C" = NP' — B'P

ei ;

Dr soi-tc que nous avons

fi ="(» ;

JS’ = a Af, t) C'A#",., ;

p" = Af% + C'M" (l) ;

P a *lf(,) ilf (i) ,

f» ’ = a Af (0 Af -H ^ 3/' tl} A/„, -+• C'A/»',., -4-C''Af" w ; p" = a Af (l) il#',,, -t- C'A/'",,, + C"A/" (0 .

L'équation du degré qui doit donner la distance héliocentriquc r, appartenante à l’orbite parabolique , est donc telle qu’en posant ;

l’on a ;

H -il

Après avoir obtenu les valeurs numériques de ees coeflicients avec les données des trois observations , il sera facile d'avoir les limites entre lesquelles sont comprises toutes les valeurs positives de r, à l’aide (1rs principes connus.

De cette manière on calculera la valeur de r sans l’emploi de la quantité G , qui , par sa nature , peut être considérablement modifiée par les petites erreurs existantes sur les longitudes et latitudes de la Comète déduites des ascensions droites et déclinaisons observées.

Mais s’il était |>rrmis de faire abstraction de ces erreurs , il est certain que la valeur de r, dont il est ici question, devrait être une racine commune à l'équation

r T — ♦— //(, , r 5 — etc. = o ,

et à l'équation

r’-f-jsr 4 — p,r' — etc. = o ,

formée dans la Note relative au N." 44 î cette dernière ayant lieu quelle que soit la section conique décrite par l'astre observé. D’après cela on démontre en Algèbre, que la racine commune doit être une fonction rationnelle des coeflicients des deux équations. Mais le calcul de cette fonction a priori, à l’aide des fonctions symétriques, est impraticable par son excessive longueur. Pour s’en convaincre , il suffira de faire observer, que r, , r,, r,, , r, étant les sept racines de l’équation

7* (r) = r’-f- r ’-t-etc. = o ;

si l’on fait ,

f(r) = r' l +pr*—p,r'—p t r'—p,r , -t-p i r'-i-p i r+p t ;

il faudrait former le produit ;

qui a la propriété d’être une Jonction symétrique des racines de l'équation du sixième degré ;

pl |»\

=r?-t-r,.r s -+-(r, — r‘4-etc. = o .

En v ertu de celte propriété le polynôme Q ( r. ) sera réductible à la forme

Q ( r :) — T w -+- jT ( i) r, -+- T M r.‘-+- 7’ ()) r.’-t- 7’ (() r,*-+- 7’ (r0 r. -v- 7’ w r.‘ ,

RECHERCHES HISTORIQUES ETC

après avoir abaissé les puissances de r, supérieures à la sixième, par la règle connue. Cela posé la racine commune aux deux équations étant désignée par r,, l’on a (à cause que le coefficient du second terme est égal à zéro);

où T [ 6) et T (Vt représentent des fonctions des coefficients connus des deux équations du degré. Mais, je le répète, un tel calcul est impraticable ; et j’ai voulu seulement mettre en évidence le principe général de son exécution littérale pour mieux faire entendre à quoi tient la possibilité dont Lagrasck a parlé à la page 297 de son 3 . 4 "* Mémoire Sur lu détermination de t orbite des Comètes , publié dans le Volume de l’Académie de Berlin pour l’année 1 ^ 83 . Car, autrement, on pourrait croire qu’il conviendrait de réaliser le principe que Lagrangk énonce en disant: « que l’on peut , si l’on veut , rabaisser l’équation générale du septième >> degré au premier; ce qui ne doit point paraître surprenant, attendu » que, dans le cas de l'orbite parabolique, le problème est plus que » déterminé par trois lieux observés de la Comète ».

Avant de terminer cette analyse je dois faire observer, que, à la rigueur, il ne fallait pas négliger les termes multipliés par t 1 . s qui se trouvent dans les expressions primitives de /?, R 1 , R" posées au N.” 4 1 du même second Volume «le la Mécanique Analytique, lors«pi’on admet les quantités du quatrième ordre dans le développement des coordonnées liélioccnlruiucs. Mais dès «lue l’on entreprend le calcul, sans la suppression de ces termes, on reconnaît bientôt, que l'élimination de R, pour avoir une équation finale en r , devient à-peu-près impraticable juir sa complication. Cette raison, jointe à la considération qu'on ne saurait tirer de là aucun parti tuile , m’a fait abandonner l'idée de toute recherche ultérieure sur le point «jui lait le sujet de cette Note. Toutefois je ne dois pas, ici, passer sous silence que Legesdhe, en 1820, a fait lu remarque, qu’on peut faire dépendre d’une équation du troisième degré la détermination de l’orbite parabolique des Comètes en supposant connus les coefficients différentiels (qui font partie des données) avec toute l’c.rnctitude nécessaire (Voyez pages 64 et 7 5 de son Second Supplément).

Au reste on sait, que, Lapi.ace, avec l’emploi des coefficients différentiels , tombe sur une équation du sixième degré (Voyez la page 216 du premier Volume de la Mécanique Céleste).

Lagrange, vers la fin du N.° !\i de sa Mécanique Analytique, fait remarquer en quoi consiste le principal avantage de la méthode qu’il propose, et les obstacles qu'elle présente pour pousser plus loin l’approximation. Mais , à cette généralité , j’ajouterai que la méthode du N.° 46 y quoique bornée à l’hypothèse de l’orbite parabolique , devient impraticable en voulant conserver les termes multipliés par t * dans le développement des trois fonctions F, F', F". Car, alors, l’expression

des rapports ^ conserve un terme multiplie par p , et 1 élimi-

nation de s doit s’effectuer entre deux équations en s du second degré; ce qui conduit à une équation en R, qui n’est pas du second mais du sixième degré. Ainsi, tout bien considéré, le choix des inconnues r, s,

^ , fait par Lagrange, cesse de sauver les difficultés analytiques inhé-

rentes à ce problème, dès qu’on veut considérer les termes multipliés par une puissance de t supérieure à la troisième. Alors on sent toute la justesse et toute la force de cette réflexion de Gauss: « incognitarum » separatio talis , ut tandem aequatio unicam tantummodo eontinens pron deat, gêner aliter loquendo , prv impossibili haberi potes t, midloque n adeo minus problematis solutionem integram per solas opcrationcs di- » rectas absolvere licebit ». Gauss, page i35 de son ouvrage Theoria motus corpomm coclestium etc.