L'intersection d'une sphère avec un plan est un cercle

'13. Une droite perpendiculaire à l'intersection de deux plans perpendiculaires entre eux, et située dans l'un de ces deux plans, est perpendiculaire à l'autre.

14. Dans un triangle sphérique, à des côtés égaux sont opposés des angles égaux, et réciproquement.

15. Deux triangles sphériques sont égaux lorsqu'ils ont deux côtés égaux comprenant un angle égal, ou bien un côté égal adjacent à deux angles égaux.

Les propositions que nous donnerons dans ce qui va suivre seront accompagnées de leurs explications et de leurs démonstrations.

16. Toutes les droites tracées par un même point dans un plan

peuvent se distribuer, par rapport à une droite donnée dans ce

plan, en deux classes, savoir : en droites qui coupent la droite

donnée, et en droites qui ne la coupent pas. La droite qui forme

la limite commune de ces deux classes est dite parallèle à la droite

donnée.

4 ÉTUDES GI^.OMÉTRIQUES

Soit abaissée, du point A {fig. 1), sur la droite BC, la perpendiculaire AD, et soit élevée au point A, sur la droite AD, la per- Fi(?. 1. pendiculaire AE. Dans l'angle droit EAD,

il arrivera ou que toutes les droites partant du point A rencontreront la droite DG, comme le fait AF, par exemple; ou bien que quelques-unes d'entre elles, comme la perpendiculaire AE, ne rencontreront pas DC. Dans Tincerlitude si la perpendiculaire AE est la seule droite qui ne rencontre pas DC, nous admettrons la possibilité qu'il existe encore d'autres lignes, telles que AG, qui ne coupent pas DG, quelque loin qu'on les prolonge. En passant des lignes AF, qui coupent CD, aux lignes AG, qui ne coupent pas CD, on trouvera nécessairement une ligne AH, parallèle à DG, c'est-à-dire une ligne d'un côté de laquelle les lignes AG ne rencontrent aucune la ligne CD, tandis que, de l'autre côté, toutes les lignes AF rencontrent CD. L'angle HAD, compris entre la parallèle HA et la perpendiculaire AD, sera dit l'angle de 'parallélisme, et nous le désignerons par IT(p), p représentant la distance AD.

Si n(p) est un angle droit, le prolongement AE' de la perpendiculaire AE sera également parallèle au prolongement DB de la droite DC; et nous ferons remarquer, à ce propos, que, par rapport aux quatre angles formés au point A par les perpendiculaires AE, AD et par leurs prolongements AE' , AD' , toute droite partant du point A est comprise, soit par elle-même, soit par son prolongement, dans un des deux angles droits dirigés vers BC, de sorte qu'à l'exception de la seule parallèle EE ' , toutes ces droites, prolongées suffisamment dans les deux sens, devront couper la droite BC.

Si l'on a n(p) < -> alors, de l'autre côté de AD, il y aura une

autre droite AK, faisant avec AD le même angle DAK = il(p), laquelle sera parallèle au prolongement DB de la ligne DG ; de sorte que, dans cette hypothèse, il faut distinguer encore le sens du parallélisme. Toutes les autres droites comprises dans l'intérieur des deux angles droits dirigés vers BC appartiennent aux droites 5ecanles, lorsqu'elles sont situées dans l'angle HAK = 2 Q(p) des

deux parallèles ; elles appartiennent, au contraire, aux droites non sécantes AG, lorsqu'elles sont situées de l'autre côté des parallèles

AH, AK, à Tintérieur des deux angles EAH = - — n(/)),

E'AK = !L — n(p)> entre les parallèles et la droite EE', perpendiculaire sur AD. De l'autre côté, de la perpendiculaire EE' , les prolongements AH', AK' des parallèles AH, AK seront également parallèles à BG. Parmi les autres droites, celles qui sont dans l'angle K ' AH' appartiendront aux droites sécantes, celles qui sont dans les angles K'AE, H'AE' , aux droites non sécantes.

D'après cela, si l'on suppose n(p) = ", les droites ne pourront être que sécantes ou parallèles. Mais, si l'on admet que n (p) < -, on devra considérer alors deux parallèles, l'une dans

un sens, l'autre dans le sens opposé; de plus, les autres droites devront se distinguer en non sécantes et en sécantes. Dans les deux hypothèses, le caractère du parallélisme est que la ligne devient sécante par la moindre déviation vers le côté où est située la parallèle ; de sorte que, si AH est parallèle à DG, toute ligne AF, faisant, du côté de DG, un angle HAF aussi petit que l'on voudra avec AH, coupera nécessairement DG.

47. Une ligne droite consene le caractère du parallélisme en tous ses points.

Soit AB {fig. 2) parallèle à CD, et AG perpendiculaire sur CD.

Considérons deux points pris à volonté sur la ligue AB et sur son prolongement au delà de la perpendiculaire. Supposons le point E situé, par rapport à la perpendiculaire, du même côté que celle des directions de AB qui est considérée comme parallèle à CD. Abaissons du point E sur CD la perpendiculaire EK, et menons ensuite EF de manière qu'elle tombe à l'intérieur de l'angle BEK. Joignons les points A et F par une droite, dont le prolongement devra rencontrer CD quelque part en G [prop. 16]. Nous

obtiendrons ainsi un triangle ACG, dans l'intérieur duquel pénétrera la ligne EF. Cette dernière ligne, ne pouvant rencontrer AC, par suite de la construction, et ne pouvant pas non plus rencontrer AG ni EK pour la seconde fois [prop. 2], coupera nécessairement CD quelque part, en H [prop. 3].

Soit maintenant E' un point sur le prolongement de AB, et E'K' une perpendiculaire abaissée sur le prolongement de CD. Menons la ligne E ' F ' , faisant avec AE ' un angle AE ' F ' assez petit pour couper AC quelque part en F ' . Tirons du point A la ligne AF, faisant avec AB un angle égal à AE'F', et dont le prolongement coupera CD en G [prop. 16]. On formera ainsi un triangle AGC, dans lequel pénétrera le prolongement de la ligne E'F ' . Or, cette ligne ne peut pas rencontrer une seconde fois AE ; elle ne peut pas non plus couper AG, puisque TangleBAG = BE'G' [prop. 7]. il faudra donc qu'elle rencontre CD quelque part en G ' .

Donc, quels que soient les points E, E' , d'où partent les lignes EF, E'F', et quelque peu qu'elles s'écartent de la ligne AB, elles couperont toujours la ligne CD, à laquelle AB est parallèle.

18. Deux droites sont toujours réciproquement parallèles. Soit AC (Jig. S) une perpendiculaire sur CD, et AB une parallèle

à CD. Menons par le point C la ligne CE, faisant avec CD un angle aigu quelconque ECD, et abaissons du point A sur CE la perpendiculaire AF. Nous formerons ainsi un triangle rectangle ACF, dont l'hypoténuse AC sera plus grande que le côté AF de l'angle droit [prop. 9].

Faisons AG — AF, et plaçons AF sur AG; AB et FC prendront les positions AK et GH, de sorte que l'on aura l'angle BAK = FAC. Il faudra alors que AK coupe la droite DC quelque part en K [prop. 16], et il en résultera un triangle AKC, dans lequel la perpendiculaire GH rencontrera la ligne AK en L [prop. 3], et déterminera par là la distance AL du point A au point de rencontre de la ligne CE avec AB.

De là résulte que CE coupera toujours AB, quelque petit que soit l'angle ECD. Donc CD est parallèle à AB [prop. 16].

19. Denis tout triangle rectiligne, la somme des trois angles ne peut surpasser deux angles droits.

Supposons que, dans le triangle ABC (fig. A), la somme des trois

angles soit tt -t- «• Daibs le cas où les côtés sont inégaux, soit BC lé ' plus petit. Partageons BC en deux parties égales au point D ; par A et D, menons la droite AD, sur le prolongement de laquelle nous prendrons DE = AD ; joignons, enfin, le point E au point G par la droite EC. Dans les deux triangles égaux ADB, CDE, on a Tangle ABD = DCE, et l'angle BAD = DEG [prop. 6 et 10]. De là résulte que la somme des trois angles du triangle AGE doit être aussi égale à tt + «. En outre, le plus petit angle BAC [prop. 9] du triangle ABC a passé dans le triangle ACE, où il se trouve partagé en deux parties EAC, AEG. En continuant de la même manière à partager toujours en deux parties égales le côté opposé au plus petit angle, on finira nécessairement par obtenir un triangle dans lequel la somme des trois angles sera t: H- a, mais où il se trouvera deux angles dontchacun sera moindre, en valour absolue, que j a. Or, le troisième angle ne pouvant être plus grand que tt, il faut donc que a soit nul ou négatif.

20. Si, dans un triangle rectiligne quelconque, la somme des trois angles est égale à deux angles droits, il en sera de même pour tout autre triangle.

Supposons que dans le triangle rectiligne ABC {fig. 5) la somme ?if. 5. ^^^ ^^^^^ angles soit égale à tt ; deux au moins

de ces angles, A et G, devront être aigus. Abaissons, du sommet du troisième angle B, la . perpendiculaire p sur le côté opposé AG : celte perpendiculaire partagera le triangle ABC en deux triangles rectangles, dans chacun desquels la somme des trois angles devra encore être égale à tt, sans quoi elle serait dans l'un de ces deux triangles plus grande que tt, ou dans le triangle total plus petite que tv. On obtiendra donc ainsi un triangle rectangle, dont les côtés de l'angle droit seront/) et q, et au moyen duquel on pourra former un quadrilatère dont les

côtés opposés seront égaux entre eux, et dont les côtés adjacents p eiq [fig. 6) seront perpendiculaires l'un à Tautre. Par la répé- Fig. 6 tition de ce quadrilatère, on pourra en

former un pareil dont les côtés seront np et q, et enfin un autre ABCD, ayant ses côtés perpendiculaires entre eux, et dans lequel AB = np, AD = wq, DC = np,BG = mq, m et n étant des nombres entiers quelconques. Ce quadrilatère sera divisé par la diagonale BD en deux triangles rectangles égaux, BAD, BCD, dans chacun desquels la somme des trois angles est égale à tt. Or, on peut prendre les nombres n et m assez grands pour que le triangle rectangle ABC {fig. 7), Fig. 7. dont les côtés de l'angle droit sont AB — np,

BC = mq, renferme dans son intérieur tout autre triangle rectangle donné BDE, lorsqu'on aura fait coïncider leurs angles droits. En menant la ligne DC, on obtient ainsi des triangles rectangles ayant deux à deux un côté commun. Le triangle ABC est formé par la réunion des deux triangles ACD, DCB, dans chacun desquels la somme des trois angles ne peut surpasser n; elle doit donc être, pour chacun, égale à t:, sans quoi elle ne serait pas égale à t: dans le triangle total. De même, le triangle BDC se compose des deux triangles DEC, DBE, d'oiî il s'ensuit que dans DDE la somme des trois angles doit être égale à tt. Cela doit donc avoir lieu, en général, pour un triangle quelconque, puisque tout triangle peut être décomposé en deux triangles rectangles.

On conclut de là que deux hypothèses seulement sont possibles : ou la somme des trois angles est égale à tt dans tous les triangles rectilignes, ou bien elle est dans tous moindre que u.

21. Par un point donné, on peut toujours mener une ligne droite qui fasse avec une droite donnée tm angle aussi petit que l'on voudra.

Abaissons, du point donné A {fig. 8) sur la droite donnée BC,

la perpendiculaire AB; prenons à volonté sur BC un point D;

joignons AD; faisons DE — AD, et menons AE. Dans le triangle Pig 8 rectangle ABD,soitrangleADB^ a;

l'angle AED du triangle isoscèle ADE sera égal à -a ou < -a [prop. 8 et 20]. En continuant ainsi, on parviendra, à la fin, à un angle AEB, plus petit que tout angle donné.

22. Si deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles, la somme des angles d'un triangle rectiligne quelconque sera égale à %.

Soient les droites AB, CD {fig. 9), parallèles entre elles, et per- Fig. 9. pendiculaires sur AC. Menons du

pointA les droites AE, AF, aux points E, F, pris sur la droite CD à des distances quelconques, FC ^ EC, du pointe. En supposant que la somme des trois angles soit égale à tt — a dans le triangle rectangle ACE, et à 71 — p dans le triangle AEF, elle devra être égale, dans le triangle ACF, à TT — a — p, a et p ne pouvant être négatifs. Soient, de plus, les angles BAF = a, AFC = 6; on aura a H- p = a — 6. Si Ton écarte maintenant la ligne AF de la perpendiculaire AC, on pourra rendre aussi petit que l'on voudra l'angle a, compris entre AF et la parallèle AB; on pourra de même diminuer l'angle h indéfiniment. Par conséquent, les deux angles a et p ne peuvent avoir d'autres valeurs que a = 0 et p = 0.

D'après cela, il faut que, dans tous les triangles rectilignes, la somme des trois angles soit égale à tt, et qu'en même temps

Tangle de parallélisme n(p) soit égal à -tt, quelle que soit la distance p ; ou bien il faut que, dans tous les triangles, la somme des angles soit < tt, et qu'on ait à même temps Il(p) <-ic.

La première hypothèse sert de fondement à la Géométrie ordinaire et à la Trigonométrie plane. La seconde hypothèse peut être également admise, sans conduire à aucune espèce de contradiction

dans les résultats, et elle est la base ^une nouvelle théorie géométrique, à laquelle j'ai donné le nom de Géométrie imaginaire, et que je me propose d'établir ici jusqu'au développement des équations entre les angles et les côtés des. triangles tant reclilignes que sphériques.

23. Étant donné itn angle quelconque a,, on 'peut toujours trouver une distance p telle que l'on ait U{p) — a. Soient AB et AG {fig. 10) deux droites formant, à leur intersec- FiR. in. tion A, l'angle aigu a. Pre-

nons à volonté sur AB un pointB'; de ce point abaissons B'A' perpendiculaire sur AC; faisons A' A" = AA'; élevons en A" la perpendiculaire A"B" , et continuons ['«insi jusqu'à ce que nous arrivions à une perpendiculaire CD, qui ne rencontre plus AB. C'est ce qui doit nécessairement arrfver; car, si- la/somme des trois angles du triangle AA'B' est égale à t; — a, cette somme, dans le triangle AB'A",8era égale à x — 2a; dans le tria»gle AA"B",elle sera moindre que iu — 2a [prop. 20], et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'enfin elle devienne négative, auquel cas il serait impossible de former un triangle. La perpendiculaire CD pourrait être celle-là même qui forme la limite entre les perpendiculaires plus voisines du point A qui rencontrent AB, et les perpendiculaires plus éloignées qui ne le rencontrent pas. Dans tous les cas, il doit exister une telle perpendiculaire-limite FG, lorsqu'on passe des perpendiculaires sécantes aux perpendiculaires non sécantes. Menons maintenant par le point F la droite FH faisant avec FG l'angle aigu HFG, et située, par rapport à FG, du même côté que le point A. D'un point quelconque H de la droite FH abaissons sur AC la perpendiculaire HK, dont le prolongement devra par suite rencontrer AB quelque part en B, et former ainsi un triangle AKB, dans lequel pénétrera le prolongement de la ligne FH; ce prolongement rencontrera donc quelque part en M l'hypoténuse AB. L'angle GFH

étant arbitraire, et pouvant être supposé aussi petit que l'on voudra, FG sera donc parallèle à AB, et Ion aura kF=p [prop. 16 et18J

On voit aisément que, lorsque p diminue, Tangle acroît, et qu'il

s'approche de — > lorsque p tend vers zéro. Au contraire, lorsque p

croît, l'angle a diminue, et il s'approche de plus en plus de 0, à mesure que p tend vers œ. Comme on peut choisir arbitrairement l'angle que Ton désignera par la notiition n(p), lorsque p sera exprimé par un nombre négatif, nous poserons la relation

n (;/) 4 n(- ji) — Tz,

relation qui aura lieu pour toutes les valeurs, tant positives que négatives, de p, aussi bien que pour p — 0.

24. Si Von prolonge de plus en plus loin deux lifjncs parallèles dans le sens de leur purallélisme, elles rapprocheront de plus en plus l'une de l'autre.

Élevons sur la ligne AB {fig. 1 1) deux perpendiculaires AC = BD, Fis. 11. et joignons leurs extrémités C et D par

une droite. Le quadrilatère CABD ?ura, en A et en B, deux angles droits, et en C et en B deux angles aigus [prop. 22], lesquels seront égaux entre eux, comme il est aisé de s'en convaincre, si l'on imagine le quadrilatère superposé à lui-même, en plaçant la ligne BD sur AC, et la ligne AC sur BD. Parlageons AB en deux parties égales, et au point milieu E élevons sur AB la perpendiculaire EF, laquelle devra être en même temps perpendiculaire sur CD, puisque les quadrilatères CAEF, FEBD coïncideront l'un avec l'autre, si l'on plie la figure totale autour de FE. Donc la ligne CD ne peut être parallèle à la ligne AB; mais la parallèle à AB menée par le point C, savoir la ligne CG, devra s'écarter de CD vers AB [prop. 16], et retranchera de la perpendiculaire BD une portion BG < CA. Le point C étant pris à volonté sur la ligne CG, il en résulte que CG s'approchera d'autant plus de AB, qu'on la prolongera plus loin.

— ~Jg

25. Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

Supposons d'abord que les trois droites AB, CD, EF (Jig. 12), Yig.M. soient situées dans un même plan et se

succèdent dans l'ordre indiqué. Si les deux premières AB et CD sont parallèles chacune à la troisième EF, je dis que AB et CD seront aussi parallèles entre elles. Pour le démontrer, d'un point quelconque A de la ligne extrême AB, abaissons sur l'autre ligne extrême EF la perpendiculaire AE, laquelle rencontrera la ligne intermédiaire CD en un point C [prop. 3], et sous un

angle DCE < -r^ ^^^^ ^^ ^^"s ^^ '^ direction de CD, qui est parallèle à la direction EF [prop. 22]. Une perpendiculaire AG, abaissée du même point sur CD, devra tomber dans l'ouverture de l'angle aigu ACG [prop. 9], et toute autre ligne AH, menée par A dans l'intérieur de l'angle BAC, devra rencontrer quelque part en H la droite EF parallèle à AB. Par conséquent, dans le triangle AEH, la ligne CD devra couper AH quelque part en K, puisqu'il est impossible qu'elle rencontre KF. Si AH était menée du point A dans l'intérieur de l'angle CAO, elle devrait couper le prolongement de CD entre les points C et G, dans le triangle GAG. De là résulte que AB et CD sont parallèles [prop .16 et 18].

Si les deux lignes extrêmes AB, EF, sont supposées chacune parallèles à la ligne intermédiaire CD, alors toute ligne AK, menée par le point A dans l'intérieur de l'angle BAE, coupera la ligne CD en un point quelconque K, quelque petit que soit l'angle BAK. Sur le prolongement de AK, prenons à volonté un point L, et joignons-le au point C par la ligne CL; celle-ci devra rencontrer EF quelque part en M, de manière à former un triangle MCE. Le prolongement de la ligne AL à l'intérieur du triangle MCE ne peut rencontrer une seconde fois ni AC ni CM ; donc ce prolongement rencontrera EF quelque part en H, et par conséquent AB et EF sont parallèles entre elles.

Supposons maintenant que les parallèles AB, CD (fig. 13), soient situées dans deux plans dont l'intersection soit EF. D'un point

quelconque E de cette intersection, abaissons une perpendiculaire EA sur l'une quelconque AB des deux parallèles; puis, du pied A

F'g- ^3. de la perpendiculaire EA, abaissons

une nouvelle perpendiculaire sur l'autre parallèle CD , et joignons les exlrémilésEetC des deux perpendiculaires par la ligne EC.

L'angle BAC doit être aigu [prop.

22]; donc une perpendiculaire CG, abaissée du point C sur AB, tombera en un point G, situé, par rapport à CA, du même côté que la direction suivant laquelle AB et CD sont considérées comme parallèles. Toute ligne EH, s'écarlant si peu que ce soit<îe EF, appartiendra, avec la ligne EC, à un plan qui devra couper le plan des deux parallèles AB, CD le long d'une ligne quelconque CH. Cette dernière ligne rencontrera AB quelque part, et ce sera au même point H, commun aux trois plans, et par lequel la ligne EH devra aussi nécessairement passer. Donc EF est parallèle à AB. On démontrera de la même manière le parallélisme de EF et de CD.

La supposition qu'une ligne EF est parallèle à l'une des deux autres droites parallèles entre elles AB, CD, revient donc à considérer EF comme l'intersection de deux plans contenant les deux parallèles AB, CD ; par conséquent, deux lignes sont parallèles entre elles, lorsqu'elles sont parallèles à une même troisième, bien qu'elles ne soient pas situées toutes les trois dans un même plan. Ce dernier théorème peut encore s'énoncer de la manière suivante ' Les intersec lions de trois plans deux à deux sont trois droites parallèles entre elles, toutes les fois que l'on suppose le parallélisme de deux de ces droites.

26. Deux triangles opposés sur la surface de la sphère ont même surface.

Nous entendons ici par triangles opposés ceux qui sont formés par les intersections de la surface sphérique avec les trois mêmes plans, de part et d'autre du centre. Dans ces triangles, les côtés et les angles ont donc deux à deux une direction opposée.

Dans les triangles opposés ABC, A'B'C (Jig.H, on l'un de ces triangles doit être considéré comme retourne), on a entre les côtés

les égalités AB = A B',BC = B'C, CA -^ C'A', et les angles en A,B,C sont égaux à leurs correspondants en A',B',C', dans

l'autre triangle. Par les trois points A,B,C imaginons que Ton mène' un plan, et que sur ce plan Ton ab.iisse du renlre de la sphère une perpendiculaire, dont les prolongemenls dans les deux sons rencontrent les deux triangles opposés aux points D et D' de in surface sphérique. Les distanees du point D aux points A, B, C, mesurées sur la sphère en arcs de grands cercles, devront être égales [prop. 12], tant entre elles qu'aux distances D'A', D'B', D'C, dans l'autre triangle [prop. 0]. Donc les triangles isoscèles formés autour des points D et D' seront égaux deux à deux dans les deux triangles sphériques ABC, A'B'C ' .

Nous prendronspour caractère général del'équivalence de deux surfaces la définition suivante ; Deux mrfaces sont équivalentes, lorsqu'elles sont formées par l'addition ou la soustraction de parties égales.

27. Un angle trièdre est égal à la demi-somme de ses angles dièdres, moins un angle droit.

Dans le triangle sphérique ABC {fiq. 15), dont chaque côté est

moindre que û, désignons les angle& par A,B,G; prolongeons le côté AB, Ide manière à former le cercle entier ABA B'A, lequel partagera la sphère |en deux parties égales. Dans l'hémisphère qui contiendra le triangle ABC, prolongeons encore les deux autres I côtés au delà de leur intersection I mutuelle C, jusqu'à leur rencontre avec le cercle en A ' et en B ' . L'hé- Imisphère se trouvera partagé ainsi en quatre triangles ABC, ACB' , B'CA ' , A 'CB, dont nous désignerons les surfaces par P, X, Y, Z. Il est évident que Ton a

La surface du triangle sphérique Y est équivalente à celle du

triangle opposé ABC ' , qui a le côté AB commun avec le triangle P,

et dont le troisième sommet C est situé à l'autre extrémité du

diamètre CD de la sphère, mené par le point G [prop. 20]. De là

résulte

et comme d'ailleurs

il s'ensuit que l'on a

p = -1 ,;a + B 4- C — tt).

On .peut encore arriver à la même conclusion d'une autre manière, en s'appuyant seulement sur le théorème que nous avons démontré relativement à l'équivalence des surfaces [prop. 26]. Dans le triangle sphérique ABC (^$r. 16), menons, parlesmilieux D,E des côtés AB, BC, le grand cercle FDEG, sur lequel nous abaisserons, des points A, B, C, les arcs perpendiculaires AF, BH, CG. Si l'arc perpendiculaire BH tombe entre D et E, le triangle résultant BDH sera égal h AFD, et le triangle BHE égal à EGO [prop. 6 et 15], d'où il résulte que la surface du triangle ABC est équivalente à celle du quadrilatère AFGC [prop. 20]. Si le point H coïncide avec le milieu E du côté BG {fig. 17), il n'y aura plus que deux triangles rectangles égaux AFD, BDE, par l'échange desquels on démontrera l'équivalence du triangle ABC et du quadrilatère AFEG. Si enfin le point H tombe en dehors du triangle ABC (Jig. 18), la perpendiculaire CG pénétrant alors dans le triangle, on passera du triangle ABC au quadrilatère AFGC, en ajoutant le triangle FAD = DBH, et retranchant ensuite le triangle CGE = EBH. Imaginons maintenant que, dans le quadrilatère sphérique AFGC, on mène par les points A et G, ainsi que par les points F et C, des arcs de grands cercles, ces arcs AG, FC, seront égaux entre eux [prop. 15] : donc les triangles FAC, ACG seront aussi égaux [prop. 15], et l'angle FAC sera ^al à l'angle ACG.

Fig. 18.

Fig. 19.

De là résulte que, dans tous les cas précédents, la somme des trois angles du triangle spherique est égale à la somme des deux angles égaux du quadrilalère, autres que les deux angles droits. D'après cela, pour tout triangle spherique dont la somme des trois angles est S, on peut trouver un quadrilatère de même surface, ayant deux angles droits et les deux côtés perpendiculaires égaux entre eux, et dont chacun des deux autres angles est égal à -S.

Soit maintenant ABCD {fig. 19) le quadrilatère spherique dont les côtés AB = CD sont perpendiculaires sur BG, et dont les angles en A et en D sont égaux chacun à -S. Prolongeons les côtés AD et BG jusqu'à leur rencontre en E, et, au delà ce point E, portons encore sur le prolongement de AD

la longueur EF = DE, et abaissons sur le prolongement de BG l'arc perpendiculaire FG.

Partageons l'arc total BG en deux parties égales, et joignons le milieu H par des arcs de grands cercles aux points A et F. Les triangles EFG, DCE sont égaux [prop.

15]; on a donc FG = DG=-AB. Les triangles ABU, HGF sont pareillement égaux, parce qu'ils sont rectangles et ont les côtés de l'angle droit égaux. Donc AH et HF appartiennent à un même cercle ; l'arc AIIF est égal à %. L'arc ADEF est pareillement égal à ir,

l'angle HAD = HFE=|S— BAH— ^S— HFG =-^S— IIFE— EFG

=-^S— HAD — x+jS. Donc l'angle HFE=-^(S— it), ou, ce qui revient au même, = la mesure du fuseau AHFDA, laquelle à son tour est égale à celle du quadrilatère ABGD, comme on le voit aisément, lorsqu'on passe de l'un à l'autre, en ajoutant d'abord le triangle EFG, puis le triangle BAH, et retranchant ensuite les

triangles DCE, HFG, égaux aux précédents. D'après cela -(S — ic)

sera la mesure du quadrilatère ABGD, et en même temps aussi celle du triangle spherique dont la somme des trois angles est égale à S.