.