V-.=Kv/Ri

dans laquelle il a fait K= 11, 3.

Ces formules paraissent contradictoires, elles prouvent une fois de plus que récoulement à ciel ouvert ne peut être assimilé à Técoulement dans un tuyau fermé.

La diversité de ces résultats est singulière, et paraîtrait indiquer que les hypothèses faites jusqu'à ce jour sur l'action mutuelle de deux filets fluides sont encore bien incomplètes, et ne peuvent servir de base à une théorie mathématique de l'écoulement.

Si l'on admet l'existence de filets fluides glissant les uns sur les autres, l'action mutuelle de deux filets contigus doit dépendre de leur vitesse relative, ou, comme leur distance est censée infiniment petite, de l'expression différentielle

jp, dans laquelle clv désigne la différence des vitesses des

deux filets, et dr leur distance.

Dans un mémoire publié dans le tome VI des Mémoires de l'Académie des sciences, M. Navier a supposé cette action mutuelle, que nous désignerons pour abréger par ^, sim-

plem^nt proportionaelle à t^. M, Hippolyte Sonnet a publié, en 1845, un mémoire sur ie même objet, en étendant un peu Thypothèse restreinte de Navier. « M. Navier, dit « M. Sonnet, est, à ma connaissance, le seul géomètre qui se « soit occupé du problème des eaux courantes dans toute sa

« généralité Malheureusement il n'a déduit de ses cal-

« culs qu'un très-petit nombre de résultats applicables, sa- « voir : une expression monôme de la viteSse moyenne pour « un tuyau à section circulaire ou rectangulaire très-petite; tf et pour un canal découvert à section rectangulaire, une ex-

« pression également monôme du rapport y entrera vitesse « moyenne et la plus grande vitesse. Cette expression assi- « gnerait au rapport dont nous parlons les limites o,4o53 et « o,6366 , et ne s'accorde pas par conséquent avec les résul- « tats de l'expérience; ce qu il faut attribuer sans doute aux «hypothèses trop restreintes sur lesquelles l'auteur a fondé «son analyse ^ »

Les formules auxquelles est parvenu M. Sonnet ne s'accordent pas non plus avec les résultats de l'expérience. Suivant elles, en effet^ la différence entre la vitesse à la surface et la vitesse à la paroi. serait proportionnelle à R^I; tandis que toutes les données expérimentales s'accordent pour indiquer que cette difiFérence et les vitesses elles-mêmes sont proportionnelles à y/RÎ. Dans un ouvrage, remarquable à bien des titres^, M. Dupuit, parlant de l'hypothèse de Navier, est parvenu à des formules analogues aux précédentes et soulevant par conséquent les méipes objections pratiques.

' Recherches sur le mouvement uniforme tief eaux, i8ii5, p. a.

* Ibid, p. i3 et aS.

^ Etudes ihéoriqaes et pratiques sar les eaux courantes , iSài-

Les expériences de M. Darcy sur les tuyaux de conduite Font ameoé à supposer ^ proportionnel à R^(g^)^ Cette nouvelle expres^on , indépendamment du changement de l'exposant de j^, introduit dans la question un nouvel élément Fort important et assez inattendu: cèst Tinfluence de la grandeur de la section transversale. Il est difficile de se rendre compte d'une manière bien satisfaisante de cette influence; toutefois, elle a été pressentie par plusieurs auteurs, et notamment par M. de Saint-Venant,

«Si Thypothèse dé Newton, dit M. de Saint -Venant ', • reproduite par MM. Navier et Poisson, et qui consiste à « prendre le frottement intérieur proportionnel à la vitesse « relative des filets glissant les uns devant les autres, peut « être appliquée approximativement pour les divers points « d'une même section fluide,' tous les faits connus portent à « inférer qu'il faut faire croître le coefficient de cette pro- « portîonnalité avec lès dimensions des sections transver- « sales; ce qui s'explique jusqu'à un certain point en remar- « quant que les filets ne marchent pas parallèlement entre eux « avec des vitesses régulièrement graduées de l'un à l'autre, «et que des ruptures, les tourbillonnements et les autres « mouvements compliqués ou obliques, qui doivent beau- « coup influer sur la grandeur des frottements, se forment « et se développent davantage dans les grandes sections. »

Les formules que nolis avons indiquées plus haut paraissent encore conduire à de nouvelles hypothèses sur la valeur de ^.

îl semblerait, en effet, d'après ces formules, que l'action mutuelle de deux filets fluides contigus dépend non-seule-

^ Formates et tables nouvelles poar la solation des problèmes relatifs aux eaux cobrantes, i85i, p. 49-

meut du coefficient ^, comme la indiqué M. Navier, et des dimensions absolues de la section, comme Ta fait voir M. Darcy pour les tuyaux, mais encore des vitesses abso* lues des molécules fluides.

La question se complique et s'obscurcit donc davantage, à mesure que de nouvelles expériences plus nombreuses et plus précises paraîtraient devoir y jeter une plus grande lumière. Que conclure de ces résultats si divers et en apparence contradictoires, si ce n est que nous ne possédons pas encore de notions saines sur les mouvements intérieurs des fluides et sur les actions mutuelles de leurs molécules? Peut-être cette partie si délicate de la science doit-elle rester longtemps encore dans le domaine de Tempirisnie*

Formule

l'ondamentale :

détermination

du coefficient a.

La formule fondamentale que Ion applique lorsque le régime du courant n'est plus uniforme a été proposée , en 1 8 2 8, presqu'en même temps, par M. Bélanger et par M. le général Poncelet; elle est ordinairement mise sous la forme suivante

ds

?f désigne l'abaissement de la surface du courant entre deux points où les vitesses moyennes sont U'' et U', a un coefficient inconnu , que Ton suppose un peu plus grand que l'unité. L'expression aU-l-6U^ et la lettre R ont la même signification que dans la formule connue du mouvement uniforme; cls désigne la longueur d'un élément du courant compris entre deux sections transversales infiniment voisines; l'intégrale est prise entre les sections extrêmes qui limitent la partie du courant que l'on considère.

Cette formule suppose que l'expression de la résistance

est la même que dans le cas du régime uniforme ; cette hypothèse, admissible dans le cas d'un courant lentement varié, ne le serait certainement plus si le réginie variait trop rapidement. Un autre élément d'incertitude est l'ignorance où l'on est relativement à la vraie valeur du coefficient a. Ce

coefficient est égal à -^, Scou^ étant la somme des produits élénïentaires que Ton obtient en multipliant chaque élément de la section transversale par le cube de la vitesse correspondante, et OU* le produit de l'aire entière de la section par le cube de la vitesse moyenne. M. Poncelet a démontré^ que a est supérieur k l'unité; mais on ignore jusqu'à présent sa véritable valeur, et la plupart de» auteurs ont pris le parti de le supposer égal à l'unité.

D'après M. Dupuit^, les vitesses U' et U' qui entrent dans le second membre de l'équation devraient être affectées de coefficients différents, et le coefficient a qui multiplie leur différence devrait, en raison de celte correction, devenir plus petit que Tunité.

Disposant d un grand nombre d'eicpériences faites pour déterminer la répartition des vitesses dans l'intérieur dès courants , nous avons pu calculer directement^, élément par élément, une assez grande quantité de valeurs de a.

Conformément adx indications de la théorie, a augmente à mesure que les vitesses sont plus différentes les unes des autres, c'est-à-dire à mesure que la résistance de la paroi augmente elle-même.

On satisfait assez bien aux expériences en posant

' Expériences hydrauliques , i83a, p. 167,

* Etudes théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux courantes, i84^« p- 70 et suiv.

' Voir 4' partie, chap. i.

La valeur de la constante |3 est environ 210. En combinant cette formule avec Téquation

V — U = a\/RÎ on peut aussi poser

et, sous cette forme, on voit clairement que a va en augmentant avec Técart des vitesses V et U,

Si l'on suppose ^=:| et y = g , hypothèses qui comprennent la plus grande partie des cas de la pratique ^ cette formule donne a= 1,27 et a= 1,07.

La valeur de la constante |S = 2 10 a été calculée en se servant d'expériences sur des courants à régime uniforme. En opérant de la même manière sur quelques expériences faites sur des courants dont le régime était varié (le niveau du courant était abaissé en allant de Tamont à l'aval), nous avons obtenu des valeurs un peu plus faibles ; toutefois le nombre de ces dernières expériences n'est peut-être pas assez considérable pour trancher définitivement la question. La diminution de a dans ce cas s'explique facilement si l'on admet, comme l'a fait avec assez de vraisemblance M. Dupuit, que l'existence d'une chute superficielle a pour effet d'augmenter les vitesses de tous les filets à peu près également, de manière à rapprocher leurs rapports de l'unité.

On a quelquefois lieu de considérer, dans les calculs re-

latiis au mouvement varie , -qJjt au heu de ■^^.

Ce nouveau coefficient se déduit sans peine de a, car si l'on fait

on a, à fort peu près,

26i>tt' . 1 », RI

nu

La discussion de Téquation du mouveinent varié conduit à partager les courants en deux catégories pour lesquelles les phénomènes du remou s'opèrent d'une manière différente, suivant que ^ est plus petit ou plus grand que l'unité [h désigne ici la profondeur du courant). Supposons d'abord ^ inférieur à l'unité; c'est le cas de la plupart des cours d'eau naturels. Le remou de gonflement produit par un barrage se prolonge indéfiniment vers l'amont en formant une courbe asymptote à la surface du courant non relevé ; il en est de même du remou d'abaissement. Lorsque ^ est supérieur à l'unité, les phénomènes changent complètement de caractère. Le remou de gonflement, au lieu de se prolonger indéfiniment vers l'amont, s'arrête brusquement en un certain point, et se raccorde avec la surface du courant par un ressaut. Quant au remou d'abaissement, il n'existe plus, ccst-à-dire que, si par suite d'une modification quelconque du lit le niveau du courant se trouve abaissé sur un point, cette dépression ne se prolonge pas vers l'amont; la surface du courant présente donc en ce point une chute brusque, que l'on peut appeler ressaut d'abaissement.

La distinction que nous venons de rappeler est bien connue ^ ; cependant la plupart des auteurs qui ont abordé cette question n'ont peut-être pas assez insisté sur ce caractère important qui partage les courants en deux classes parfaitement tranchées. Qu'il nous soit permis de faire ici, au

sujet de la condition du ressaut ~y >i, un rapprochement qui, sans avoir la valeur d'une démonstration, n'en est pas

' Voir la discussion faite par M. Dopuit; Etudes théoriques et pratiqués, chap.iii ; voir également une discussion plus détaillée dans Touvrage publié récemment par M. Bresse, Cours de mécanique appliquée, hydraulique, 1860, chap. iv.

moins assez curieux. En supposant pour plus de simplicité «=1, cette condition donne l]7>\/pi; cette inégalité peut s'interpréter de la manière suivante.

Dans un mémoire publié en 1 84 5 \ J. Scott Russell a fait voir que, si en un point d'un canal on projette subitement un certain volume d'eau, on donne naissance à une onde ou gonflement mobile qui parcourt le canal avec une vitesse égale à ^gh [h étant la profondeur). Cette onde, qui est tout entière en saillie au-dessus du niveau primitif de Teau dans le canal, ne doit pas être confondue avec les ondes d'oscillation produites par l'agitation superficielle du liquide, qui sont toujours accompagnées de cavités correspondantes.

L'inégalité U >^gh fait donc voir que la vitesse du courant est supérieure à la vitesse de propagation des ondes, de manière que celles-ci ne peuvent remonter vers l'amont. Cette circonstance fait comprendre la possibilité d'un ressaut brusque; les eaux du ressaut tendent sans cesse à s'affaisser en donnant naissance à une onde qui se propagerait vers l'amont ; mais cette propagation n'est pas possible , Fonde étant immédiatement emportée par la grande vitesse du courant. Si cette vitesse était tout à coup diminuée de manière à devenir inférieure à la vitesse de propagation de l'onde, on verrait celle-ci se former et remonter le courant. Nous avons réalisé plusieurs fois cette expérience. Dès que la vitesse est un peu diminuée, on voit les eaux du remou se précipiter vers l'amont.

Le rapprochement que nous venons de faire n'a rien de rigoureux; néanmoins il présente quelque intérêt comme établissant une corrélation entre deux ordres de faits bien différents.

' Report of the fourteenth meeting ofthe Briiish association for the adcancement of science, held at York, in september i844; London, i845.

On trouvera dans la quatrième partie de l'ouvrage quelques expériences sur les divers cas du mouvement varié.

Pour les courants dans lesquels -^ est inférieur à Tunité, et où par conséquent le ressaut ne peut se produire, ces expériences, peu nombreuses d!ûilleurs, n'ont pas conduit à des résultats notablement différents des formules admises. La formule du mouvement varié a représenté convenablement les faits observés, en ayant soin d'y mettre pour a les valeurs indiquées plus haut , et d'y remplacer l'expression aU.-hiU^ de la résistance à la paroi par l'expression A U^ ; la formule devient ainsi :