GÉNÉRALISATION DE L'IDÉE DE QUANTITÉ

on conclut les deux égalités

Les propriétés des quantités complexes reposant sur leur définition géométrique, ce principe peut être considéré comme évident.

Par des considérations élémentaires, on parvient à établir les développements des fonctions cos p et sin p en séries convergentes pour toutes les valeurs de p. On voit ensuite que la somme de ces séries, multipliées respectivement par l'unité et par i, n'est autre chose que la série qui représente le développement de e" et dans laquelle on aura remplacé x par ip.

Si donc on prend pour définition de l'opération e"" l'opération par laquelle on exprime aussi approximativement que l'on voudra la limite de la somme

la valeur de cos p -\- i sin p sera donnée par la même opération effectuée sur ip au lieu de a;, de sorte que l'on aura

\p ^ cosp + esinp = è^.

Nous adopterons dorénavant, au lieu de la notation 4^, le symbole e'^, et il est aisé de se convaincre que cette exponentielle imaginaire jouit de toutes les propriétés des exponentielles réelles.

D'abord, pour la multiplication, l'égalité 1^, X ^^ = i^+g peut s'écrire

gip y^ giq __ giVp+g)^

De là résultent les règles de la division, de l'élévation aux puissances de degré réel, de l'extraction des racines, etc., dans le cas des exponentielles à exposants imaginaires.

De même, si l'on multiplie entre elles les deux séries qui

d88 j. iiouiîL.

expriment e^ et i^, = é'\ on obtiendra une série de même forme, qui n'est autre que le développement de e^ dans lequel on aurait remplacé a; par a; + ip, et que nous désignerons, par définition, comme le développement de e"^'^'. On conclut de là que Ton aura, pour le produit de deux exponentielles, Tune à exposant réel, Tautre à exposant imaginaire,

De même pour le cas de deux exponentielles à exposants complexes.

Nous sommes donc autorisés désormais à remplacer dans tous les cas la notation 1^ par la notation é^\ qui a l'avantage de rattacher au calcul des exponentielles celui des symboles de rotation ou verseurs, en rapportant les exponentielles imaginaires à la même base e que les exponentielles à exposants réels, et en assimilant, par conséquent, les arguments multipliés par i à des logarithmes imaginaires de même base que les logarithmes réels.

D'après cela on aura

et la base provisoire e que nous avons mentionnée plus haut, sera exprimée par

Au lieu de r^, nous écrirons de même re*^.

Il est maintenant facile de définir l'élévation d'une quantité complexe ré^ à une puissance complexe d'exposant m + in. En mettant la quantité complexe re'^ sous la forme e^^sr+tp^ |^^ p^-g. sance d'exposant m + in de cette exponentielle s'obtiendra en multipliant l'exposant log r + ip par m + in, ce qui donne

/> (log r 4- y>) (m + in) /jinlogr — «j> + i(n log r-f-»np)

= r'"e~"^' [ces (n log r -f- mj9) + ùin (w log r + wp)].

GÉNÉRALISATION DE l'IDÉE DE QUANTITÉ. 189

On résoudra avec la même facilité les deux problèmes inverses du problème de Télévation aux puissances.

1° Trouver une quantité z dont la puissance éH indice m + in soit égale à re'^.

De régalité

on tire

logr+fp (log r+ip) (m— in-) m log r4- np4- Hmp—n log r)

2" Trouver à quelle puissance il faut élever une quantité re'^ pour obtenir un résultat donné se'^.

L'équation du problème est

En égalant les exposants des deux exponentielles, il viendra \o%s -hiq log r log 5 ^-^g- + i{q\o%r — plogs)

logr + /p (logr)'-f-p'

En particulier, le logarithme d'un nombre complexe re'^ est égal à log r + ip.

Si nous nous trouvons dans le cas où l'argument p est déterminé seulement à un multiple de la circonférence près, le logarithme de re'^ sera susceptible d'une infinité de valeurs, comprises dans la formule

Si p = 0, r étant positif, la valeur générale du logarithme sera

logr + 2îA:tc;

une de ces déterminations est réelle et égale au logarithme arithmétique.

De même, la valeur générale du logarithme de — r est

log(— r) = logr -F (2 A; + 1)^7:, et aucune de ces déterminations n'est réelle.

J. HOÙEL.

On tire de là

logl-

= Uix,

log(-

log(— 1) = (2A:+ l)îTr.

Si Ton donnait la quantité complexe sous la forme x -f iy, on pourrait la ramener d'abord à la forme re'*, en posant

x = rcosp, y=:rsmp,

d'où

r=Vx* + y*, cosp = -, smp = -.

On aura dès lors

■+- V log {x + e» = I log (a;' + ?/') + ^■ arc tang — - + 2 ^/tt,

en indiquant par la notation arc tang — celui des deux arcs

moindres que 2i: dont la tangente est égale à - et dont le cosinus et le sinus sont de mêmes signes respectivement que x et y.

Jusqu'à présent l'usage que nous avons fait de la décomposition d'une quantité complexe a été une conséquence des propriétés communes aux opérations faites sur les quantités complexes et aux opérations faites sur les quantités réelles.

Nous avons opéré sur les parties constituantes, r et p, ou x et y, d'une quantité complexe de la même manière que si ces parties eussent été des quantités complexes, tous les résultats des paragraphes précédents subsistant dans cette dernière hypothèse.

Mais il est une classe de problèmes que l'on résout à l'aide des quantités complexes, en s'appuyant sur des considérations qui n'ont pas leurs analogues dans le calcul des quantités réelles.

Une quantité complexe re'^ ou a; + iy est déterminée par deux nombres indépendants l'un de l'autre, et deux quantités complexes ne peuvent être égales si elles n'ont pas même

GÉNÉRALISATION DE l'iDÉE DE QUANTITÉ. 191

longueur et même argument (à un multiple de 2?: près), ou si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires ne sont pas égales de part et d'autre. Ainsi l'égalité

entraîne les deux conditions

l'égalité X -\- iy = x' + iy' se décompose de même en deux

autres,

En général, une équation entre des quantités complexes w = u -{- iv, z = X -\- iy, formée au moyen des règles du calcul algébrique, se ramène à la forme

(1) (}(u,v,x,y) + ix{u,v,x,y) = 0,

et elle se décompose en deux autres équations entre quantités réelles,

Mais il ne faut pas oublier que ce dédoublement de Téqualion complexe repose essentiellement sur la supposition de la réalité des quantités représentées par les symboles ii, v, x, y. Si Ton venait à les remplacer par des valeurs complexes, l'équation (1) n'entraînerait plus les équations (2), mais pourrait se décomposer d'une infinité de manières différentes.

Considérons, par exemple, l'équation

{x + iî/Y + a{x + iy) + b = 0, qui, pour x, y, a, h réels, se décompose dans les deux suivantes,

a;2 2/« + a^r-f 6 = 0, 'ixy + ay ^=0,

d'où l'on tire les quatre systèmes de solutions

a' les deux premiers devant être choisis dans le cas de -r- — ^ > ^.

a' et les deux autres dans le cas de y — & < 0.

Posons maintenant, 5, /, m, v devant être réels,

l'équation (1) deviendra

[s + it + i{u.+ iv)]* + a[s -^ it + i(u -h iv)] + b = 0,

et elle se décomposera dans les deux suivantes

{s — vy — {t + uY-[-a{s^v) + b — 0, 2 (s — «) (( + w) 4- a (« + m) = 0,

d'où les quatre solutions

\s ou

"^-Wj-"' ^- = V^-?.

[y=ziv-t, \y = iv—t±yb — j,

qui montrent que les valeurs complexes de x ei ôe y sont, dans chaque cas, susceptibles d'une infinité de déterminations, parmi lesquelles se trouvent les déterminations réelles, correspondant à des valeurs nulles de v et de t.

Des équations (2) du n" précédent résulte l'équation

cf{u,v,x,y) — ix{u,v,x,y) = 0.

Or, si dans la fonction ¥ {u-{-iv, x + iy) on change i en —i, le résultat ne différera du précédent que par le signe de i. Donc, si une équation a lieu entre les variables complexes xi + iv, x -\- iy,

GÉNÉRALISATION DE l'iDÉE DE QUANTITÉ. 193

OÙ a: et y sont supposés des nombres réels, la même équation subsistera lorsqu'on changera, dans les variables ainsi que dans les constantes, i en — i, c'est-à-dire lorsqu'on y remplacera toutes les quantités complexes par leurs conjuguées.

Cette transformation des quantités en leurs conjuguées revient à changer le sens des ordonnées positives dans le plan, ou, ce qui est la même chose, à changer le sens des rotations positives. En coordonnées polaires, cela revient à changer re'" en re~'^^ c'est-à-dire, i en — i, ou, ce qui est équivalent, p en — p.

La quantité conjuguée x — iy ou re~'^, bien que déterminée complètement lorsque Ton connaît x -\- i\j ou ré^, ne peut pas être considérée comme une fonction analytique de a; + iy ou re'^. En effet, si l'on pose

x + iy = rê^ = z,

on voit aisément que x — iy oure~''^ ne peut pas s'exprimer au moyen des opératfons de l'Analyse exécutées sur la seule quantité z. On a, en effet,

iy = z — x, d'où X — iy=z^jo — z = z — '^iy,

a; et y ne pouvant être éliminés à la fois. De même, on aurait

e'p z=- et r =: ze-'^, d'où re-^ = - = ze-*'^, r 2 '

expressions qui ne peuvent se réduire à des fonctions de « seul.

11 en est de même d'une fonction analytique quelconque de x et de y, qui est déterminée par la connaissance ée z = x -\- iy = re'^, mais qui généralement ne peut pas s'exprimer au moyen d'une opération analytique faite sur cette variable complexe. C'est que la détermination de la valeur de cette fonction exige une opération qui ne fait pas partie des opérations analytiques, et qui est fondée sur l'hypothèse de la réalité des deux éléments, X et y, ou r eip, de la variable complexe, réalité dont la condition ne peut être exprimée par les opérations communes aux quantités réelles et aux quantités complexes, qui seules portent le nom de fonctions analytiques.

194 i. IIOUEL.

En effet, si Ton admettait pour x et y des valeurs complexes X = s -\- it, y = u -\~ iv, d'où

X + iy = s — v + i{t + u)=^^-\'iri,

la connaissance de ^ + iT^ déterminerait seulement 5 — r et t -\- u, mais ne donnerait pas les valeurs séparées de s et t, non plus que celles de u et v. Donc, tandis que les règles de Talgèbre s'appliquent sans altération au cas où x ei y seraient elles-mêmes des quantités complexes, la transformation d'une quantité en sa conjuguée ne s'applique qu'au cas où la variable z = x -\- iy n ses deux coefficients x ei y réels, condition incompatible avec la généralisation donnée aux opérations analytiques, en vertu de laquelle ces opérations sont également applicables à toutes les natures de quantités, réelles ou complexes.

Il y a donc lieu de distinguer deux sortes de dépendances en vertu desquelles une fonction de deux variables indépendantes peut être liée à une variable complexe. Dans le cas général, la fonction dépend des valeurs des deux coefficients x, y de la variable complexe, et peut être considérée comme une fonction des deux variables indépendantes x, y, mais non comme une fonction d'une fonction donnée de ces deux variables. Telles sont les fonctions

X, y, x — iy, xy, x^ + y\ \o^{x+y), etc.

Dans d'autres cas, la fonction ne dépend que du seul groupe X + iy^ et ne varie pas tant que ce groupe ne changera pas de valeur, par exemple lorsqu'on remplacera x ei y par les valeurs complexes x' + ix\ y' + iy" , assujetties aux conditions

x' — y'' = x, oo"-hy'=y.

Ces fonctions peuvent s'exprimer, exactement ou approximativement, à l'aide d'opérations analytiques faites sur le groupe X + iy. Cauchy a donné à ces fonctions le nom de fonctions monogènes.

GÉNÉRALISATION DE L'iDÉE DE QUANTITÉ. i95

Le caractère de ces fonctions est d'avoir une dérivée par

rapport au groupe z = x -i- iy = re'*, tandis que, dans les

fonctions non monogènes, l'accroissement de la fonction pour des

variations infinitésimales de a; et de ^ n'est pas proportionnel

à celui de oî -f- iy, et par suite les deux accroissements ne

peuvent avoir un rapport tendant vers une limite indépendante

dy du rapport -T-.

En effet, si l'on considère une fonction de deux variables

F {x, y), il faut, pour qu'elle ait une dérivée par rapport a x-\-ay,

, dF(x,y) .. ,....,, , . , que le rapport -, — ^^ — f— ait une limite indépendante du rapcl X ~r~ du y

d y port -j-,' Or, ce rapport peut s'écrire sous la forme

(iX

¥'{x)dx+F'{y)dy ^^ ^^Ux

d'x + ady , dy ^

1 + a-^ dx

dy et pour qu'il ne dépende pas de ;p, il faut que l'on ait

F'(a;):F'(2/) = i:a, d'oii il résulte

(1) Y' {y) ~ aY' {X).

Alors on a

d{x + ay) ^ ' a ^^"

valeur indépendante de -r--

Cette condition (1) indique que F(a;, y) est exprimable analytiquement au moyen de a; + a y. Si l'on pose, en effet, x -^ ay = z, d'où a; = 2 — ay^ il vient

Y{x,y) = Y{z—ay,y).

Si cette fonction se réduit à une fonction de z seul, sa dérivée