L'ÉCOULEMENT DE L'EAU

DANS LES CANAUX DÉCOUVERTS

Les expériences dont nous avons à rendre compte sont très-nombrôuses : entreprises sur une très-grande échelle à la fin de i8&5, elles nont été terminées que dans les premiers mois de 1 860. La discussion complète des faits recueillis pendant ce long espace de temps est nécessairement compliquée > et nous obligera souvent à entrer dans des détails assez minutieux. Afin d'en faciliter la lecture, il nous a semblé utile de la faire précéder d'un exposé sommaire des résultats obtenus. Cet exposé se divise, comme f ouvrage auquel il sert d'introduction, en trois parties :

i"* Expériences sur les canaux à régime uniforme;

2® Expériences sur la distribution des vitesses dans les courants;

3^ Expériences sur le mouvement varié.

l"" EXPERIENCES SUR LES CANAUX X REGIME UNIFORME.

d'KyUlwein, etc.

Formules M, de ProDy, dans ses recherches sur la théorie des eaux

M.deProny. couraptcs^ résume de la manière suivante les principaux

résultats fournis par 1 expérience pour la solution du problème de Técoulement de Teau dans un canal :

« Premier résultat. — Un fluide comme Teau ayant son « écoulement par un tuyau ou canal d'une longueur sufli- « santé pour qu'il puisse y établir son régime, éprouve des « résistances qui peuvent et doivent être regardées comme «des forces retardatrices dont les valeurs sont de même « ordre que celle mesurant la force accélératrice due à la « pesanteur ; d'où il suit que ces forces peuvent non-seule- « ment diminuer TefFet delà pesanteur d'une quantité finie, « mais encore l'anéantir et réduire le mouvement à l'uni- « for mi té.

« Deuxième résultat Il paraît, d'après des expé-

« riences nombreuses et soignées de Dubuat, Dobenheim et «Bénézech, que, dans le cas de la fluidité, les résistances « qui modifient l'eflet de la pesanteur sont, dans une section « transversale quelconque, indépendantes des pressions des « molécules comprises dans cette section ; résultat bien dif- « férent de ceux obtenus sur le mouvement des corps so- « lidea glissant les uns sur les autres.

« Troisième résultat. — Dans une section transversale «quelconque, les diverses molécules ont, perpendiculai- « rement à cette section ou parallèlement à la directrice, « des vitesses difi^érentes. Il y a un point de cette section où

* Recherchés physico-mathématiqaes sur la théorie des eaux courantes, 180&, p* Sg et stiiv.

« se trouve le maximum de vitesse (dans un tuyau cylin- « drique ce point est au centre de la seetion transversale c circulaire; dans no canal découvert, il est en général à la «surface); et si Ton imagine une ligne droite menée de ce ff point à la paroi , dans le plan de la section , les vitesses « des molécules fluides correspondantes aux divers points « de cette ligne diminuent progressivement depuis Torigine «de la ligne (où est le maximum de vitesse) jusque la « paroi.

c Quatrième résultat La vitesse à la surface, la

« vitesse de fond et la vitesse moyenne ont entre elles des re- « lations que Dubuat s est attaché à découvrir; et ses expé- « riences lont conduit à cette conclusion remarquable que « les relations dont il s*agit sont indépendantes de la granit deur et de la forme du lit

« Cinquième résultat. — Lorsque le fluide coule dans « un tuyau ou sur un lit susceptible d^être mouillé, une « lame ou couche de fluide reste adhérente à la matière qui « compose ce tuyau ou dans laquelle ce lit est creusé; cette « couche peut ainsi être regardée comme la véritable paroi « qui renfermé la masse fluide en mouvement. .

« Sixième résultat. - — Il semblerait, d'après les expé- « riences de Dubuat, que Faction attractive du tuyau ou du Q lit s'arrête à la couché fluide qui tapisse la paroi ou qui « en tient lieu, cet habile observateur ayant cru reconnaître • que la diversité des matières dans lesquelles Técoulement «avait lieu ne faisait pas sensiblement varier la résis- « tance.

« Septième résultat. — Les molécules de Teau adhèrent

tfles unes aux autres ... cette adhésion ou cohésion des

< molécules fluides entre elles , et celle des mêmes molécules « à la matière dont le tuyau est formé ou dans laquelle le

tf lit est creusé, doivent en général être représentées par des « quantités de valeurs différentes, mais comparables ou de « même ordre les unes par rapport aux autres* »

Partant de ces principes, et admettant comme venait de le faire M. Girard, d'après les expériences de Coulomb, que lexpression de la résistance opposée par les parois du lit au mouvement de Teau est composée de deux termes dont l'un est proportionnel à la première, et l'autre à la seconde puissance de la vitesse, M. de Prony en déduit la formule

(ô désigne dans cette formule la section, | la pente, y^. le périmètre mouillé, U la vitesse moyenne; on désigne plus ordinairement par R le rayon moyen |, par I la pente |, par a et 6 les coefficients - et ^, et Ton écrit l'équation précédente

sous la forme

RI=:aU + 6U^ Les valeurs adoptées par M. de Prony pour les coefficients a et h sont,

a = o,oooo44 fc = 0,000.309 '

Elles ont été obtenues à l'aide de trente expériences de Dubuat, et d'une expérience de Ghézy sur la rigole de Courpalet.

Quelques années plus tard, M. Eytelwein, joignant à ces données cinquante-cinq expériences des hydrauliciens allemands, proposa, pour ces deux coefficients, les nouvelles valeurs \

a=o,ooooa4 6 = o,ooo366

' Mémoiru de VAeaiémie de BerltR, années iSià et i8i5.

. Plus récemment, M. de Saiat- Venant \ dans le but de rendre les calculs exécutables par logarithmes, a donné la formule à exposant fractionnaire

RI = o,ooo4oi U"

D'autres auteurs, dan^ un semblable but de simplification , sont revenus à l'expression monôme RI = bU^ donnée par Chézy dès 1775. M. Courtois^ a proposé la formule

qui revient à l'expression

RI=o,ooo4U«

adoptée par plusieurs hydrauliciens italiens.

Toutes ces formules sont presque équivalentes dans les applications pratiques; ce ne sont, à proprement parier, que des remaniements di£Pérents des mêmes données expérimentales ; car la masse des faits d'observation dont la théorie peut disposer n'a pas sensiblement augmenté depuis le commencement de ce siècle. Elles font toutes abstraction de la nature de la paroi , de la figure et de la grandeur du canal. Il est cependant difficile d'admettre a priori que ces divers éléments soient sans influence sur l'écoulement. M. de Prony lui-même émet des doutes à cet égard dans plusieurs passages de ses Recherches physico-mathématiques. Il ne se faisait donc aucunement illusion sur l'insuffisance des données expérimentales dont il pouvait disposer. Nous allons faire voir que cette insuffisance était encore plus grande qu'il ne le pensait, et que plusieurs de ses

^ Formaki et tables nauvellei pour la tolation des problèmes relatifs aux eaax courantes, i85i.

' Traité des motears inaniméi, 1860.

Influence

de la nature

de la paroi

•or

l'écoulemeul.

principes fondamentaux, déduiu de iaits mal observés , sont contredits par Texpérience.

Déjà plusieurs ingénieurs, notamment M. Dupuit^ ont signalé l'incertitude des formules en usage, en reproduisant avec plus d'insistance les doutes émis par M, de Prony luimême.

M. Darcy^ expérimentant, en 184^9 sur Taqueduc des fontaines de Dijon, qui est intérieurement revêtu de ciment, obtint un débit beaucoup plus considérable que ne l'indiquaient les formules usitées. Quelques années plus tard , il put constater, dans ses belles expériences sur les tuyaux de conduite, que Tétat de la paroi du tuyau exerce une influence capitale sur l'écoulement^. On ne pouvait plus douter dès lors qu'il n'en fût de même dans les canaux découverts.

Le moyen le plus simple de constater l'influence de la nature de la paroi sur l'écoulement est évidemment de construire plusieurs canaux entièrement semblables quant à la pente et à la section transversale» et difi'érant seulement par la nature de leurs parois, et d'y faire couler un même volume d'eau. Tous les éléments de la question étant identiques ^ sauf l'influence de la paroi que l'on cherche à mettre en relief, on doit s'attendre à obtenir ainsi un résultat concluant C'est ce que fit M. Darcy en i856. Il établit successivement cinq canaux rectangulaires de i"',8o à 2 mètres de largeur, ayant tous une même pente de 0^,005 par mètre, et ne diflérant que par la nature de la paroi. Le premier était en ciment, le deuxième en planches, le troisième

* Etwies théor. et prat sar le mom>emênt de$ etuus coomiitef ^ iSàSt p- di et saiv. ' Les fontaines pnJbliques de la ville de Dijon, i856, p. 867 et suiv.

* Recherches expérimentales relatives aa mowoemmt de Veaa dam les tuyaux, iSb*].

en briques; le quatrième et le cinquième étaient recouverts de gravier engagé dans du ciment, de manière à simuler un fond 4e rivière. En y faisant couler un même volumje d eau

de i"'%a36 par seconde ^ on obtint pour le rapport gi, qui d*après la formule de Prony eût été presque constant, les valeurs suivantes ^ :

Valeurs de

RI

données

par Vnpénnc».

par U formttle d« Prony.

o,ooo337

o,ooo329

o,ooo33o

o,ooq335

o,ooo338

1* Cana] en ciment

2* Canal en plancbes .... s

3* Caaial en brîqoes

à" Canal revêtu de petit gravier

5** Canal revêtu de gravier un peu plus gros. . . .

RI

Le rapport pi qui, d'après la formule de Prony, aurait dû être sensiblement constant, a donc varié dans le rapport

de 1 à 4-

Les divergences peuvent atteindre des proportions beaucoup plus grandes encore. En effet, les canauK revêtus de gravier, malgré les aspérités qui couvraient leurs parois, n'en étaient pas moins fort régulièrement construits, et présentaient une section rectangulaire bien définie. Mais si Ton considère des canaux en terre dans lesquels la section est nécessairement plus irréguHère, les écarts de la formule deviennent plus sensibles.

Les nombreuses rigoles du canal de Bourgogne offraient à cet égard des vérifications faciles, qu il n'était pas permis de négliger. Les cbi£Fres suivants donneront une idée des

* Voir a* partie, chap. i, séries a, 3, 4, 5 et 7.

erreurs auxquelles peut conduire rempioi d*uae formule uiïique^

Canal en terre (fond et talus vaBeux)

Can^l qp terre ( fond çttalos .pierreux)

Canal revêtu d*un perré couvert de mousse. . . r •

Même canal (après que la mousse qui recouvrait

ie perré eut été grattée)

RI Valeurs de « domiées

par I'tzp4riene«.

0,00 i3oo o,oos33i

par la Ibrmiila da Pronj.

o,ooo4o7 o,ooo383 o,ooo343

o,ooo335

Les deux derniers exemples font voir jusquou peut aller finfluence de Tétat des parois sur Técoulement : la mousse qui recouvrait lé perré u occupait qu une partie insignifiante de la section-du eanal, et cependant Tenlèvement de

cette mousse a diminué de moitié la valeur de |ji.

Des modifications beaucoup moins importantes encore ont une influence appréciable. Deux canaux, absolument semblables quant à la pente et à la section transversale, mais construits Ttin en ciment pur, l'autre en ciment mélangé d'un tiers de sable siliceux extrêmement fin , ont débité, dans des circonstances identiques, le premier i"'%i3, le deuxième i"'%o3 par seconde, soit un dixième environ en moins ^. M. Darcy avait déjà constaté, en 1 85 1 , que Toxydation intérieure d'un tuyau de conduite dans l'intervalle de deux expériences suffisait pour modifier les résultats.

Loin d'être négligeable, l'influence de la nature de la paroi est donc la circonstance la plus importante qui puisse faire varier l'écoulement dans un canal. L'hypothèse par la-

' Voir a* partie, chap. m, séries n** 3&, 35, 38 et 49< * Voir a* partie, chap. ii, séries n*' aA et a5.

quelle on substitue à la paroi véritable une sorte de paroi liquide recouvrant les aspérités (quatrième et cinquième résultat de M. de Prony ) doit donc être abandonnée. On comprend en efiFet que, même en admettant Texistence de cette coucbe d'eau immobilisée, elle ne peut complètement effacer les aspérités dé la paroi, et que dès lors la présence de ces aspérités occasionne dans le courant des tourbillonnements et des mouvements confus dont faction ne saurait être négligée. Gomment cette action a-t--eile pu échapper à fesprit sagace et observateur de Ehibuat? Gomment a-t-il pu admettre que la diversité des matières dans lesquelles f écoulement avait lieu ne faisait pas sensiblement varier la résistance ? G'est ce que nous allons essayer de faire comprendre en peu de mots. Dubuat a remarqué le premier que la résistance ctoîl en

moindre raison que le carré des vitesses, c est-à-dire que ^ décroit dans un même canal quand la vitesse augmente \ Ses expériences peuvent se partager en deux catéigories bien distinctes : les unes ont eu lieu sur des canaux en bois, de très-petite dimension ; les autres sur des cours d*eau dans lesquels R variait de o°',5o à.i'^jSo. Les parois en planches offrent beaucoup moins de résistance à l'écoulement que les parois en terre, et, si les canaux en planches de Dubuat avaient pu avoir des dimensions égales à celles de la rivière de Hayne et du canal du Jard, sur lesquels il a opéré,

ils auraient conduit à des valeurs de ^ incomparablement qioindres; mais, en raison de leur petitesse, ils ont fourni des valeurs peu différentes, qui ont pu induire en erreur un aussi habile observateur que Dubuat.

Le coefficient p dépend de deux éléments différents : il augmente avec la rugosité de la paroi et diminue quand

* Principes d'hydraulique, art. a 7.

la âection et par suite ia vitesse augmentent. En passant de canaux en planches de très -petites dimensions à des ca* naux en terre de dimensions beaucoup plus grandes, ces deux causes de variation qui agissent, Tune pour diminuer

^ji, l'autre pour l'augmenter, peuvent, dans une certaine mesure, se compenser, de telle sorte que la valeur de ce coefficient reste à peu près la même dans les deux cas. C'est cette espèce de compensation confuse provenant du rapprochement d'expériences trop dissemblables et trop peu nombreuses qui a trompé Dubuat. Il ajoute, il est vrai^ : «En «considérant comment l'eau prépare elle-même la surface «sur laquelle elle coule, on voit que la différence des ma- « tières dont peut être composée la paroi ne doit pas en ap- «porter de bien sensible sur la résistance. Nous n'avons, « en effet, trouvé aucune variation dans le frottement qu'on « pût rapporter à cette cause dans les différents cas où l'eau « coulait sur du verre, du plomb, de l'étain, du fer, du bois « et différentes espèces de terres. » A l'exception des parois en terre auxquelles se rapportent les explications précédentes, la similitude des résultats obtenus sur du verre, du plomb, de l'étain, etc. n'a rien qui doive surprendre. C'est, en effet, l'état plus ou moins rugueux de la paroi et non pas la nature spécifique de la matière dont elle est formée qui modifie l'écoulement. Des parois en verre et en étain peuvent être fort différentes pour un chimiste qui se proposerait d'étudier leur composition intime; mais elles peuvent être à peu près équivalentes pour l'hydraulicien, qui ne considère que le degré de poli de leur surface.

La résistance variant à l'infini avec l'état des parois, une formule unique applicable à tous les cas que l'on peut ren-

* Principes d'hydraulique, art. 36.

contrer n est plus possible. Quelle que soit l'expression ana* lytique adoptée pour exprimer la loi suivant laquelle varie la résistance dans un même canal ^ cette formule contiendra nécessairement un ou plusieurs coefficients indéterminés, dont la valeur devra être demandée à Texpérience dans chaque cas particulier. Les formules de Prony, d'Eytelwein, etc. ue peuvent donc que conduire dans la pratique aux plus graves erreurs, et doivent être abandonnées complètement. Les expériences dont elles ont été déduites, bien qu'assez nombreuses, ne comprennent en réalité que deux cas distincts, et ce sont précisément deux cas extrêmes; presque toutes, en effet, se rapportent, soit à des canaux en bois de très-petites dimensions , soit à des cours d'eau naturels de dimensions considérables. L'insuffisance de ces expériences peut paraître singulière, si l'on remarque que la table donnée par M. de Prony ^ , quelques années après la publication du Mémoire d'Ey telwein , ne comprend pas moins de 99 expériences.

M. de Prony s'est servi, pour établir sa formule, de 3i expériences, savoir : 3o de Dubuat, dont q3 sur de petits canaux en bois^, 7 sur le canal du Jard et la rivière de Hayne^, et une de Chézy sur la rigole de Courpalet. Ces huit dernières présentaient une lacune très-importante : la vitesse moyenne n'avait pas été mesurée directement et devait être déduite par le calcul de la vitesse à la surface, seule donnée par Dubuat. « Aussi , dit M. de Prony \ l'em- « barras était d'assigner pour ces huit expériences des vitesses «moyennes d'une exactitude comparable à celle obtenue

* RdcuUdteinq iahles, i8a5, table d' a.

* Principes d' hydraulique, t. II, art. 377. ' Principes tkfdraulique, t. II, art. i\oU.

* Recherches physico-nutikématiqaei, p. 81.

« dans les vingt-trois expériences auxquelles on les réunis- « sait. » La difficulté était, en effet, assez sérieuse, et même, avec les données dont disposait M. de Prony, elle était réellement insoluble. Àfirï d'utiliser ces huit expériences, M. de Prony déduisit la vitesse moyenne de la vitesse à la surface, en se servant des observations faites par Dubuat sur ses petits canaux en bois pour rechercher la relation entre ces deux vitesses; cette relation dépendant aussi, comme on le verra plus loin, de Tétat de la paroi, l'extension aux canaux en terre des résultats obtenus sur des ca* naux en bois ne pouvait qu'introduire de nouvelles erreurs. La formule de M. de Prony repose donc presque en entier sur les expériences faites par Dubuat dans des canaux en bois de très-petites dimensions.

M. Eytelwein a joint à 36 expériences de Dubuat, 55 expériences d'hydrauliciens allemands, savoir : A de Woltmann, i6 de Brûnings et 35 de Funk; presque toutes ont été faites sur de grands cours d'eau.

Celles de Brûnings, exécutées sur les bras du Rhin en 1 790 et 1792, présentent une lacune très-regrettable. Entreprises dans le but de déterminer la répartition du débit total du Rhin entre ses différents bras, elles ne comprenaient pas, à ce qu'il paraît, la mesure de la pente superficielle du cours d'eau, qui était étrangère au but principal des expériences. Les valeurs attribuées aux pentes dans l'ouvrage de Funk *, et reproduites par Eytelwein , ont été déterminées postérieurement par le calcul et à l'aide de nivellements faits en 1797. Les expériences de Funk sur le Weser présentent, quoique à un moindre degré, quelque incertitude sur les pentes, qui paraissent avoir été remaniées et

^ Beitràge zar allgemeinen Wasserbaukanst , 1808, p* 97*

coordonnées par le calcul ^ En introduisant dans la formule de M. de Prony , déduite d'expériences sur de petits canaux en bois, les résultats plus ou moins contestables des nombreuses expériences sur les grands cours d'eau, M. Eytelwein a donc rapproché et confondu deux, ordres de faits très -dissemblables, et sa formule doit être abandonnée, aussi bien que toutes celles qui ont été plus tard déduites des mêmes données expérimentales.

On voit par ce qui précède que les coefficients de là for- Formule nouvelle. mule

sont variables à l'infini suivant la nature de la paroi dans laquelle s'opère l'écoulement. Il ne s'agît plus de savoir si le coefficient b doit être 0,000809 comme l'a trouvé M. de Prony, ou o,ooo366 comme Ta proposé Eytelwein, ou o,ooo4oo comme l'ont admis d'autres auteurs. Ce coefficient peut varier de 0,000 i3o à 0,002600 et plus. Une autre question se présente maintenant. La formule peut-elle être conservée sous sa forme actuelle en y joignant une table qui donne les valeurs de a et fr spéciales à chaque cas, ou bien la forme même de l'expression aVl-^-bU^ doit-elle être

RI

modifiée? Dubuat ayant remarqué que ^p diminue tout en convergeant vers une limite finie lorsque la vitesse augmente dans un même canal, on peut poser

a étant une constante et/(R, U) une fonction du rayon moyen et de la vitesse, qui tend vers zéro à mesure que ces quantités augmentent.

* Voir à ce sujet la discnssîon de Hagen : Handhach der Wasserbaukanst , i84âi a* partie, 1. 1, p. 3oa , 3o4.

Les deux formes les plus simples que l'on puisse donner à/(R,U)8ont:

u et ^, |3 et j3' étant deux constantes.

La première conduit à l'expression binôme de M. de Prony , la deuxième à la formule

RI = (a + f)U'

adoptée par M. Darcy pour les tuyaux de conduite. L'expérience seule peut décider à laquelle de ces deux expressions il convient de donner la préférence. Admettons d'abord que l'on fasse couler dans un même canal, de penle et de dimensions invariables, différents volumes d'eau, et examinons laquelle des deux formules représente le mieux l'ensemble des expériences. Cette comparaison est facile à faire, soit par le calcul, soit plus simplement encore par une construction graphique. Supposons deux axes de coordonnées rectangulaires : soit, pour une expérience, Y la valeur obtenue pour tj» et X celle de -p-. Cette expérience pourra être Ogurée par un point qui aura pour ordonnée Y et pour abscisse X, et si l'équation binôme

ÎTi-fX + p

est exacte, tous les points obtenus devront être sur une même ligne droite ayant pour équation Y^a + iSX En prenant encore ^ pour ordonnée et ^ pour abscisse, on constatera de même le plus ou moins d'exactitude de la formule

Cette comparaiaoo graphique ^ fait voir que les deux formules représentent également bien les résultats de Texpérience, car on obtient dans les dem cas une ligne sensiblement droite. Si Ton cherche seulement à relier entre elles les expériences faites sur un même canal ayant une pente invariable, il n'existe donc aucun motif pour modifier l'expression binôme adoptée par M. de Prony ; mais si, passant à un cas plus général, on vient à comparer des expériences faites sur des pentes différentes, il n en est plus de même. Considérons plusieurs canaux entièrement semblables quant à leur section transversale et à la nature de leurs parois, et différant seulement par la pente; faisons couler dans chacun d'eux plusieurs volumes d'eau différents, et cherchons à grouper les résultats obtenus à l'aide de la construction graphique qui vient d'être indiquée. L'ensemble des expériences faites sur chacun des canaux se trouve représenté par une ligne droite. Si les coefficients a et ^ étaient complètement indépendants de la pente, les lignes droites obtenues pour les divers canaux devraient coïncider. Cette coïncidence n'a pas lieu, et l'on remarque que chaque série d'expériences est représentée par une ligne distincte.

En se plaçant à un point de vue complètement rigoureux, on peut donc dire que ni l'une ni l'autre des deux expressions *+§ et a-t-^ n'est apte à représenter les phénomènes dans toute leur généralité. Mais il ne s'agit pas ici d'une solution mathématiquement rigoureuse, il s'agit seulement de savoir si Tune ou l'autre peut être employée avec une approximation suffisante.

^ Voir a*- partie, chftp. i; voir également la planche VIII qni contient la représentation graphique des cinq séries n" a, 3, 4. 5 et 7.

lufluenoe

de U forme

de la section

transversale

du canal

sar

l'écoiilement.

Si Ton considère d'abord l'expression a+^, on remarque

que les lignes droites correspondantes aux diflFérents canaux, bien que ne coïncidant pas d'une manière complète, ne sont cependant pas fort éloignées les unes des autres ^ Dans la plupart des cas, on les voit s'éloigner progressivement de l'axe des abscisses à mesure que l'on augmente la pente du canal; mais il n'en est pas toujours ainsi; l'écart est rarement assez grand pour qu'il y ait inconvénient à les remplacer dans la pratique par une ligne unique.

Les choses se passent tout autrement pour l'expression a+g. A mesure que l'on augmente la pente du canal, on

voit, dans tous les cas, les lignes s'éloigner rapidement de l'axe des abscisses, et leur inclinaison sur cet axe croître en même temps. La variation des deux coefficients avec la pente a donc lieu cette fois toujours dans le même sens, et ils augmentent tous deux rapidement avec elle, sans que l'on puisse assigner de limite à cette augmentation. Nous avons eu occasion de constater que, dans certains cas, la formule obtenue pour une pente de o'^jOo 1 5 par mètre conduisait, pour une pente de 0,009, à des erreurs de plus d'un tiers sur la valeur de la vitesse. L'erreur aurait encore été plus grande pour des pentes supérieures à 0,009. ^^ formule binôme usitée jusqu'à ce jour est donc lout à fait impropre à représenter les phénomènes et doit être abandonnée. Celle qu'a donnée M. Darcy pour les tuyaux de conduite satisfait beaucoup mieux aux exigences de la pratique.

Nous n'avons pas encore parlé d'un élément qui n'est pas sans influence sur l'écoulement, sans avoir cependant au-

' Voir a* partie, chap. i; et voir également, pour la représentation graphique, la planche IX.

tant d'importance que la nature de la paroi. La figure du profil transversal ne saurait être indiflférente, et Ton doit s'attendre à trouver des diflférences notables dans les phénomènes, suivant que ce profil sera un rectangle, un trapèze, un demi-cercle, etc. Toutefois ces différences ne sont pas aussi marquées qu'on pourrait le croire au premier abord. Des expériences comparatives ^ ont été faites à ce sujet sur des canaux en planches; les sections rectangulaires, trapézoïdales et triangulaires ont conduit à des résultats presque identiques, c'est-à-dire que les vitesses moyennes ont été sensiblement égales dès que le rayon moyen et la pente étaient semblables. Mais si Ton passe des sections polygonales à une section demi-circulaire, on constate une différence assez notable. Le débit d'un canal demicirculaire a été trouvé supérieur d'environ un dixième à celui d'un canal rectangulaire, toutes circonstances égales d'ailleurs. On n'a guère occasion, il est vrai, de rencontrer dans la pratique des canaux présentant un profil transversal curviligne et parfaitement régulier; on peut en excepter toutefois les profils ovoïdes adoptés maintenant pour la construction des égouts. Le fond de ces égouts diffère peu d'un canal demi-circulaire. Outre l'avantage de ne présenter aucun angle rentrant, cette figure a donc encore celui de fournir à égalité de pente et de rayon moyen le plus grand débit.

Laissons de côté ce cas particulier, et revenons au cas Formuler général. Nous avons établi plus haut que la formule binôme ne peut être conservée. L'établissement de formules nouvelles présente de grandes diffiTcultés, puisque les coefficients varient avec la pente, la figure du profil transversal

' Voir a* partie, chap. ii, séries n" 18' à 27.

pratiques

et la nature de la paroi. Les deux premiers éléments n'ont pas une influence bien grande et peuvent être négligés dans la plupart des cas delà pratique qui n'exigent pas une approximation rigoureuse; mais, en les écartant, nous avons encore à tenir compte de la nature de la paroi. La difficulté est grande puisqu'il s'agit d'un élément variable à l'infini, qui écbappe par sa nature à toute appréciation théorique. Nous avons essayé de ia résoudre en groupant les expériences en catégories peu nombreuses, correspondant, autant que possible, aux cas les plus ordinaires de ia pratique. Ces catégories sont au nombre de quatre :

I" Parois très-unies : ciment lissé, bois raboté avec soin, etc.

1" Parois unies; pierres de taille, briques, planches, etc.

3" Parois peu unies, en maçonnerie de moellons;

4" Parois en terre.

On ne saurait évidemment tracer une ligue de démarcation précise entre ces diverses catégories, et l'on peut établir des cas intermédiaires.

En représentant pour abréger ^r, par A, la lormuie que nous proposons se réduit à

mr=AU^

Les valeurs de A seront pour chaque catégorie ',

i" Catégorie, A = o,oooi5 ^i +^)

2" Catégorie, A=o, 00019 (j -|-^)

3" Catégorie, A = o,ooo34 f 1 -+*^^]

4' Catégorie, A = o,ooo38 ("i -i--^J

On trouvera à la fin du volume ces formules réduites en

' Voir a' partie, cIibj). iv

tables, d'une construction fort simple, qui donnent pour chaque valeur du rayon R la valeur oorrespondante de A et

On peut regretter de voir substituer à une formule unique une formule nouvelle à coefficients variables; mais Findétermination des coefficients est un inconvénient inhérent à la nature des phénomènes, et les progrès ultérieurs de la théorie ne pourront jamais la faire disparaître. Il est d'ailleurs bien peu de lois physiques dont l'expression ne soit affectée d'une semblable indétermination; presque toutes contiennent un coefficient arbitraire dépendant uniquement de la nature des corps soumis à Texpérience. Dans la pratique de Tart des constructions, il en est toujours ainsi, et les formules rigoureuses, au point de vue théorique, ne fournissent plus, lorsqu'on en vient aux applications, que des limites qui doivent guider le choix de l'ingénieur, sans cependant le déterminer d'une manière complète.

Les formules précédentes ne sont pas applicables à un cas particulier cas, assez rare, il est vrai, dans la pratique, mais qui pré- canai très"peiit. sente, au point de vue théorique, un certain intérêt; c'est celui d'un canal très-petit dans lequel le rayon moyen descend au-dessous de o™,o3. L'expérience conduit alors à la relation très-simple^

|S étant une constante; la valeur de |S augmente assez notablement avec la pente I; mais si l'on considère un seul canal dans lequel I est constant, on voit que la vitesse U varie simplement comme le rayon moyen.

' Voir a* partie, chap. ii, séries n*" aS à 3i.

Dans ses expériences sur les tuyaux de conduite \ M. Darcy avait constaté un fait analogue. En opérant sur des tuyaux d'un petit diamètre, il a également trouvé le

rapport -jj constant pour chaque tuyau ; c'est alors le rayon R qui devient constant, et la pente I qui varie d'une expérience à l'autre. L'analogie entre les deux ordres de phéno* mènes n'est donc pas aussi coniplète qu'elle le parait au premier abord.

2*" EXPJ^RIENGES SDR LA DISTRIBUTION DES VITESSES DANS LES GOURANTS.

Rapport

de la

vitesse moyenne

et

de la vitesse

maxima.

M. de Prony a donné poujr déduire la vitesse moyenne U de la vitesse maxima V l'équation

U V-ha,37 V""V-i-3,i5

On simplifie le plus souvent cette expression en prenant

Cette formule ne tient aucun compte de la nature de la paroi. Nous avons vu plus haut combien l'influence de cet élément est grande ; il est donc difficile d'admettre qu'elle

n'afiFecle pas également la valeur du rapport y. M. de Prony lui-même s'est posé une semblable objection. « Je dois, dit- « iP, faire remarquer une circonstance qui peut faire re- « garder cette formule comme une simple règle de calcul « empirique, et qui tient à ce que, les observations semblant « indiquer qu'on peut déterminer U parV indépendamment « de la figure, de la grandeur, de la pente, etc. du canal, « elle n'en tient aucun compte. Il est cependant difficile

* Recherches expérimentales relatives aa moavement de Veau, dans les tayaux, iSb'j, p. 75 et a 10.

* Recherches physico-mathématiques , ^. 79.

« d*admettre que ces divers éléments n aient aucune in-

afluence ; mais il fallait pourvoir d'abord aux besoins

« de la pratique par des règles suffisamment exactes pour «les cas quelle a à traiter. »

Les doutes de M. de Prony étaient parfaitement fondés. La formule précédente est complètement inexacte, et conduit dans la plupart des cas à des valeurs trop fortes de y. Bien loin d'être à peu près constant et peu différent de

g, comme on le suppose habituellement, ce rapport peut varier dans des limites très-étendues. Si Ton interroge l'expérience, et que Ton détermine sa valeur pour différentes natures de parois , on remarque bientôt qu elle va en diminuant à mesure que la résistance de la paroi augmente ^ Elle est en effet de 0,80 à o,85 dans des canaux très-unis en ciment; dans des canaux en maçonnerie de moellons elle n'est plus que de 0,70 à 0,76; enfin dans des canaux en terre elle s'abaisse encore et peut descendre au-dessous de 0,60. On voit à quelles erreurs on peut s'exposer en adoptant la valeur unique 0,80.

Le rapport y variant avec la résistance à la paroi, il paraît naturel de le faire dépendre du coefficient ^ qui en est, en quelque sorte, l'expression la plus simple. Si l'on fait pour abréger ^ = A, la discussion des expériences conduit

à poser

y converge vers l'unité à mesure que A diminue; il était facile de le prévoir a priori. La résistance de la paroi est en effet la cause des inégalités de vitesse qui existent entre les

' Voir 3** partie, chap. i.

différentes parties d'un courant, et, si cette résistance ve> naît à disparaître, toutes les vitesses deviendraient égales. L'équation précédente peut encore s'écrire sous la forme

très-simple

V-D = i4v/RÏ et sous cette forme elle fait voir que la dillérence absolue entre la vitesse moyenne et la vitesse maxima est proportioniieUe à y/RI-

On trouvera à la fin du votume une table calculée à l'aide de la formule précédente et donnant immédiatement les valeurs de y correspondant aux valeurs de A.

Lne autre table donne, pour chacune des quatre catégories de parois, la valeur de y correspondant à chaque valeur du rayon moyen R.

L'examen de cette dernière table fait parfaitement voir comment varie ce rapport. Pour les petites valeurs de R il est extrêmement variable suivant la nature de la paroi; si R^ro™,! o, par exemple, on a ^ = o,84 pour les parois trèsunies, et o,5d seulement pour les parois en terre; mais, à mesure que les dimensions du canal augmentent, cette différence tend peu à peu à s'effacer : pour R= o'",5o les valeurs extrêmes de y sont o,85 et 0,70; pour R = S^.oo elles deviendraient o,85 et 0,78.

La répartition des vitesses dans l'intérieur d'un courant est la question la plus délicate que soulève l'étude de l' roulement dans les canaux. La connaissance exacte des lois suivant lesquelles s'opère cette répartition peut seule servir de base à une théorie mathématique. Malheureusement cette étude présente les plus grandes difficultés.

Le mouvement de l'eau dans un canal est beaucoup plus compliqué qu'il ne le paraît au premier abord. Si l'on ob-

serve la vitesse en un point déterminé, on ne tarde pas à s'apercevoir qu elle varie à chaque instant. Ces variations sont subites : elles s'opèrent par soubresauts très-vifs, et sont accompagnées de petits changements de niveau dans la surface. Ces fluctuations continuelles ont déjà été signalées par plusieurs observateurs, et M. Baumgarten ^ les a constatées sur la Garonne à l'aide du moulinet. Appréciables même par un instrument comme le moulinet, qui doit fonctionner pendant un certain nombre de secondes avant de fournir une indication, elles le sont bien plus encore à l'aide des instruments qui accusent, comme le tube jaugeur de M. Darcy, la vitesse, par une impulsion vive, exercée pendant un temps très-court. On voit alors qu'elles sont presque instantanées, qu'elles constituent de véritables ruptures d'équilibre qui se reproduisent périodiquement. La vitesse en un point donné n'est donc qu'une véritable abstraction; c'est une sorte de moyenne entre des vitesses fort différentes qui se succèdent rapidement. L'écoulement n'est pas un phénomène continu, et l'hypothèse simplificative du mouvement par filets parallèles, imaginée dans le but de soumettre les faits au calcul, est très-éloignée de la vérité. Un filet, c'est-à-dire une série de molécules se suivant dans une même direction avec des vitesses égales, ne peut subsister que pendant un temps très-court, et se trouve inévitablement détruit par les échanges constants de molécules qui doivent s'opérer entre lui et ses voisins, et par les mouvements obliques qui en résultent. Ces mouvements irréguliers paraissent se produire de préférence dans les grandes sections : mais c'est surtout aux environs de la suriace que les variations, ou ,si l'on veut, le désordre des vitesses, sont

* Voir le Mémoire de M. Baumgarten inséré dans les Annales des Ponts el Chaussées, année 18A7.

le plus remarquables. On sait que la vitesse à la surface du courant est habituellement moindre qu*à une certaine profondeur au-dessous. La résistance de Tair ne suffit pas pour expliquer cette décroissance aux abords de la surface, car elle persiste, même avec un vent d'amont qui devrait accélérer le mouvement des couches superficielles ^

Une expérience curieuse démontre que c est en eflPet dans les mouvements tumultueux du fluide aux environs de la surface qu'il faut chercher l'explication de ce fait singulier.

Supposons un tuyau dont la section transversale soit rectangulaire, l'un des côtés du rectangle étant disposé horizontalement, et l'autre, dont nous désignerons la hauteur par h, verticalement. Faisons-y couler un certain volume d'eau, de telle sorte que l'écoulement s'opère sous une certaine charge, et que la section soit complètement remplie. Soit I la perte de charge ou pente par mètre. Enlevons maintenant la paroi supérieure du tuyau de manière à en faire un canal à ciel ouvert, réglons-en le fond suivant la pente I, et faisons couler dans ce canal un volume d'eau tel que la surface du courant atteigne exactement le centre en

s'élevant à une hauteur - au-dessus du fond. Il est clair que ce courant peut être considéré comme l'une des deux moitiés de celui qui passait dans le tuyau complet; et si Ton étudie dans les deux cas la distribution des vitesses, on devrait s'attendre à trouver une similitude complète. On va voir qu'il n'en est rien.

L'expérience a été réalisée en 1857 ^, à l'aide d'un tuyau rectangulaire de o",4o de hauteur sur o"',8o de largeur; elle a été renouvelée en 1 8 69 , en réduisant les deux dimensions

' Voir k ce sujet louvrage de M. Boileau : Traité de la mesure des eaux courantes, i854i pages 3i3 et suivantes.

' Voir 3* partie, cfaap. ii, séries 5i à 5a.

précédentes dans le rapport de 5 à 3; la distribution des vitesses dans le tuyau complet a présenté une parfaite régularité; elles se sont réparties suivant des rectangles concentriques à la paroi et légèrement arrondis vers les angles. A ciel ouvert cette répartition était totalement modifiée; les courbes d'égale vitesse (c est-à-dire les courbes obtenues en joignant les points animés d'une même vitesse dans la section transversale), au lieu d'être des rectangles arrondis, présentaient une courbure elliptique très-prononcée, et s'infléchissaient aux abords de la surface en indiquant que le maximum de vitesse était placé un peu au-dessous.

La vitesse moyenne se trouvait plus près des parois que dans le tuyau; en un mot le phénomène était complètement modifié. Un changement aussi considérable ne peut être attribué à la résistance de l'air, qui était à peu près nulle, mais aux mouven^ents intérieurs du fluide. Dans un tuyau la symétrie et l'invariabilité de la section établissent entre toutes les molécules du courant une sorte de solidarité, qui contribue à régulariser les vitesses ; à ciel ouvert, au contraire, l'absence de pression sur la surface du courant, le défaut de symétrie de la section qni peut librement augmenter ou diminuer au milieu des secousses incessantes dont aucun courant n'est exempt, favorisent sans doute la production de ces mouvements tumultueux dans les couches supérieures.

Quoi qu'il en soit, il est certain qu'il existe une différence profonde entre l'écoulement dans un tuyau et l'écoulement à air libre. La connaissance des mouvements compliqués qui s'opèrent aux environs de la surface est très-difficile à obtenir; c'est là, selon nous, Técueil contre lequel viendront échouer toutes les théories mathématiques de l'écoulement dans un canal.

Cas particulier

d'un canai

rectangulaire

'très-large

et

d'un canal

demi-circulaire.

On peut voir, par les nombreuses planches à laiîn de Touyrage \ combien la distribution des vitesses est compliquée, et combien elle parait varier dans chaque cas pailiculier. Peut-être le problème, pris dans toute sa généralité^ n est-il pas susceptible d'une solution rigoureuse. Deux cas simples conduisent seuls à un résultat un peu précis, ce sonl^:

P Un canal rectangulaire de largeur indéfinie, dans lequel Faction des parois latérales peut être complètement négligée;

2*" Un canal demi-circulaire.

Dans le premier cas, les courbes d'égale vitesse sont des lignes droites parallèles au fond; dans le second, ce sont des cercles concentriques à la paroi. La complication qu'introduit nécessairement le contour discontinu des sections rectangulaires et trapézoïdales se trouve ici mise de côté, et la loi de décroissance des vitesses peut être représentée par une formule, du moins tant que la vitesse d'écoulement est assez grande; car dès qu elle descend au-dessous d'une certaine limite, le maximum de vitesse n'est plus à la surface, et Ton retombe dans une nouvelle complication.

Considérons d'abord le canal rectangulaire de largeur indéfinie^ Si l'on désigne par V la vitesse à la surface, par V la vitesse en un point situé à la profondeur h, par H la profondeur totale, par I la pente, et enfin par K un coefficient numérique constant, la discussion des expériences conduit à l'expression fort simple

La valeur de la constante K paraît devoir être environ La courbe des vitesses, c'est-à-dire la courbe que l'on

' Voir les planches XIX à XXlll. — * Voir 3* partie, cbap. iv.

obtient eo prenant pour abscisse la distance d'un point à la surface, et pour ordonnée la vitesse en ce point, est donc une parabole du second degré.

Dans le canal demi-circulaire , si Ton représente de même par V la vitesse à la surface , par t; la vitesse en un point situé à la distance r du centre, par R le rayon total, et enfin par K une constante, on parvient à la formule

La valeur de la constante K est dans ce cas égale k 21. En opérant sur les tuyaux de conduite, M. Darcy a obtenu, en i85i, Téquation un peu différente