V 7 -VT
peut être transformée dans l’équation
Mais en posant pour un moment v = r- 4 - r", on réduit cette équation i la forme
laquelle, en posant v’ = £*-t- arr", devient de la fonne
(F+F'rr")‘=U-t-U , rr" .
Cette dernière donne
[F‘— U+ F 1 ' r V'*]* = ( U ' — a FF’)'v' r''* ;
où r’c”* est un polynôme du 4- 4 "” degré. El comme V et U sont des polynômes du 6 .*”* degré en R , il est évident que cette équation montera au a4-*** degré. Pour plus de clarté j’ajouterai que l’on a;
!\f=A*. i3.u 6 ; > Af"=36.K* ;
iV=i44 .A'u' -, N'=ÿ6.A'u' ; N" = i6.A'.
Après avoir déterminé par un premier calcul les valeurs approchées de R, R', R r, r', r"; on supposera que R-+-3R; R'-hiR'-,
RECHERCHES HISTORIQUES ETC
/{"-+- 3 R" soient les valeurs plus exactes de /?, R', IV. De là on déduira les valeurs de rdr, r'S r', r''dr'' en fonction de dit, SR', SR", en négligeant le carré de ces variations. Avec ces expressions on pourra obtenir trois équations linéaires entre SR, SR', SR", en difTérentiant les trois équations fournies par le théorème d'EucER et Lambert, successivement appliqué aux trois intervalles compris: entre la i. 4 ** et la a.*”' observation ; entre la i.*" et la 3.*“* ; et entre lu a. 4 ”' et la 3.*"' observation.
Par là on pourra calculer les valeurs de SR, SR', SR"-, et avec cela, au lieu de l’équation 6= ar — s*, qui aura été employée avec une valeur approchée de s‘, il conviendra de calculer la distance périhélie J . b d’après l’équation connue ;
Dans le cas particulier de r •+• r " = n , et par conséquent /) = a (r-t- r" ) = /f * ,
l’on aurait immédiatement une équation en R du 4 ’”' degré, en observant que, alors, l’on a ces équations
Ce cas singulier est celui où l’on aurait deux observations de la Comète au moment de son passage par les deux Noeuds.
Il importe d’observer, que la suppression des termes multipliés par t\ que Lagrange fait dans le N.’ 46, est une conséquence nécessaire de la suppression des termes multipliés par t faite dans le dénominateur des valeurs de R , R', R" posées dans le N.° 44 •
Conformément à la méthode proposée dans ce numéro, il faudrait, à la rigueur, conserver la totalité des termes multipliés par et conduire le calcul jusqu’à l’équation finale avant de supprimer les termes multipliés par t 4 , et ceux multipliés par des puissances supérieures de t‘. Alors on obtient une équation finale du 34. 4m * degré, qui devient réductible au r. 4 ”' (et non au 5. 4 “ 4 degré) en tenant compte de la totalité des termes multipliés par t *. Et en ayant égard à la totalité des termes
PAR J. PI.AItA
miilLÎiiliés par t ‘ et par la même équation finale du 3 degré s’abaisse au i o/ 1 **, et non au sixième degré. C’est de quoi je vais donner la démonstration. Cette démonstration est importante pour faire sentir que , analytiquement parlant, il y a une grande dififérencc entre les exprès sions des rapports
fl' (m— i) Q,l 6r 5 — (m — i)V i .
idrertés de la quantité inconnue t J et les expressions
fl'
fl
-TJ ’
immédiatement connues par les seules données de l’observation. En égalant les deux valeurs de s, données par les équations
fl'* a iV'fl' + p '*= ;
R"‘- 3 N"R"+p"' = r'+^ + ( 3 mt-'££) S ;
fi" ss: p" cos.(C" S") ;
où l’on a
N’ — p'.cos.(C'S') ; et faisant ensuite;
fl'^.i^-^-^jfl;
' | br 3 — m t j ’
on obtient l’équation
^(r) = m(6r J — mV)(fl'* — iN'R') — (6r’ — t*)(fl” — 3 f/"R") ,
D»__rl 6,,J — ( ro — *) V i n .
H -1 pz? * *
•+•** jn» 3 P '* — f l| ‘+r‘[6m(i — m) — (m 3 — t)J — m‘(m — t) j .
RECHERCHES HISTORIQUES ETC
Cela pose, la substitution des valeurs precedentes de /!', /f", donnera;
F(r) = /i\n'(r) — 3ll''(r)./î ; après avoir Giit , pour plus de simplicité ;
F(r) = l/l(r).(6r , — t’j^Gr’ — ;
/"(r) = (Gr ! — <‘)(Gr> — m*r)'(6r’ — (m— i)V) ; ÿ '(r) = (Gr* — i*)*(6r 5 — mVj’^Gr 1 — (m — i ) V ) ; n'(r) = m 9 */'(r)-*'*/''(r) ; n” (r)— J mq N' — q' N"\ ÿ*(r) .
En éliminant H entre les deux équations
.. fl\n'(r)-an"(r)./i-F(r) = o ,
où A r = pcoS. ( CS) , on aura l'équation |(*’* — P')n'(r) — F(r)j*
+ 4jjVn'(r)-n«(r)jjiVF(r) + (r* / ,*)n''(r)j ,
qui, ordonnée par rapport à r, s’élève au 34 .*"' degré, en observant que F( r ) est un polynôme du ij.*"' degré, et que n'(r), n''(r) sont des polynômes du i 5 .*"' degré.
Il est manifeste que, en supprimant les termes multipliés par /*, cette équation devient divisible par r 1 ”, et qu’elle s’abaisse au 4.*“' degré. En rejetant les termes multipliés par t* on aura une équation de la forme
qui s’abaisse au degré, en divisant par r’ 5 . Et en rejetant la totalité des termes multipliés par f‘, on aurait une équation de la forme
o = Q (r) . r to ■+■ Q' (r).r*‘. <*-*- U''(r) . r**. t' , qui s’abaisse, en général, au io.*“' degré.
PAU 1. PLANA :Jl)
Pour avoir explicitement l’e'quation finale relative au cas où l’on négligé les termes multipliés par 0 il suflit de prendre;
/'(r) = 6‘.r'*(6.r s — A' t % ) ; f”(r) =6‘. r'^G.r* — A"t') ; iji' (r) = 6 , .r'*(6.r 3 — B't‘) ;
où l’on a fait;
A' = \ — 4 ro+ 3 w' ; A "= 3 — 4 m 4 m " ;
