r , (r‘+C , Z , )=t , (arr+C'Z , '+C' f Z
L'abaissement de l’équation finale au-dessous du 7.*“' degré est donc impossible, quelle que soit la petitesse de l’intervalle écoulé entre les trois observations. Cette même proposition n été soutenue par Lagrange dans ses deux premiers Mémoires Sur la détermination de f orbite des Comètes publiés dans le Volume de l’Académie de Berlin pour l’année 1778 (Voyez les pages tao, 1 4 1 » 1 4 a et 1 56 de. ce Volume). Et si, plus tard, dans le Volume de la même Académie pour l’année 1783 (p. 3 16), et au N.* 46 du second Volume de la Mécanique Analytique , Lagrange obtenait une équation finale du sixième degré, cela tient à la circonstance , que son analyse ne comprend pas la totalité des termes multipliés pur t ’, qui, à la rigueur, entrent dans la composition de l’équation finale relative à l’orbite parabolique.
Toutefois il importe de ne pas perdre de vue que l’impossibilité de l’abaissement, dont nous parlons ici, est seulement inhérente à l’exclusion île l’emploi des coefficients différentiels, comme données de l’observation ; et à la restriction de faire usage de trois observations seulement pour former l’équation qui détermine une des trois distances héliocentriques.
Pour avoir explicitement, en fonction de r, le double b de la distance périhélie, déterminée par l’équation 6 = ar — s‘, il faut observer que l’équation
lionne
3r*.r' — Sr’fr’-t-t”)
Mais nous avons les équations
«•'* = «'* — aJV'/r-t-y' ;
donc en faisant
, 37 V |6r*— (m— i)Yj‘
„ 6qN't> jôr 5 — (m— 1 )***}
9 — (6r J — t*)(6r* — roV) ’
(r’-r.p'VO .
ou bien ,
ï*.é= 3 r.«*-j(r*-p*) ? '(r) + ( a iV'- ? ''(r))fl+ ? '"(r)j* . Et comme la valeur de iï est donnée par l’équation
R = pcos.(CS) + Ÿ r 1 — p\sin.‘(CS) ,
il est clair que la distance périhélie — b est ainsi déterminée en fonction de la distance hélioccntriquc. On voit par cette formule que l’on aura b
par une équation de la forme Assr — -p- ; de sorte qup le degré d’approximation avec lequel la quantité j3 ’ doit être calculée, doit être estimé en ayant égard à la grandeur du multiplicateur p .
Pour déterminer le signe qui doit affecter le radical qui entre dans cette valeur de R, remarquons, que l’on doit avoir la même valeur de b, en prenant pour s la valeur donnée par l’équation
apres
fait
RECHERCHES HISTORIQUES ETr:.
r» =r ' + ( lm ,- 17 ) s+ -,
t 6r* — ( m — i)Vj
Alors on aura l'équation
où 1rs fonctions ç' (l) (r) , ç" (l ,(r), ç w (l) (r) rcpn : scntcnt ce que deviennent, respectivement, <f'( r) , f"(r) , 9 '" ( r ) par le changement de q en q' \ de JV' en A"; de <’ en m‘t‘, et de m‘t‘ en /*, sans faire aucun changement à l’egard de (m — 1 ) ‘
\ l’aide îles deux équations ainsi formées 011 décidera le signe que doit prendre le radical afin de rendre identiques les deux valeurs de b. % » d v '
Kn outre, le signe de la quantité s=r^ sera positif ou négatif suivant que la première observation aura eu lieu après nu avant le passage de la Comète par le périhélie.
Et pour savoir, si le mouvement de la Comète est direct ou rétrograde, il faudra calculer les deux longitudes hélioccntriques 9', 9" correspondantes à la première et à la seconde observation , et voir si la différence 9'' — 9' est positive ou négative. Ce calcul se fait à l’aide des
formules connues :
cos. 9 . sin. 9 =s — sin. a . cos .a — - stn. at ;
cos. 9 . cos. 9 = — cos. a . cos .a — - <
in. 4 — — sin. d ; sin. (9 — a) = —
R cos.rf.sin.(« — a)
cos. 9
«fcV
. , R cos. d. cos. la — a) e, 1
■ os.(9— a) = \ — £ ;
r cos. 9 r cos. 9
où a et d sont la longitude et la latitude géocentrique de la Comète :
et a la longitude du Soleil; tandis que 9 et 9 sont I» longitude et la
latitude héliocenlrique pour le même instant.
Les mêmes valeurs de 9', 9”; iji', 9" donneront l’inclinaison » de
l’orbite par rapport à l'écliptique , la longitude h du Noeud ascendant,
Pt les distances (C’Û), ( C"Ù ) de la Comète au Nœud, à l’aide des formules ;
sin. (9"— 9') tang. i . sin. A — tang. <j>". sin. 9' — tang. sin. 9" ;
sin. (9" — 9') tang. i . cos. A = tang. ti". cos. 9 ' — tang. tf/- cos. 9" ;
. tang. 9' tang. tji"
tang. j — A ) ~ ’ sin. ( 9 " — A) ’
‘»ng. | ; - A j = Ung.i (9»- 9', ,
tang.(C'0)=^ ( .f'--- ;<> ; tang.(C''û)=^9^A)
eos . 1 0 ' cos. 1
données par l’équation du plan de l’orbite <|ui passe par le centre du Soleil.
Soit T le temps écoulé depuis l’instant de la première observation à l'instant du passage de la Comète par le périhélie: on aura sa valeur d’après l'équation
67 '=(ar-t-A) J/ ar — A ;
( Voyez le N.’ 24 du second Volume de lu Mécanique Analytique) en ayant soin de l 'ajouter ou de la retrancher de l’instant de la première observation , suivant que la valeur de s aura été trouvée négative nu positive.
Pour avoir immédiatement la valeur de 7 ’ en jours solaires mot eus, il faudra remplacer T par 7 '.| ° j 1 ce qui donne
On calculera l'anomalie vraie c’est-à-dire l'angle que le rayon vecteur r" fait avec la distance périhélie J A cl la longitude L du périhélie, en observant «pie
Yt
tang.; 4 »"=|/ =cot.J(*" —
sin.<(<t>"— <t>) ’
Un substituant pour / , / ', etc. leurs valeurs, l’équation
RECHERCHES HISTORIQUES ETC
t 3 r i (r‘+c , z')=t'(*rv , +c'z"+c"Z') ,
prendra la forme
6r J (pV+j3' r *+p'') = C( J ar«+ / xV + ,*'') ;
où Ion formera les six coefficients, en observant que si l’on fait;
B" = -3-h5m—3m‘ ; fl ,v = 3+jm‘ ;
fl" , = m(j + 3m') ; H' =3 — 8m + Km‘ — 3m 1 :
P=mq' — q'' ; P'=mA’q'~
^Y* ; • P"=mqA'—q’l
*W =mp>'-p"'-P P * ;
A/ ,,, = 1 -m-tr P ;
A/" l0 =iV<,"‘-mp' , )-' , V ;
A#"' (l) =iV(Jï'y’— *”>»*) ;
l’on a:
C‘=iNP—P" ;
